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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 5
(15 N ovembre 2017)
Exercise 1 Soient f (x) =

p

2 + 2x et g(x) = ex :

(a) Donnez les domaines de dé…nition de f + g, f g, f
(b) Les fonctions f

g et g f .

g et g f sont-elles égales?

(c) Les expressions f

g( 2) et g f ( 2) sont-elles signi…catives?

Exercise 2 (a) Montrez que, pour tout c 2 R, la fonction constante f (x) = c
est continue.
(b) Considérez la fonction
f (x) =

1=x si x 6= 0
0
si x = 0:

(i) Montrez que f (x) n’est pas continue en utilisant la dé…nition (i.e. en
termes de suites) (voir notes de cours11).
(ii) Montrez que f (x) n’est pas continue en utilisant la caractérisation
de la continuité (voir notes de cours11).
Exercise 3 Etudiez la continuité de chacune des fonctions suivantes.
(a) f (x) = cos(1
(b) g(x) =

(log(x))2 );

1
1
x2 cos 1 x

pour x 6= 0; 1:

Exercise 4 (a) Utilisez la dé…nition de la continuité (i.e. en termes de suites)
pour prouver que, pour tout k 2 R; g(x) = kx est continue.
(b) Utilisez la caractérisation
de la continuité pour prouver que f (x) = jxj
est une fonction continue sur R.
(Indication: utilisez l’inégalité triangulaire inverse: pour tout a; b 2 R; jjaj
jbjj ja bj.)
(c) Utilisez la partie (b) et les propriétés des fonctions continues (voir notes de
cours11) pour prouver que si g est continue en x0 2 dom(g), alors jgj est
continue en x0 .
1

Exercise 5 Utilisez les propriétés des fonctions continues (voir notes de cours11)
pour prouver les résultats suivants :
(a) Montrez par induction que, si n 2 N, la fonction f (x) = xn est continue
sur R.
(b) Prouvez par induction que pour tous réels a0 ; a1 ; :::; an , la fonction polynomiale correspondante p(x) = a0 + a1 x+ +an xn est continue sur R.
(Indice: utilisez la partie (a).)
(c) Une fonction rationnelle f est une fonction de la forme p=q où p et q sont
des fonctions polynomiales, comme dans la partie (b). Le domaine de f est
fx 2 R : q(x) 6= 0g. Montrez que toute fonction rationnelle est continue
sur son domaine.
(Indice: utilisez la partie (b).)
Exercise 6 Soient f et g des fonctions à valeurs réelles.
1
2 jf

(a) Montrez que min(f; g) = 12 (f + g)

gj.

(b) Combinez la partie (a) avec l’exercice3 (c) et les propriétés des fonctions
continues (voir notes de cours11) pour prouver que, si f et g sont continues, alors min(f; g) est continue.
Exercise 7 Montrer que les fonctions suivantes sont discontinues en x0 = 0 :
(a) f (x) =

x + 1 si x > 0
x 1 si x 0:

(b) g(x) =

cos x
1

si x 6= 0
si x = 0:

x
jxj

si x 6= 0
(Cette fonction est connue sous le nom de fonc0 si x = 0:
tion signe notée sgn(x).)

(c) h(x) =

Exercise 8 Soit f une fonction à valeur réelle avec dom(f )
l’équivalence des propriétés suivantes :

R. Prouvez

(i) f est continue à x0
(ii) pour toute suite monotone xn dans dom(f ) convergeant vers x0 , nous avons
lim f (xn ) = f (x0 ).
(Indice: pour prouver (ii) implique (i), utilisez la contraposée et le fait que
chaque suite a une sous-suite monotone.)
Exercise 9 (a) Soit f une fonction réelle continue dé…nie sur tout R. Montrez
qut si f (r) = 0 pour chaque r 2 Q, alors f (x) = 0 pour tout x 2 R.
(Indice: Utilisez la densité des rationnels.)
2

(b) Soient f et g des fonctions à valeurs réelles continues sur R telles que
f (r) = g(r) pour chaque nombre rationnel r 2 Q. Montrez que f (x) =
g(x) pour tout x 2 R. ( Astuce: ceci est une conséquence rapide de la
partie (a).)
Exercise 10 (a) Au premier chapitre, nous avons montré que les nombres rationnels sont denses dans les nombres réels : pour tout nombre réel a < b,
il existe un nombre rationnel r avec a < r < b. Maintenant prouvez
que pour tout nombre réel a < b il existe un nombre irrationnel y avec
a < y < b.
(Indice: Soit
p I l’ensemble des nombres irrationnels, I = RnQ et montrez que
fr + 2 : r 2 Qg I.)
(b) Soit f (x) = 0 pour les nombres rationnels et f (x) = 1 pour les nombres
irrationnels. Montrez que f est discontinue sur tout R.
(Indice: considérez les cas x0 2 Q et x0 2 I séparément. Utilisez la densité de
Q dans R et la densité de I dans R pour construire vos suites.)

3


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