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5.7.3 Amplification en tension : paramètres hybrides
=
V1 h11 I1 + h12 V2

(1)

=
I 2 h21 I1 + h22 V2

( 2)
( 3)

V2 = − Z u I 2

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
Av =

V2
h21
= −
V1
∆h + h11 ⋅ Yu

avec

∆h = h11 ⋅ h22 − h12 ⋅ h21

5.7.4 Amplification en tension : paramètres hybrides inverses

(1)
( 2)
( 3)

I1 g11 V1 + g12 I 2
=
V2 g 21 V1 + g 22 I 2
=

V2 = − Z u I 2

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
A=
v

V2
g 21
=
V1 1 + g 22 ⋅ Yu

5.7.5 Amplification en tension : paramètres chaines
V1 = aV2 + b ( − I 2 )

(1)
( 2)
( 3)

I1 = cV2 + d ( − I 2 )

V2 = − Z u I 2

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
A=
v

V2
1
=
V1 b ⋅ Yu + a

5.7.6 Amplification en tension : paramètres chaines inverses
V2 = ai V1 + bi ( − I1 )

(1)
( 2)
( 3)

I 2 = cV1 + d ( − I1 )
V2 = − Z u I 2

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
A=
v

V2 ai ⋅ di − bi ⋅ ci
=
V1
bi ⋅ Yu + di

10

5.8 Impédance de sortie d’un quadripôle
Zg

I1

I1

Eg

Q

V1

V2

Zg

Zu

V1

I2

Q

V2

Eg = 0
fig.5.13

fig.5.14

Par définition Eg = 0

(

L’entrée doit être fermée sur l’impédance interne Z g du générateur Eg ,Z g
ce cas la charge du quadripôle. Donc Z=
s

V2 Vs
est l’impédance interne de Thévenin
=
I2 Is

5.8.1 paramètres impédances
Par définition Eg = 0
=
V1 z11 I1 + z12 I 2
=
V2 z21 I1 + z22 I 2
V1 = − Z g I1

(1)
( 2)
( 3)

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
Z=
s

V2
z ⋅z
= z22 − 12 21
I2
z11 + Z g

5.8.2 paramètres admittances

(1)
( 2)
( 3)

=
I1 y11 V1 + y12 V2
=
I 2 y21 V1 + y22 V2
V1 = − Z g I1

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
Y=
s

) qui constitue dans

I2
y ⋅y
1
= =
y22 − 12 21
Z s V2
y11 + Yg

5.8.3 Paramètres hybrides
V1 h11 I1 + h12 V2
=

(1)

=
I 2 h21 I1 + h22 V2

( 2)
( 3)

V1 = − Z g I1

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :

11

V2
I2
h ⋅h
1
1
=
= =
h22 − 12 21 et Z=
s
h
I 2 h − 12 ⋅ h21
Z s V2
h11 + Z g
22
h11 + Z g

Y=
s

5.8.4 Paramètres hybrides inverses

(1)
( 2)
( 3)

=
I1 g11 V1 + g12 I 2
=
V2 g 21 V1 + g 22 I 2
V1 = − Z g I1

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :
Z=
s

V2
g ⋅g
= g 22 − 12 21
I2
g11 + Yg

5.8.5 Paramètres chaines
V1 = aV2 + b ( − I 2 )

(1)
( 2)
( 3)

I1 = cV2 + d ( − I 2 )
V1 = − Z g I1

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :

Z=
s

V2 d ⋅ Z g + b
=
I2 c ⋅ Z g + a

5.7.6 Paramètres chaines inverses
V2 = ai V1 + bi ( − I1 )

(1)
( 2)
( 3)

I 2 = cV1 + d ( − I1 )
V1 = − Z g I1

En combinant les relations (1), (2) et (3) on obtient :

Z=
s

V2 ai ⋅ Z g + bi
=
I 2 ci ⋅ Z g + di

5.9 Correspondance entre les différents paramètres d’un quadripôle
Il est possibles à partir d’un groupe de paramètres de trouver ceux d’un autre groupe
quelconque.
Exemple : on connait les paramètres Y, trouvez ceux de H.

12

On a :
=
 I y11 V1 + y12 V2
(1)  1
=
 I 2 y21 V1 + y22 V2
Pour V2 = 0 ⇒=
h11

=
V h I + h V
(2)  1 11 1 12 2
=
 I 2 h21 I1 + h22 V2

V1
I2
et=
h21
I1
I1

il faut utiliser les mêmes conditions, soit mettre V2 = 0 dans

(1). Ce qui donne :
=
⇒ I1 y11V1=
et y21

I2
V1



I
V
Pour I1 =
0 ⇒ h22 =2 h12 =1
V2
V2

h11 =

1
et
y11

h21 =

I 2 I 2 V1 y21
= ⋅ =
I1 V1 I1 y11

dans (1) :

y
0=
y11 V1 + y12 V2 ⇒ V1 =
− 12 V2
y11
y ⋅y
I2 =
− 12 21 V2 + y22V2
y11

y ⋅y 
I 2  y22 − 12 21  V2
=
y11 

I
y ⋅y
∆y
⇒ h22 = 2 =y22 − 12 21 =
V2
y11
y11

Aussi h12 =

V1
y
= − 12
V2
y11

Et ainsi de suite pour les autres configurations.
5.10 Quadripôles passifs
Si le quadripôle est passif, le nombre de paramètres qui le caractérisent se réduit à 3.
z11 = z21
Pour les paramètres impédances, on a en plus
Pour les paramètres admittances, on a en plus

y11 = y21

Pour les paramètres hybrides, on a en plus

h11 = −h21

Pour les paramètres hybrides inverses, on a en plus

g11 = − g 21

Pour les paramètres chaines, on a en plus
Pour les paramètres chaines inverses, on a en plus

ad − bc =
1
ai di − bi ci =
1

Pour la démonstration, on utilisera le théorème de réciprocité.
5.10.1 Paramètres impédances
a. on place une source E à l’entrée du quadripôle.
On prend pour ce qui suit Z=
Z=
0
g
u

Zu =0 ⇒ V2 =0 , le système d’équations devient
=
V1 z11 I1 + z12 I 2
V z I + z I
=
21 1
22 2
 2



=
 E z11 I1 + z12 I 2

=
0 z21 I1 + z22 I 2
13

(1)
( 2)

( 2)

⇒ I1 =


( 3) et (1)

z22
z11

( 3)

⇒E=


(z z − z z )
z11 z22
I 2 + z12 I 2 =
− 11 22 12 21 I 2
z21
z21

z
⇒ I2 =
− 21 ⋅ E
∆z
b. on place maintenant la source E à la sortie du quadripôle
d’après le théorème de réciprocité on a I1′ = I 2 ⇒
0 z I + z I ′
=

11 2
12 2

 E z21 I 2 + z22 I 2′
=
z z
− 11 22
(1)′ ⇒ I 2′ =
z12

(1)′
( 2 )′

( 3)′

( 3)′

et ( 2 )′ ⇒ E= z21I 2 − z11 z22 I 2
z
∆z
E=

I2 ⇒ I2 =
− 12 E
z12
∆z
or ( 4 ) = ( 4 )′ ⇒ z12 = z21

( 4 )′

Et ainsi de suite pour les autres paramètres.
5.11 Quadripôle passif symétrique
Un quadripôle passif est dit symétrique lorsqu’peut permuter ses bornes d’entrée et ses bornes
de sortie sans que les équations caractéristiques soient modifiées. Ce qui permet encore de réduire
le nombre de paramètres à déterminer à 2 tel que :
y11
= y22 , z11
= z22 , ∆=
h 1, =
a d.
5.12 Quadripôle passif : impédance caractéristique
Soit un quadripôle chargé par Z u possédant une impédance d’entrée Z e telle que :
Z=
z11 −
e

2
z12
z22 + Zu

Lorsque Z e = Zu , alors on dit que Z u est l’impédance caractéristique et est notée Z c . On a alors :

Z c =z11 −

2
z12
2
⇔ Z c ( z22 + Z c ) =z11 ( z22 + Z c ) − z12
z22 + Z c
2
⇔ Z c2 + z22 Z c = z11 z22 + z11Z c − z12

2
⇔ Z c2 + Z c ( z22 − z11 )= z11 z22 − z12

(1)

(1)

Equation qui donne Z c

2
2
Si en plus le quadripôle est symétrique c.à.d. z11 = z22 ⇒ Z c2 + 0 = z11
− z12


14

2
2
2
Z=
z11
− z12
c

5.13 Représentation des quadripôles actifs
Un quadripôle actif étant défini par un groupe de 4 paramètres, on peut lui associer un schéma
équivalent composé d’impédances, d’admittances et des sources liées tel que le fonctionnement
soit régi par les mêmes équations du quadripôle.
5.13.1 Représentation à deux sources liées
a. paramètres impédances
=
V1 z11I1 + z12 I 2
=
V2 z21I1 + z22 I 2

I1

I1

I2

Q

V1

V2

V1

I1

I2

Q

V2

fig.5.16

I1

V1

I2

z21 I1

z12 I 2

fig.5.15

b. paramètres admittances
=
I1 y11 V1 + y12 V2
=
I 2 y21 V1 + y22 V2

z22

z11

I2

V1 y11

V2

y22 V
2

y12V2 y21V1

fig.5.17

c. paramètres hybrides
=
V1 h11 I1 + h12 V2
=
I 2 h21 I1 + h22 V2

I1

V1

Q

h11

I1

I2

V1

V2

I2

h12V2

h22 V
2

h21I1

fig.5.18

d. paramètres hybrides inverses
=
I1 g11 V1 + g12 I 2
=
V2 g 21 V1 + g 22 I 2

g 22

I1
I1

V1

I2

I2

Q

V1 g11

V2

g12 I 2

g 21V1

V2

fig.5.19

5.13.2 Représentation à une seule source
Un quadripôle actif est défini par un groupe de 4 paramètres, on peut aussi le représenter par
trois admittances et une seule source liée,
a. paramètres admittances
I1

V1 y11

y22 V
2

y12V2 y21V1

V1

fig.5.20

(1)

15

I2
Yb

Ya

fig.5.21

La loi des nœuds (fig.5.21) donne :
=
 I1 y11 V1 + y12 V2
I
=
 2 y21 V1 + y22 V2

Yc

I1

I2

Ym V1

V2

 I1
 I = (Ya + Yb )V1 −
= (Ya + Yb )V1 − YcV2
YcV2
⇒ 1

−YcV1 + (Y b +Yc )V2
− ( −Ym + Yc )V1 + (Y b +Yc )V2
 I 2 − YmV1 =
 I 2 =
Par identification on obtient :

Ya + Yc ,
y22 =
Yb + Yc
 y11 =
( 3) ⇒
y =
y21 =
Ym − Yc
 12 −Yc ,

( 2)

y11 + y12 ,
Yb =
y22 + y12
Ya =
Y =
,
Ym =
y21 − y12
 c − y12

b. paramètres impédances
I1

V1

z22

z11

z21 I1

z12 I 2

I1

I2

V2

V1

fig.5.22

=
V1 z11I1 + z12 I 2
V z I + z I
=
21 1
22 2
 2

Za

Zb

Z m I1

I2

V2

Zc

fig.5.23

(1)

V1 =
V =
Zc I 2
Zc I 2
( Z a + Zb ) I1 +
( Z a + Zb ) I1 +
⇒  1

V2 = ( Z m + Z c ) I1 + ( Z b + Z c ) I 2
V2 − Z m I1 = Z c I1 + ( Zb + Z c ) I 2

( 2)

Par identification on obtient :
Z a + Z b , z22 =
Zb + Z
 z11 =
( 3) ⇒
z =
z21 =
Zm + Zc
 12 Z c ,

z11 − z12 , Z b =
z22 − z12
Za =
Z =
Zm =
z21 − z12
 c z12 ,

5.14 Représentation des quadripôles passifs
Tout quadripôle passif étant défini par un groupe de 3 paramètres peut être représenté par un
schéma équivalent comprenant trois impédances (admittances).
Deux représentations sont alors utilisées.
• Celle en T ou en étoile (Y).
• Ou celle en π ou en triangle ( ∆ ). Voir TD
5.15 Association de quadripôles
Lorsque le schéma d’un quadripôle est compliqué, il est souvent possible de le considérer
comme une association de quadripôles simples selon plusieurs types.
5.15.1 Association en série de deux quadripôles
On considère deux quadripôles caractérisés par deux matrices impédances Z ′ et Z ′′ .
L’association série est donnée par le schéma et est caractérisée par les relations :
V=
1 V1′ + V1′′
V=
2 V2′ + V2′′

et

I=
I=
I1′′
1
1′
I=
I=
I 2′′
2
2′

et sous forme matricielle
16

 V1   V1′   V1′′
=
   +   or
 V2   V2′   V2′′

 V1′′
 I ′′ 
I 
′′  1  Z ′′  1 
=
 ′′ Z=
 V2 
 I 2′′ 
 I2 
ce qui donne pour le quadripôle équivalent

I2

V2′

Q

V1
I1′′

V1′′

 V1 
I 
I 
Z ′ + Z ′′]  1  =
Z 1
[
 =
 V2 
 I2 
 I2 

I 2′

Q’

V1′

 V1′ 
 I′ 
I 
′  1  Z ′  1  et
=
 ′  Z=
 V2 
 I 2′ 
 I2 

Soit

I1′

I1

Z= Z ′ + Z ′′

Q’’

V2
I 2′′

V2′′

fig.5.24

5.15.2 Association en parallèle de deux quadripôles
Les quadripôles sont caractérisés par leur
matrice admittance. L’association en parallèle
est donnée par le schéma suivant. Elle est
caractérisée par les relations :
I1= I1′ + I1′′
I=
I 2′ + I 2′′
2

I1′′

V1′′

 I1′   I1′′ 
 ′  +  ′′ 
 I2   I2 

 I1′′ 
 V ′′  V 
 I1′ 
 V ′
V 
′  1  Y ′  1  et=
′′  1   1 
Y=
or =
 ′  Y=


 I2 
 V2′ 
 V2 
 I 2′′ 
 V2′′  V2 

I2

V2′

Q

V1

et sous forme matricielle

 I1 
=

 I2 

I 2′

Q’

V1′

V=
1 V=
1′ V1′′
V=
2 V=
2′ V2′′

et

I1′

I1

V2
I 2′′

Q’’

V2′′

fig.5.25

I 
V 
V 
Y ′ + Y ′′]  1  =
Y 1
D’où :  1  =
[
 I2 
 V2 
 V2 
Soit

Y= Y ′ + Y ′′

5.15.3 Association de deux quadripôles en série-parallèle
Les deux quadripôles sont montés comme le montre le schéma. Les relations caractéristiques
de l’association sont :
V=
1 V1′ + V1′′
I=
I 2′ + I 2′′
2

et

I1= I=
I1′′
1′
V=
2 V=
2′ V2′′

Sous forme matricielle :

 V1   V1′   V1′′
=
   +   or
 I 2   I 2′   I 2′′ 
17

 V1′ 
 I′ 
I 
′ 1  H ′ 1 
=
 ′  H=
 I2 
 V2′ 
 V2 

et

 V1′′
 I ′′ 
I 
′′  1  H ′′  1 
=
 ′′  H=
 I2 
 V2′′
 V2 

d’où :

I 2′

Q’

V1′

I2

V2′

Q

V1

 V1 
 I1 
 =
 [ H ′ + H ′′]  
 I2 
 V2 
Le quadripôle équivalent est représenté alors par :

=
H

I1′

I1

V2

I1′′

I 2′′

’’

Q

V1′′

V2′′

[ H ′ + H ′′]
fig.5.26

5.15.4 Association de deux quadripôles en parallèle-série

Les deux quadripôles sont montés tels qu’ils sont montrés sur le schéma. Les relations
caractéristiques de l’association sont :
I1= I1′ + I1′′
V=
2 V2′ + V2′′

V=
1 V=
1′ V1′′
I=
I=
I 2′′
2
2′

et

I 2′

Q’

V1′

et sous forme matricielle :
 I1   I1′   I1′′ 
=
   +   or
 V2   V2′   V2′′
I ′
 V ′
V 
′  1  G′  1 
=
 1  G=
V ′ 
 I 2′ 
 I2 
 2

I1′

I1

V 

[G′ + G′′]  I 1 


I1′′

et

V2
I 2′′

’’

Q

V1′′

V2′′

fig.5.27

soit

2

V2′

Q

V1

 I ′′ 
 V ′′
V 
′′  1  G′′  1 
=
 1  G=
 V ′′ 
 I 2′′ 
 I2 
 2
Le quadripôle équivalent est alors :

 I1 
 =

 V2 

I2

=
G

[G′ + G′′]

5.15 Association en cascade (en chaine)
L’association est représenté par :

 V1 
 V2 
  = A
 et
 I1 
 −I2 
caractéristiques sont :

les

relations

I1

V1

I 2′

I1′

V1′

Q’

V2′

I 2′′

I1′′

Q V ′′
1

Q’’

V2′′

I2

V2

V1 = V1′
fig.5.28
I = I ′
1 1
V′ 
 V ′′ 
 V ′′ 
 V1 
V 
V 
V2′ = V1′′
2
1
2





=



′′
A
A
A ⋅A
A′ ⋅ A′′  2  =
A 2 
=
=
 I ′ = − I ′′ ⇒   =
 −I ′ 
 I ′′ 
 − I ′′ 
2
 I1 
 −I2 
 −I2 
 2
 2 
 1 
 2 
V2′′ = V2
 I ′′ = I ′′
2
 2
La matrice équivalente est alors : A = A′A′′
18


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