Test1 .pdf

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Université Abdelhamid Ben Badis - Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Test1
20 N ovembre 2017 : 16h 00mn ! 16h 45mn
Exercise 1 (a) Énoncez le théorème de densité des nombres rationnels dans
les nombres réels.
(b) Soit x; y 2 R. Supposons que pour tout r 2 Q avec r > y, on a x
Montrez que x y.(Indice: utilisez la partie (a).)

r.

Exercise 2 Soit sn une suite croissante de nombres positifs et dé…nissons la
suite moyenne de sn par
n

(a) Montrez que

n

=

1
(s1 + s2 +
n

+ sn ) :

est une suite croissante.

(b) Énoncez la dé…nition d’une suite bornée, ensuite montrez que si sn est
bornée, alors n est bornée.
(c) Montrer que si sn converge, alors
(a) et (b).)

n

converge. (Indice: utilisez les parties

(d) Supposons que SN +1 > 2M . Montrez que
(Indice: D’abord, montrez que pour tous
n > N,

n

n

> M pour tout n > 2N .

> 2 n nN M . Ensuite, utilisez n > 2N pour montrer que

(e) Montrer que si sn ne converge pas, alors
utilisez la partie (d).)

n

n N
n

> 12 .)

ne converge pas. (Indice:

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