Trigonométrie .pdf



Nom original: Trigonométrie.pdf

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par XeTeX output 2017.11.24:2356 / xdvipdfmx (20170318), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 25/11/2017 à 00:03, depuis l'adresse IP 41.225.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 924 fois.
Taille du document: 59 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document




Série N°8

Lycée pilote Médenine
3e`me Maths

Prof : Habib Haj Salem
2017-2018

Trigonométrie

Exercice N° 1:
Simplifier les expressions suivantes :
(
)
(
)
(
)


21π
A = sin
− x + sin(3π − x) + cos
+ x + cos(17π − x) + sin x −
2
2
2

lem

(
)
)
)
(
(
(


π)

B = sin x +
+ sin x −
+ sin 2x +
+ sin 2x −
4
4
4
4

Exercice N° 2:

(b) Déduire que :tan2

π
2

on a :tan x +

π

+ tan2
= 14
12
12

1
2
2
1
=
=
et tan2 x +
2
tan x
sin x
sin 2x
tan x

Sa

1. (a) Montrer que pour tout x ̸=

2. (a) Montrer que : cos(4x) + 4 cos2 x. sin2 x = (1 sin 2x)(1 + sin 2x)
π
π

+ 4 cos2 sin2
(b) Déduire la valeur de A = cos
8
8
8

Exercice N° 3:

π
8

et B ∈



2 , π[

Ha
j

Soient A, B et C trios réels positives tells que :A + B − C =

−1
tel que cos B = √ .
5

1. Calculer tan B, sin (A − C) etcos (A − C).
1
2. On suppose que :A.C = √ .
2 x
(a) Calculer sin A.C.

(b) En déduire tan A. tan C.

b

3. Calculer tan A − tan C puis tan A et tan C .

Exercice N° 4:

Ha
bi

(
( √
)

→ −
→)
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, i , j . Soit A − 3 ; 1 et B(−1 , − 1)
1. Déterminer les coordonnées polaires de A et B.
)
(

.
2. Soit C le point de coordonnées polaires 2 , −
3
Déterminer les coordonnées cartésiennes de C.
(
)
−−→
−→
\
3. Déterminer la mesure principale de CO, OA .

Exercice
√ N° 5:

Soit A(x) =

3 cos(2x) − sin(2x) − 1.

1. Écrire A(x) sous la forme r cos(2x − φ) − 1, où r et φ sont deus réels qu’on déterminera.
(
π)
2. (a) Montrer que pour tout x ∈ R ona : A(x) = 1 − 4 sin2 x +
.
12
(π)
(b) En déduire sin
.
12
(
(
π)
π)
3. Soit B(x) = A(x) + 1 − 2 cos 2x +
sin x −
.
6
4
Prof : Habib Haj Salem

Page 1 sur 5

2017 / 2018

(
(
π)[
π )]
(a) Vérifier que B(x) = 2 cos 2x +
1 − sin x −
.
6
4
(b) Résoudre dans [0 , π] l’équation B(x) = 0.
(c) Résoudre dans [0 , π] l’équation B(x) ≤ 0.

Exercice N° 6:
Soit f (x) = 1 + cos(2x) sin(2x)

2. On pose g(x) =

sin(2x) − 1
.
1 + cos(2x) − sin(2x)

(a) Déterminer D l’ensemble de définition de g.

Exercice N° 7:

Soit f (x) = 4 sin x cos3 x − sin 2x
1. Montrer que pour tout réel x, f (x) =

1
sin(4x).
2

Sa

1
(b) Montrer que pour tout x de D , on a g(x) = (tan x − 1) .
2
(π ) √
(c) Déduire que tan
= 2 − 1.
8

2
(d) Résoudre dans [0 , π], l’inéquation g(x) <
−1
2

lem

(

π)
.
1. (a) Montrer que : f (x) = 2 2 cos x cos x +
4
(b) Résoudre dans R puis dans [0 , π] , l’équation f (x) = 0.

)
( )
5
1
4. Soit g(x) = cos x. cos
x . cos
x .
2
2
Résoudre dans [0 , π], g(x) = 0 puis g(x) > 0.

b

(

Ha
j


3
cos(4x) − f (x) = 0.
2. Résoudre dans R, l’équation
2
(
√ )
2
3. Résoudre dans [0 , 2π[, l’inéquation cos x −
.f (x) < 0.
2

Exercice N° 8:

2 sin(3x)
.
sin(2x)

Ha
bi

Soit A(x) =

1. (a) Déterminer l’ensemble des réel x, où A(x) à un sens.
( )
(π )

(b) Calculer A
.
et A
4
5
(
)
2. (a) Montrer que pour tout réel x, on a : sin(3x) = sin x 4 cos2 x1 .


4 cos2 x − 1
(b) Montrer, alors, que pour tout réel x ̸=
; k ∈ Z on a : A(x) =
.
2
cos x
( )

.
(c) Déduire la valeur exacte de cos
3
3. Pour tout réel x de l’intervalle [0 , π] , on pose B(x) =

1 − 2 sin x

.
A(x)

(a) Dresser le tableau des signes de A(x) sur [0 , π] .
(b) Trouver, alors, l’ensemble des réel x de l’intervalle [0 , π] où B(x) à un sens.
(c) Résoudre, dans l’intervalle [0 , π], l’inéquation : B(x) ≤ 0.

Prof : Habib Haj Salem

Page 2 sur 5

2017 / 2018

Exercice N° 9:

sin(4x)
,
x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}.
4 sin x
( )
(π )

1. Calculer f
et f
.
3
5

Soit f (x) =

3. Soit l’équation (E) : 8x3 − 4x − 1 = 0.
( )
(π )

(a) Vérifier cos
sont deux solutions de (E).
et cos
3
5
(b) Résoudre dans R l’équation (E).
(π )
.
(c) En déduire la valeur exacte de cos
5

Exercice N° 10:
Soit la fonction f définie par f (x) =

sin(2x) − cos(2x) + cos x + sin x + 1
.
4 sin2 x − 1

2. (a) Factoriser sin(2x) − cos(2x) + cos x + sin x + 1.
cos x + sin x
.
(b) Montrer alors que : f (x) =
2 sin x − 1
3. Résoudre dans [0 , π] les inéquations suivantes :

Sa

1. Déterminer, l’ensemble de définition de f .

lem

2. Montrer que :f (x) = 2 cos3 x − cos x.

(b) f (x) ≤ − cos x.

Exercice N° 11:

Ha
j

(a) f (x) ≤ 0.

Soit f la fonction définie sur R , par f (x) = 2 cos3 x −



3 sin 2x .
)
(

+ 1.
1. (a) Montrer que , pour tout réel x, on a f (x) = 2 sin 2x +
6
(b) Résoudre dans R , l’équation f(x)=0.
2 cos(2x) − 1
.
f (x)
(π) √
2. Déterminer Dg l’ensemble de définition de g , puis vérifier que g
= 3−1 .
12

Ha
bi

b

Soit x un réel de l’intervalle [0 , π]. On définit la fonction g par : g(x) =

3. (a) Montrer que pour tout réel x , on a : 2 cos(2x) − 1 = cos2 (2x) − 3 sin2 (2x).
)

1(
(b) Montrer que pour tout réel x ∈ Dg on a : g(x) =
1 + 3 tan x .
2
(π)

(c) En déduire que :tan
= 2 − 3.
12

Exercice N° 12: (Ds 2016-2017)

Soit A(x) = cos(2x) − sin(2x) , pour tout réel x.
(
π)
1. (a) Montrer que A x +
+ A(x) = 0
2
( )

π
(b) Calculer A( ) , en déduireA
8
8
(
π)
2. (a) Montrer que , pour tout x ∈ R, A (x) = −2 sin 2x −
6
(b) Résoudre dans puis dans ] − π; π] l’équation :A (x) = 0

Prof : Habib Haj Salem

Page 3 sur 5

2017 / 2018

π
6 A(x)
1. Déterminer l’ensemble de définition de h
(
π)
1
2. Montrer que , pour tout x ∈ Dh, h (x) = − tan x −
12
( π2 )
3. Calculer h(0) et déduire la valeur de tan
12

3. Pour tout x ∈] − π; π] , h (x) = 1 − cos2x −

Exercice N° 13:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct et (C est le)cercle trigonométrique de centre O . Soient


→ −−→
A(−1, 0), B(2, 0) et C(0, 3) et M un point de C tel que i ˆ,OM ≡ θ [2π]

lem

(−−→ −→)
(−−→ −→)
(−−→ −→)
1. Calculer cos ABˆ,AC et sin ABˆ,AC et en déduire une mesure de l’angle orienté AB, AC
−−→ −−→
2. (a) Déterminer les composantes de chacune des vecteurs OM et OM
−−→ −−→
(b) Montrer que OM .OM = 1 − 2 cos θ

Sa

(c) En déduire les valeurs de θ pour les quelles la droite (BM ) est tangente à C
(−−→ −→) √
(
π)
3. (a) Montrer que AM , AC = 3 − 2 sin θ −
3
(b) En déduire les valeurs de θ pour lesquelles les points A , C et M sont alignés .

4. (a) Montrer que AM = 2 + 2 cos θ
(b) déterminer et représenter l’ensemble E des point M de C tels que AM ≥ 2 .

Exercice N° 14: (Ds 1 2016-2017)

Ha
j

Les parties I et II sont indépendantes
I
[ π]
cos x
1 + sin 2x
Soit x ∈ 0,
, f (x) = √
et g(x) = √
.
2
2 − 2 sin x
2 − 2 sin x
( ) ( )
( )

π

1. Calculer f (0) f
;
etg
12
12
8
[
]
2. Montrer que pour tout x ∈ 0, π2 : f 2 (x) + g 2 (x) = 1.

b

II
Soit C un cercle trigonométrique de centre
rayon 1, Soit ABC est un triangle direct tels que :[AB] est un
( 0 et de )
−−→
−→
\
diamètre de C et C un point C .On note AB, AC ≡ a [2π]
(
)
−−→
−−→
\
OB, OC ≡ 2a [2π]

Ha
bi
1. Vérifier que

2. SoitH le projet orthogonal de C sur [AB].
(a) Calculer cos a dans les triangles ACB et ACH.

(b) En déduire que AH = 2cos2a.

3. (a) Montrer que AH = 1 + cos(2a)
1 + cos 2a
(b) Déduire que cos2 a =
2
4. (a) Calculer CH de deux façons différentes.
(b) En déduire que sin(2a) = 2 sin a. cos a .
5. Déterminer les valeurs exacte de : cos

6. Montrer que tan 2a =

π
π
puis sin
8
8

2 tan a
.
1 − tan2 a

Prof : Habib Haj Salem

Page 4 sur 5

2017 / 2018


Trigonométrie.pdf - page 1/4
Trigonométrie.pdf - page 2/4
Trigonométrie.pdf - page 3/4
Trigonométrie.pdf - page 4/4

Documents similaires


serie5 1bac sm biof
devoir de controle 3 bac maths
4 serie primitives sm
revision bac sc exp fin trim 2
integrales
exercices d entrainement aux olympiades de mathematiques


Sur le même sujet..