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PS23 Poly de cours (2016) .pdf



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PS23 : Ondes et électromagnétisme
D’après un cours de
P. Lanceleur et E. Perrey-Debain
Retranscrit par
H. Lefebvre
2016

Table des matières
I

Electromagnétisme

3

1 Electrostatique
1.1 Structure de la matière . . . . . . . . . .
1.2 Forces, champs et potentielles . . . . . .
1.2.1 Force de Coulomb . . . . . . . .
1.2.2 Champ électrostatique . . . . . .
1.2.3 Application . . . . . . . . . . . .
1.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Notion d’angle solide . . . . . . .
1.3.2 Flux d’un champ électrostatique
1.3.3 Théorème de Gauss . . . . . . .
1.3.4 Equation de Maxwell-Gauss . . .
1.4 Energies et travail . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Cas d’une charge ponctuelle . . .
1.4.2 Cas d’une distribution de charge
1.4.3 Surfaces équipotentielles . . . . .

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10

2 Conducteur en équilibre
2.1 Conducteurs isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Influence électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Application : Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
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12

3 Magnétostatique
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Champ créé par une charge en mouvement . . .
3.2.2 Champ créé par un ensemble de charges . . . . .
3.2.3 Champ créé par un circuit électrique . . . . . . .
3.3 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Equation de Maxwell-Thomson . . . . . . . . . .
3.3.3 Equation de Maxwell-Ampère . . . . . . . . . . .
3.4 Actions magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Force magnétique subit par une particule chargée
3.4.2 Force magnétique subit par un circuit . . . . . .

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4 Electrocinétique et induction
4.1 Electrocinétique . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Loi d’Ohm . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Conservation de la charge . . . . . . .
4.2 Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Expérience de Faraday . . . . . . . . .
4.2.2 Equation de Maxwell-Faraday . . . . .
4.2.3 Auto-induction et induction mutuelle .
4.2.4 Retour sur les équations de Maxwell .

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II

Ondes

20

5 Equation des ondes et solutions
5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21
21
21

6 Ondes planes et harmoniques
6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Equation d’Helmotz . . . . . . . . . . . . .
6.3 Direction quelconque . . . . . . . . . . . . .
6.4 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Exemples d’ondes planes harmoniques . . .
6.5.1 Ondes électromagnétiques . . . . . .
6.5.2 Ondes transversales dans une corde .
6.5.3 Ondes sonores (longitudinales) . . .
6.5.4 Ondes dans un barreau élastique . .

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27
30

7 Ondes 2D et 3D
7.1 Formalisme complexe . . . . . . .
7.2 Ondes 2D en cartésien . . . . . .
7.3 Ondes 3D en sphérique . . . . . .
7.3.1 Equation d’onde . . . . .
7.3.2 Impédance accoustique en
7.3.3 Intensité et puissance . .
7.4 Effet Doppler . . . . . . . . . . .
7.5 Ondes 2D circulaires . . . . . . .

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8 Conditions aux limites
8.1 Interface entre deux milieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Changement de section de tube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Incidence oblique (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
35
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37

9 Ondes stationnaires et modes guidés
9.1 Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Mur infiniment rigide . . . . . . . . . .
9.1.2 Tube avec ouverture . . . . . . . . . . .
9.1.3 Tube unidimensionnel de longueur finie
9.2 Modes guidés . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Tube 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2 Cavité 2D . . . . . . . . . . . . . . . . .

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39
39
40
40
41
41
42

10 Interférences
10.1 Interférences entre deux ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43
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3D
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Première partie

Electromagnétisme

3

Chapitre 1

Electrostatique
L’électrostatique est le domaine de la physique qui étudie les phénomènes créés par des charges
électriques statiques. Depuis l’antiquité, il est connu que certains materiaux (dont l’ambre) attirent
des objets de petites tailles après avoir été frottés. Le mot grec pour "ambre" est elek-tron.

1.1

Structure de la matière

La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée d’atomes. Ceux-ci sont
eux-même composés d’un noyau (1981, Rutherford) autour duquel "gravite" une sorte de nuage
composé d’électrons et portant l’essentiel de la masse. Ces electrons se repoussent les uns les autres
mais restent confinés autour du noyau car celui-ci possède une charge positive qui les attire. On
attribue cette charge positive à des particules appelés protons. Il existe un autre type de particule,
les neutrons, portant une charge électrique nulle.
Dans le tableau de Mandeliev, tout élement X est representé par la notation
XZA
où A est le nombre de masse (nombre total de nucléon) et Z le numéro atomique (nombre de
protons). La charge électrique nucléaire totale est donc
Q = +Ze
Et le cortège électrique possède une charge
Q = −Ze
Ce qui assure la neutralité de l’atome.
Numérique : Voici quelques données numériques :

Qe = −e = −1.602 × 10−19 C
Electron
−31
kg
me = 9.109 × 10
Qp = +e = 1.602 × 10−19 C
Proton
−27
kg
mp = 1.672 × 10
Qn = 0
Neutron
mn = 1.674 × 10−27 kg
A l’heure actuelle, l’univers est descriptible à l’aide des 4 forces fondamentales :
— Force nucléaire faible (radioactivité)
— Force nucléaire forte (cohésion du noyau)
— Force électromagnétique (cohésion de l’atome)
— Force gravitationnelle (cohésion des corps astro-physiques)

4

Un matériau est ainsi constitué d’un grand nombre de charges électriques, mais celles-ci sont toutes
compensées. Des charges en excés ou en manque, non compensées, sont responsables des effets électriques.
Conducteur parfait : Un matériau est dit conducteur parfait si lorsqu’il devient electrisé, les
porteurs de charges non compensées peuvent se déplacer librement dans tout le volume occupé par
le materiau. (exemple : électrolyse, conducteur ohmique)
Isolant parfait : Un matériau est dit isolant (ou diélectrique) parfait si les porteurs de charges
restent "immobiles".

1.2
1.2.1

Forces, champs et potentielles
Force de Coulomb

Charles Auguste Coulomb (1736-1806) a effectué une série de mesures qui lui ont permis de
déterminer avec un certain degré de précision les propriétés de la force électrostatiques. La force est
radiale et proportionnelle au produit des charges et varie comme l’inverse du carré de la distance
entre les charges.

Définition : La force exercée par une charge ponctuelle q1 sur une autre charge q2 est :
F~1/2 =

1 q1 q2
u1,2
2 ~
4πε0 r1,2

1
= 9 × 109 Nm2 C−2 , ε la permitivité du vide (en Farad par mètre) et où ~u1,2 est
Où k = 4πε
0
vecteur unitaire allant de 1 vers 2. (Attention, dans un milieu différent du vide, la constante de
permitivité doit être adapté)

Remarque : Pour un électron, la force de gravité est hautement négligeable par rapport à la force
électromagnétique, en effet
Fe
e2
=
Fg
4πε0 r2

1.2.2



Gm2e
r2

−1

= 4 × 1042

Champ électrostatique
~
F

Pour une charge ponctuelle, on peut remarquer que q1/2
ne dépend que de la charge q1 et de
2
la distance r1,2 . On appelle cette quantité vectorielle "champ électrique"
Champ électrostatique : Une charge q en un point P de l’espace, crée en un point M de
~
l’espace un champ électrostatique E(M
) en V/m telle que :
~
E(M
)=

1 q
~u
4πε0 r2

Champ créé par un ensemble de charge : D’après le principe de superposition, le champ
résultant en un point M est égale à la somme de tous les champs électriques de chacunes des

5

charges qi (i = 1...n) placés en Pi . De sorte qu’en notant ~ri = Pi~M et ~ui = ~ri / || ~ri ||
~
E(M
)=

n
1 X qi
~ui
4πε0 i=1 ri2

En pratique, cette expression n’est que rarement utilisée puisque nous sommes amenés à considérer
un nombre gigantesque de particules. Il est donc plus habile d’utiliser des distributions continues de
charge. Il s’agit d’une approximation, permettant de remplacer une somme discrète presqu’infinie
par une somme continu :
Z
dq(P )
~
~u
E(M ) =
2
4πε
0r
dist
Avec dq(P ) la charge en P et ~r = P~M
Densités : Pour caractériser la distribution de charges sur un volume, on introduit les densités de charges suivantes
Densité linéique
λ = dq
dlR
1
λ
~
E(M
) = 4πε
~udl
C r2
0

1.2.3

Densité surfacique
dq
σ = dS
RR
1
~
E(M
) = 4πε0 Σ rλ2 ~udl

Densité volumique
dq
ρ = dV
RRR λ
1
~
E(M
) = 4πε0
~udl
V r2

Application

Ces phénomènes électrostatiques sont utilisés par exemple pour dévier une particule de charge
q. En effet, d’après le principe fondamentale de la dynamique :

d~v
qE 2
x = v0 t
~
~
F =m
= qE ⇒
2 ⇒y =
2x
y = 21 qE
t
dt
2mv
0
m

6

1.3
1.3.1

Théorème de Gauss
Notion d’angle solide

La notion d’angle solide est l’extension naturelle dans l’espace de l’angle défini sur un plan.
Définition : L’angle solide élementaire dΩ, délimité par un cône coupant un élement de surface
dS 0 à distance r de son sommet O vaut :
dS 0
dΩ = 2
r

D’une façon génerale, le cône peut intercepter une surface quelconque dS dont la normale ~n
fait un angle θ avec le vecteur unitaire ~u. On a alors bien sûr ~n.~u = cos θ et on peut considérer que
dS 0 = dS cos θ, d’où
dS 0
dS cos θ
dS~n.~u
dΩ = 2 =
=
r
r2
r2

1.3.2

Flux d’un champ électrostatique

~ dû à q à travers une surface
On considère une charge ponctuelle q en O. Le flux du champ E
~
élementaire dS = dS~n est
~ = E.~
~ dS
~ ndS = 1 q ~u.~ndS = q dΩ
dΦ = E.
4πε0 r2
4πε0

1.3.3

Théorème de Gauss

Que se passe-t-il si on s’intéresse au flux total à travers une surface fermée ?

Bilan du flux sur le cône dΩ : Comme la surface considérée est fermée, le nombre de traversées
du cône est toujours impair (cf. ci-dessus). Ainsi, pour une traversée :
dΦ =
7

qdΩ
4πε0

Pour trois traversées :
dΦ = dΦ1 + dΦ2 + dΦ3 =

q
qdΩ
(dΩ − dΩ + dΩ) =
4πε0
4πε0

Ceci se vérifie encore pour un nombre supérieur de traversées du cône. Et, en intégrant selon toutes
les distances, on trouve :
ZZ
ZZ
q
qdΩ
=
Φ=
dΦ =
ε0
Σ
Σ 4πε0
Ce résultat se généralise encore pour un nombre quelconque de charges, c’est le théorème de Gauss.
Théorème de Gauss :

ZZ
Φ=

1.3.4

~ ndS = Qint
E.~
ε0
Σ

Equation de Maxwell-Gauss

Le théorème de Gauss-Ostrogradski (MT22) nous permet d’affirmer que
ZZ
ZZZ
~
~
E.~ndS =
div EdV
Σ

V

Or, dans le cas d’une distribution volumique de charge, on a
ZZZ
ZZ
ρ
~ ndS =
dV
E.~
V ε0
Σ
Ce qui nous permet de déduire la première des équations de Maxwell :
~ = ρ
div E
ε0

1.4

Energies et travail

1.4.1

Cas d’une charge ponctuelle

~ créé par une
Prenons une particule "test" de charge qt placée dans un champ électrostatique E
autre charge q placée au point P . Pour déplacer la charge qt du point A au point B, un opérateur
doit fournir une force qui s’oppose à la force de Coulomb. Si ce déplacement est fait suffisamment
~ et le travail fourni par l’opérateur est donné par
lentement, F~ = −qt E
WAB

Z

B

=

~ = −qt
F~ .dl

A

Z

B

A

~ =
~ dl
E.

Z

B

A

Z B
Z B
~
q ~u.dl
q
qdr
= −qt
cos θdl = −qt
2
2
4πε0 r2
4πε
r
4πε
0
0r
A
A

Par ailleurs, si on note V (M ) le potentiel électrostatique tel que
V (M ) =

q
4πε0 r

On trouve que
WAB = qt (V (B) − V (A))

8

Remarque : La force électrostatique est conservative
Energie potentielle : L’energie potentielle d’une particule chargée qt placée dans un champ
électrostatique est égale au travail qu’il faut fournir pour amener de façon quasi-statique cette
particule de l’infini à sa position actuelle.
M
U = W∞
= qt (V (M ) − V (∞)) = qt V (M ) Car, par convention : V (∞) = 0

~
~
Relation entre E(M
) et U (M ) : Considérons deux points très proche M et M 0 . On a M~M 0 = dl.
On a alors d’une part
Z M0
~ = −E.
~
~ dl
~ dl
dV = V (M 0 ) − V (M ) = −
E.
M

Et d’autre part
V = V (x, y, z) =

∂U
∂U
∂U
~
~ V.dl
dx +
dy +
dz = grad
∂x
∂y
∂z

D’où l’égalité suivante :
~ V
~ = −grad
E

1.4.2

Cas d’une distribution de charge

Fixons une particule de charge q1 . Le travail nécessaire pour amener une charge q2 est
U2 = q2 V12 =

1 q1 q2
4πε0 r12

De même, le travail pour amener une troisième charge q3 est
U3 = q3 (V13 + V23 ) =

q1 q3
q2 q3
+
r13
r23

Enfin, pour n charges qi , on trouve
U = U1 + U2 + ... + Un =

n
n
1 X X qj
1X
qi
=
qi Vi
4πε0 i=1 j<i rij
2 i=1

Où Vi est le potentiel en i dû aux autres charges.
Ce résultat se géneralise pour une distribution de charge par
Z
Z
1
1
dq
U=
dq(M )V (M ) où V (M ) =
2 dist
4πε0 dist r
Remarque : V est exprimé en Volt (V) alors que V est exprimé en électron-volt (eV). 1eV= 1.6 ×
10−19 J.
9

1.4.3

Surfaces équipotentielles

Définition : La surface équipotentielle est telle que le potentiel V est constant en tout point de
celle-ci.
~ = 0 ⇒ E.
~ =0
~ V.dl
~ dl
V (x, y, z) = cte ⇒ dV = grad

10

Chapitre 2

Conducteur en équilibre
2.1

Conducteurs isolés

Définition : L’équilibre électrostatique d’un conducteur est atteint lorsqu’une charge électrique
ne se déplace plus à l’intérieur du conducteur. Cela entraine nécessairement que :
~ = 0 et donc V = cte)
— Le champ électrostatique total est nul dans le conducteur. (i.e. E
— Les charges sont localisées à la surface.
Théorème : Le champ électrostatique à proximité immédiate d’un conducteur de densité surfacique σ vaut :
~ = σ ~n
E
ε0

2.2

Influence électrostatique

11

2.3

Application : Condensateur

12

Chapitre 3

Magnétostatique
3.1

Introduction

La magnétostatique est l’étude du magnétisme dans les situations où le champ magnétique ne
dépend pas du temps. Il existe deux sources de champs magnétiques : le courant électrique et la
matière aimantée. L’analyse du champ magnétique commence avec l’experience de Orsted (1820,
40 ans après Coulomb) : il place un fil conducteur au dessus d’une boussole par hasard et y fait
passer un courant.

3.2
3.2.1

Champ magnétique
Champ créé par une charge en mouvement

Le champ magnétique créé en un point M par une particule q située en P et animée d’une
vitesse ~v est
µ0 q~v ∧ ~u
~
B(M
)=
4π r2
Remarque : L’unité du champ magnétique est le Tesla. µ0 est la perméabilité du vide et vaut
µ0 = 4π × 10−7 H.m−1

3.2.2

Champ créé par un ensemble de charges

Le principe de superposition nous permet de déduire que, pour un ensemble de charge, le champ
magnétique vaut :
n
µ0 X qi v~i ∧ u~i
~
B(M
)=
4π i=0
ri1
Et pour une distribution de charge continu :
µ0
~
B(M
)=


3.2.3

Z
ν

dq~v ∧ ~u
r1

Champ créé par un circuit électrique

Considérons un conducteur métallique, les porteurs de charge sont les électrons et on a
dq~v = nq~v dν = ~jdν~v
Avec n la densité de porteur de charge, ~j le vecteur densité et ν le volume (dν = Sdl). On a
~ = ~v dt.
évidemment dl

13

On s’intéresse ici à une partie infinitésimalle d’un circuit. Calculons le champ magnétique élementaire :
Z Z

~ dl
~ ∧ ~u
~ = µ0
~j.dS
dB

S
Or,
ZZ

~ = I dl
~
~j.dS

S

Avec I le courant. On trouve la fameuse loi de Biot et Savart :
Z
~ ∧ ~u
I dl
µ0
~
B(M ) =
4π C r2
Remarque : Le courant électrique est donnée par I = nevS avec n la densité de porteur de charge,
e la charge d’un électron, v la vitesse moyenne de dérive et S la section du fil considéré.

3.3
3.3.1

Théorème d’Ampère
Théorème d’Ampère

Considérons tout d’abord un fil de longueur infinie, on a notamment :
~ = dre~r + rdθe~θ + dz e~z
~ = re~r + z e~z et donc dOM
~ = dl
OM
Le calcul de la circulation du champ magnétique selon une courbe fermée est alors assez remarquable :
I
I

~ = µ0 I
~ dl
CΓ =
B.
Γ
θ 2π
H dθ
Deux cas sont alors possibles, soit Γ est une courbe qui n’enlace pas le fil, auquel cas θ 2π
= 0.
H
H dθ
~
~
Soit Γ enlace le fil et alors Γ B.dl = µ0 I (car alors θ 2π = 1). Ce résultat se généralise par le
théorème d’Ampère.
~ le long d’une courbe orientée, fermée, appelée alors
Théorème d’Ampère : La circulation de B
contour d’Ampère, est égale à µ0 fois la somme algébrique des courants qui traversent la surface
SΓ délimité par Γ. Ou encore :
I
~ = µ0 IT otal
~ dl
B.
Γ

14

Remarque : Le choix du sens de la circulation est arbitraire.

3.3.2

Equation de Maxwell-Thomson

Rappel : Pour une charge placée en O animée d’une vitesse ~v = v e~z , on trouve que
µ0 q~v ∧ e~θ
~
B(M
)= 2
(r + z 2 )3/2

Equation de Maxwell-Thomson : On a toujours :
~ =0
div B

3.3.3

Equation de Maxwell-Ampère

On vient d’établir que
I

~ = µ0
~ dl
B.

ZZ

Γ

~j.~ndS



Or, la relation suivante est aussi verifiée (MT22) :
ZZ
I
~ =
~
~ dS
~ dl
~ B.
rot
B.


Γ

Ce qui nous permet de déduire
~ = µ0~j
~ B
rot
Remarque importante : Ceci est vrai uniquement si ~j est constant

3.4
3.4.1

Actions magnétiques
Force magnétique subit par une particule chargée

Force de Lorentz : La force totale, électrique et magnétique, subie par une particule de charge
q et de vitese ~v (mesuré dans un réferentielle galiléen) est
~ + ~v ∧ B)
~
F~L = q(E
Remarque : La composante magnétique ne fournit pas de travail.

15

Etudions la trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ magnétique. On considère une particule de masse m et de charge q. A t = 0, ~v (t) = v~0 . Le principe fondamental de la
dynamique nous donne
d~v
~
m
= q~v ∧ B
dt
Rappel PS21 :
v2 ~
d~v
= aT T~ + N
dt
R
~
~
Or, on a clairement q~v ∧ B ⊥ T , ce qui implique que
aT =
D’où finalement
m

3.4.2

dv
= 0 et donc v = v0 = cte
dt

v02
mv0
=| qv0 B |⇒ R =|
|= cte
R
qB

Force magnétique subit par un circuit

Force de Laplace :

~ s’écrit
La force magnétique s’exerçant sur un élement de volume dν = S dl
Z Z

~ ∧B
~ ∧B
~
~
~ = I dl
~
~
dF = dq~v ∧ B =
jdS dl
Σ

Ainsi, la force totale subit par un fil, appelé force de Laplace est :
Z
~ ∧B
~
F~ = I
dl
circuit

Remarque : A partir de la force de Lorentz, qui est une force microscopique agissant sur des particules individuelles, nous avons obtenu une force macroscopique agissant sur un solide. La force de
Laplace est capable de déplacer le solide et donc d’exercer un travail non nul. Il faut interpréter
cette force comme la résultante de l’action des particules sur le réseau cristallin. En fait, cela se
traduit par la présence d’un champ électrostatique : la champ de Hall (cf. Wikipedia).
Remarque 2 : C’est par la mesure de cette force qu’a été défini l’Ampère. L’Ampère est l’intensité du couant dans deux fils situés à 1 m et produisant une attraction réciproque F = 2 × 10−7
N.
16

Chapitre 4

Electrocinétique et induction
4.1
4.1.1

Electrocinétique
Loi d’Ohm

Rappel :

Le courant traversant un tronçon de circuit de section S est
ZZ
dQ
~j.~ndS
=
I=
dt
S
Dans la plupart des conducteurs, on observe une proportionalité entre la densité de courant (~j) et
~ m = F~ (où F~ est la force responsable du mouvement des électrons)
le champ électromoteur : E
q
Loi d’ohm :
~m
~j = γ E
Où γ est appelé conductivité et η = γ −1 est appelé la résistivité.
On défnit alors la résistance d’un conducteur de section S et de longueur L par
R
R
~
~
~ .dl
~ m .dl
E
E
L m
R=
= RR L
RR
~ m .~ndS
~j.~ndS
I=
γE
S

Remarque : Si Em est constant, alors R =

S

ηL
S

~ V
~ m = −grad
Remarque 2 : Si le champ électromoteur est d’origine électrostatique pure, alors E
et donc :
R
R
~
~
~ V.dl
~ .dl
E
− L grad
VA − VB
L m
R=
=
=
I
I
I

4.1.2

Conservation de la charge

Considérons une surface S délimité par un volume ν. Alors,
ZZZ
ZZ
ZZ
dQ
∂ρ
~
=
dν = −
j.~ndS =
div ~jdν
dt
ν ∂ρ
S
ν
17

D’où finalement :

4.2
4.2.1

∂ρ
+ div ~j = 0
∂t

Induction
Expérience de Faraday

Loi de Faraday : La variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé y engendre
une force électromotrice induite notée e ou f em telle que
I
~ = − dΦ
~ m .dl
E
e=
dt
C
RR
~ ndS
Où Φ = S B.~
Loi de Lenz : L’induction produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donné naissance.
Par exemple, Si B augmente, le circuit C va être telle qu’il va créer un champ B2 qui va s’opposer
à l’accroissement de B.

4.2.2

Equation de Maxwell-Faraday

Lorsqu’un courant variable circule dans un circuit, un champ magnétique est créé. Dans ce cas
précis, la force induite doit être dû à la composante électrique de la force de Lorentz. On a :
Z Z

I
~ =−d
~ dl
~ ndS
e=
E.
B.~
dt
C
S
Or, on a (MT22) :
I

~ =
~ dl
E.

C

ZZ

~ ndl
~ E.~
rot
S

D’où enfin, l’équation de Maxwell-Faraday
~
~ = − ∂B
~ E
rot
∂t

18

4.2.3

Auto-induction et induction mutuelle

Un circuit isolé est parcouru par un courant I, ce courant engendre un champ magnétique, et
donc un flux
!#
"
ZZ
I ~
ZZ
dl

~
u
µ
0
~ ndS =
.I = L.I
Φ=
B.~

r2
S
C
S
En notant
µ0
L=


ZZ

I
S

C

~ ∧ ~u
dl
r2

!

Enfin, d’après Faraday, la relation bien connue suivante est toujours vérifiée :
e = −L

4.2.4

dI
dt

Retour sur les équations de Maxwell

19

Deuxième partie

Ondes

20

Chapitre 5

Equation des ondes et solutions
5.1

Définitions

Perturbation : Petite variation d’une quantité physique
Onde : Perturbation dynamique de toute quantité physique rendant compte de l’état d’un milieu, susceptible de se propager dans l’espace et le temps.
Propagation : Déplacement au cours du temps du phénomène dans un milieu qui "reste immobile" et revient à son état initial après le passage de l’onde.
Equation d’onde Si ϕ est une onde, alors :
∆ϕ(M, t) −

1 ∂2ϕ
(M, t) = 0, ∀M, t
c20 ∂t2

Remarque : L’équation d’onde traduit bien la définition donnée ci-dessus : ∆ϕ représente la varia2
2
tion spatiale alors que ∂∂tϕ
2 représente la variation temporelle du phénomène. Le terme 1/c0 rend
homogène la formule.

5.2

Description

Ici, la perturbation qui a lieu en t = t0 se propage dans le temps. C’est à dire que la "même
perturbation" se retrouve à l’instant suivant t = t0 + ∆t.
Célérité : En une durée ∆t = t − t0 , l’onde se propage sur une distance d = x − x0 . On note alors
0
c = x−x
t−t0 la célerité de l’onde qui correspond au déplacement de la perturbation.
Remarque : Ne pas confondre vitesse et celérité ! En effet, la vitesse est associée à un déplacement de masse alors que la celérité est liée à la propagation d’un phénomène.
21

Ici par exemple, l’onde est transversale et v = dy/dt, avec c >> v
Propagation :
c=

x − x0
⇔ c(t − t0 ) = x − x0 ⇔ x − ct = x0 − ct0
t − t0

Or x0 − ct0 est constant ! On appelle alors "x − ct" le propagateur de l’onde.
Progression : On établit facilement le sens de la propagation en fonction du propagateur :
— x − ct : l’onde se propage dans le sens des x croissant (signes différents)
— x + ct : l’onde se propage dans le sens des x décroissant (signes identiques)
Solutions de l’équation (Proposition) : ϕ(M, t) = f (x − ct) + g(x + ct) est solution de l’équation
des ondes.
Preuve :
(
(
2
2
(f +g)
(f +g)
00
00
1 ∂2ϕ
1 2 00 00
∆ϕ = ∂ ∂x
= f 00 + g 00
=
f
+
g
∆ϕ = ∂ ∂x
2
2
00
00


∆ϕ−
2
∂(f +g)
2 ∂t2 = f +g − c2 (c (f +g )) = 0
∂ (f +g)
2
00
00
c
= −c(f + g)
= c (f + g )
0
0
∂t
∂t2

22

Chapitre 6

Ondes planes et harmoniques
6.1

Définitions

Onde plane : Onde qui ne dépend que d’une seule variable cartésienne
Onde harmonique : Onde dont le profil est sinusoïdal (∼ cos, sin)
Notation : Dans tout le cours, on notera
A : Amplitude (de la même unité que ϕ)
ω : Pulsation (en rad/s)
δ : Déphasage (en rad)
f : Fréquence (en Hz)
T : Periode temporelle
Définition mathématique : On sait que ϕ est une onde plane harmonique progressive si ϕ(x, t) =
f (x − ct) avec f une fonction sinusoïdale.
Considérons donc qu’à l’instant t = 0 une perturbation soit provoquée par une source sinusoïdale.
On a alors :
ϕ(0, t) = A cos(ωt + δ)
Avec, par définition, ω = 2πf et f = T −1
On peut alors écrire :
2πt
+ δ)
T
Or, la perturbation qui a lieu en t = 0 a lieu également un instant plus tard t+∆t en x (phénomène
de propagation à la celerité c) :
ϕ(0, t) = A cos(2πf + δ) = A cos(

ϕ(x, t + ∆t) = ϕ(0, t) = A cos(

2πt
+ δ)
T

D’où :
ϕ(x, t) = ϕ(0, t − ∆t) = A cos(2π(

t − ∆t
t c∆t
t
x
) + δ) = A cos(2π( −
) + δ) = A cos(2π( −
) + δ)
T
T
cT
T cT

En posant λ = cT la longueur d’onde, on a :
ϕ(x, t) = A cos(2π(
On pose également k =


λ

=

ω
c

23

t
x
− ))
T
λ

∀t, x ∈ R, n ∈ N, ϕ(x + nλ, t) = ϕ(x, t)

∀t, x ∈ R, n ∈ N, ϕ(x, t + nT ) = ϕ(x, t)

6.2

Equation d’Helmotz

Etant donné notre connaissance de la forme général des ondes planes harmoniques, on peut
simplifier l’équation d’onde les concernant, en effet :
(
(

2
2
2
1 ∂ ϕ
∆ϕ − c12 ∂∂tϕ
∆ϕ

=
0
∆ϕ − c12 ∂∂tϕ
=
0
2 = 0
2
2
2
c ∂t


∂ϕ
∂2ϕ
2
2
ϕ(x, t) = A cos(ωt − kx + δ)
=
−Aω
sin(ωt

kx)
∂t
∂t2 = −Aω cos(ωt − kx) = −ω ϕ(x, t)
On a alors :

ω2
ϕ = 0 ⇔ ∆ϕ + k 2 ϕ = 0
c2
Cette équation est appelée "équation d’Helmotz".
∆ϕ +

6.3

Direction quelconque

Jusqu’ici, les ondes se propageaient selon l’axe e~x . Pour une direction quelconque, on introduit
le vecteur d’onde ~k = k~n où ~n est dans la direction de propagation de l’onde (|| ~n ||= 1).
~ (fixe) :
Ceci permet d’écrire pour ~r = OM
ϕ(~r, t) = A cos(ωt − ~k.~r)
On a, par ailleurs, la relation suivante, appelée relation de dispertion : ~k 2 = k 2

24

6.4

Représentation

Représentation en 1D :

Représentation en 2D :

Représentation en 3D :

6.5
6.5.1

Exemples d’ondes planes harmoniques
Ondes électromagnétiques

Célérité :
~ vérifie l’équation d’onde
Le champ électromagnétique E
∆E −

1 ∂2E
=0
c2 ∂t2

25

Pour étudier la propagation des ondes électromagnétiques, on se place en dehors de la source (~j = 0
et ρ = 0). Les équations de Maxwell donnent alors :
(

~ = − ∂ B~
~ =0
~ E
rot
div E
∂t
et
~ =0
~ = µ0 ε0 ∂ E~
~ B
div B
rot
∂t
Or :
~ div E
~ = grad
~ − rot
~ = −rot
~
~ rot
~ E
~ rot
~ E
∆E
~ = 0)
(car div E
D’autre part :
~
~
~
∂ ∂E

1 ~ ~
1 ~ ∂B
1 ~ ~ ~
∂2E
= (
)= (
rot B) =
rot
=−
rot rot E
2
∂t
∂t ∂t
∂t µ0 ε0
µ0 ε0
∂t
µ0 ε0
D’où :

(

2

~

~ − µ0 ε0 ∂ E
∆E
∂t2 = 0 ⇒ c =
~
1 ∂2E
~
∆E − c2 ∂t2 = 0

Spectre electromagnétique :

~ et B
~ :
Orientation de ~k, E

26

r

1
µ0 ε0

Energies et Puissance
1
1
ε0 E 2 + µ0 B 2
2
2
1 ~ ~
E∧B
p~ =
µ0

U=

On note également la vitesse d’énergie comme étant : venergie =
Remarque : Pour le soleil, p = 1, 4.103 W/m3 .

6.5.2

||~
p||
U

=c

Ondes transversales dans une corde

On a : dFy = τy0 − τy = τ sin α0 − τ sin α ≈ τ (α0 − α) = τ dα = τ ∂α
∂x dx
De plus, α ≈ tan α =
PFD :

P

D’où, dFy = τ ∂α
∂x dx =

∂2ϕ
∂x2 dx.

2

F = mγ ⇒ dFy = dm ∂∂tϕ
2 avec dm =

core : dFy =
On a alors :

6.5.3

∂ϕ
∂x .

2

M
L dx

= ρL dx (ρL : masse linéique). Ou en-

ρL ∂∂tϕ
2 dx.
(

2

ρL ∂ 2 ϕ
dFy = ρL ∂∂tϕ
2 dx

∆ϕ

=0⇒c=
2
τ ∂t2
dFy = τ ∂∂xϕ2 dx

r

τ
ρL

Ondes sonores (longitudinales)

On se place dans un milieu où règnent les champs :
Pression : pT (M, t) = p0 + p(M, t) (p << p0 )
Masse volumique : ρT (M, t) = ρ0 + ρ(M, t) (ρ << ρ0 )
Vitesse des particules d’air : vT (M, t) = v0 + v(M, t) (v0 = 0 ici)
Les constantes p0 , ρ0 représentent la pression et la masse volumique du milieu "au repos". Les
fonctions p, v et ρ représentent la perturbation dans ce milieu.

27

On approxime classiquement ξ(x + dx) ≈ ξ(x) + dξ.
Nous allons établir trois équations liées au problème : l’équation d’état, l’équation de conservation
de la masse volumique, et le PFD sur l’élement de surface S.
Equation d’état
On introduit tout d’abord une nouvelle quantité appelée "Module de compressibilité" (en Pascal) dont on se servira plus tard :
∂p
κ = ρ0
∂ρ
La pression est fonction de la masse volumique, donc on peut écrire pT = f (ρT ) (avec p0 = f (ρ0 )).
Etant donné que ρ est petit devant ρ0 , on peut appliquer les formules de Taylor sur f :
pT = f (ρT ) = f (ρ0 + ρ) ≈ f (ρ0 ) + ρ

∂f
∂p
(ρ0 ) = p0 + ρ (ρ0 )
∂ρ
∂ρ

Or, p = pT − p0 . On trouve alors l’équation d’état :
p=ρ

κ
ρ0

Equation de conservation de la masse
La masse élémentaire est à tout instant dm = ρT dV , où dV est un volume élementaire.
En particulier :

Avant la perturbation :
dm = ρ0 Sdx
Pendant la perturbation : dm = ρT S(dx + dξ)
En approximant dξ ≈
s’écrit :

∂ξ
∂x dx,

la conservation de la masse volumique avant et pendant la perturbation






∂ξ
ρ0 Sdx = ρT S(dx + ∂x
dx)
∂ξ
)
ρ0 Sdx = ρT Sdx(1 + ∂x
∂ξ
ρ0 = ρT (1 + ∂x )
∂ξ −1
)
ρT = ρ0 (1 + ∂x
∂ξ
∂ξ
ρT = ρ0 (1 − ∂x
) car ∂x
<< 1

Equation du PFD : équation d’Euler
Bilan des forces : Pressions F (x, t) à gauche, pression F (x + dx, t) à droite.
P
Fext = dmγ
⇒ F (x) − F (x + dx) = dmγ
2
⇒ pT (x, t)S − pT (x + dx, t)S = ρT dV ∂∂t2ξ
2
T
⇒ pT (x, t)S − pT (x, t)S − dx ∂p
S = ρT Sdx ∂∂t2ξ
∂x
∂2ξ
T
⇒ ∂p
∂x = −ρT ∂t2
Résolution
On a donc :


κ

(1)
 p = ρ ρ0
∂ξ
ρT = ρ0 (1 − ∂x ) (2)

 ∂pT = −ρ ∂ 2 ξ
(3)
T ∂t2
∂x

L’équation (2) donne
ρT − ρ0 = −ρ0

ρT − ρ0
ρ
∂ξ
∂ξ
∂ξ


=−
=−
∂x
ρ0
∂x
ρ0
∂x

D’où, dans (1),
p=

ρ
∂ξ
κ = −κ
ρ0
∂x
28

Enfin,
∂pT
∂x

2

2

0 +p)
⇔ ∂(p∂x
= −ρT ∂∂t2ξ
2
∂2ξ
⇔ −κ ∂x2 = −ρT ∂∂t2ξ
2
⇔ ∆ξ − ρκT ∂∂t2ξ = 0

= −ρT ∂∂t2ξ

Et par identification dans l’équation des ondes :
r
p
κ p
= γRs T0 Dans l’air : c = 20 273 + T C
c=
ρ
Impédance accoustique
Pour la commodité des calculs, on pose α = t − xc , on a alors : ξ(x, t) = f (α) et :
(
∂ξ ∂α
∂ξ
κ 0
= −κ ∂α
p = −κ ∂x
∂x = c0 f (α)
∂ξ
∂ξ ∂α
0
v = ∂t = ∂α ∂t = f (α)
On a alors :
p=

κ
v = ρ0 c0 v
c0

On appelle "impédance accoustique" le rapport : Z(x, t) =

p(x,t)
v(x,t)

Remarque : Pour une onde plane progressive on a toujours : Z = ρ0 c0
Pour l’air :
Pour l’eau :
∂ξ
" met en évidence la quadrature de phase entre p et ξ
Remarque : L’équation "p(x, t) = −κ ∂x
(δ = π/2).

Energies
Densité volumique d’énergie :
ρ0 p 2
(
+ v2 )
2 Z2
¯2
¯ = ρ0 ( p + v¯2 )
U
2 Z2

U (x, t) =

Flux de puissance accoustique :
F (t) = pv
On appelle intensité accoustique, la valeur moyenne :
I = F¯ = pv
¯
Niveau accoustique
La définition du niveau accoustique se fait à l’aide de la pression effective définit comme la
moyenne de la pression au carré. En anglais, et souvent en accoustique, on la note pRM S , pour
Root Mean Square, car elle est égale à
q
p
pef f = pRM S = p¯2 = √
2
On introduit alors le niveau de pression accoustique comme (en dB) :
Lp = 10 log(

p2RM S
)
p2ref

Et le niveau d’intensité accoustique (en dB) :
LI = 10 log(
29

I
)
Iref

Composition de niveaux
Soient deux machines M1 et M2 émettant des ondes sonores :
p2

M1 → Lp1 = 10 log( p2 1 )
ref

p2

M2 → Lp2 = 10 log( p2 2 )
ref

Si les deux machines émettent des ondes de fréquences différentes ou un spectre large voir un
bruit blanc (i.e. toutes les fréquences sonores), alors le niveau sonnore résultant est :
Lp1+2 = 10 log(

p21 + p22
)
p2ref

Sinon, le niveau sonnore résultant est :
Lp1+2 = max(Lp1 , Lp2 ) + ∆L
Où ∆L est fonction de la différence des niveaux :
| Lp1 − Lp2 |
0-1
2-3
4-9
> 10

6.5.4

∆L
3 dB
2 dB
1 dB
0 dB

Ondes dans un barreau élastique

Introduction

On appelle τ la "contrainte" et :
F
S
La loi de Hooke (élastique linéaire) dit que, lors d’une traction, ∆L ∝ F . D’où :
τ=

τ=

∆L
L

Ondes
L’étude des ondes dans un barreau élastique est similaire à celle des ondes sonores où l’on
remplace la pression p par la contrainte τ et le module de compressibilité κ par le module d’Young
E. D’où, en notant ξ le déplacement :
∂ξ
τ = −E
∂x
Et avec des développements analogues à la partie précedente :
s
ρ ∂2ξ
E
∆ξ −
=0⇒c=
E ∂t2
ρ
Remarque : Les ondes de compressions, qui sont longitudinales, ne sont pas les seules existantes
dans un barreau. Il peut exister également
une onde transversalle dite de cisaillement et, en notant
p
G le module de cisaillement : cT = G/ρ
30

Chapitre 7

Ondes 2D et 3D
7.1

Formalisme complexe

Durant notre étude des ondes 2D, 3D et même 1D, nous allons devoir travailler constamment
avec les fonctions sin et cos. Pour faciliter les calculs, on préférera travailler avec des fonctions
complexes dont la partie réelle ou la partie imaginaire représente la véritable onde physique. Par
exemple, si ξ est une onde définie par
ξ(~r, t) = ξ0 cos(~k.~r − ωt)
On travaillera davantage avec la fonction complexe ξ˜ dont la partie réelle est ξ :
~
ξ˜ = ξ0 cos(~k.~r − ωt) + i sin(~k.~r − ωt) = ξ0 ei(k.~r−ωt)

L’addition de deux ondes devient donc plus simple à traiter qu’en réel. Il ne faut cela dit pas oublier
˜
que l’onde physique véritable est bien <(ξ).

7.2

Ondes 2D en cartésien

Une onde 2D en cartésien s’écrit :
~
ξ(~(r), t) = ξ0 ei(k.~r−ωt)

Et, pour un vecteur d’onde
 

kx
kx = k cos θ
~k = ky  avec
ky = k sin θ
0
on a :
kx2 + ky2 =

ω 2

c
~
Remarque : On remarquera que k et ~v sont colinéaires, il sera intéressant, lorsque nous voudrons
k
calculer la direction de ~v connaissant ~k, de s’intéresser au rapport kxy = tan θ

7.3
7.3.1

Ondes 3D en sphérique
Equation d’onde

31

Dans cette partie, ϕ(M, t) = f (r, θ, ψ, t), or, par symétrie sphérique, on remarque que ϕ est
invariant selon θ et ψ, d’où :
ϕ(M, t) = f (r, t)
Par ailleurs, l’équation d’onde en sphérique est :
∆ϕ −

2
1 ∂ ϕ
c2 ∂t2

=0 ⇔






2
1 ∂
1 ∂ ϕ
2 ∂ϕ
r ∂r r ∂r − c2 ∂t2 = 0
∂2
1 ∂2
∂r 2 (rϕ) − c2 ∂t2 (rϕ) = 0

Il semble que rϕ soit sujette à cette équation, or les solutions progressives de celle-ci sont de la
forme f (t − rc ) + g(t + rc ). D’où :
f (t − rc ) g(t + rc )
r
r
rϕ(r, t) = f (t − ) + g(t − ) ⇒ ϕ(r, t) =
+
c
c
r
r
Remarque : La partie en x−r/c correspond à une onde divergente (s’éloignant de la source). La partie en x+r/c correspond à une onde convergente (se dirigeant vers la source, possible par reflexion).
Equation génerale : Alors qu’en 1D on avait ϕ(x, t) = Aei(kx−ωt) , ici on a :
ϕ(r, t) =

7.3.2

A i(kr−ωt) ~
e
et k = e~r
r

Impédance accoustique en 3D

Notre étude des ondes accoustiques nous a donné, en une dimension, l’équation
∂2ϕ
∂p
= −ρ0 2
∂x
∂t
Cette équation se généralise en 3D par
2
~ p).e~r = ∂p = −ρ0 ∂ ϕ
(grad
∂r
∂t2

Remarque : en 3D sphérique, seul p et ρ vérifient l’éqution d’onde (pas v !)
Cela dit, on sait que si p ∝ e−iωt alors v ∝ e−iωt . On a donc
∂v
∂p
= −iωv(r, t) ⇒
= −iρ0 ωv(r, t)
∂t
∂r
Par ailleurs, on sait que p =

A i(kr−ωt)
.
re
∂p
∂r

D’où

= − rA2 ei(kr−ωt) + Ar ikei(kr−ωt)
= (ik − 1r ) Ar ei(kr−ωt)
= (ik − 1r )p(r, t)

On peut alors exprimer le rapport Z =

p(r,t)
v(r,t)

:

1
−iρ0 ω
1
−iρ0 ωv(r, t) = (ik − )p(r, t) ⇒ Z =
= ρ 0 c0
1
i
r
ik − r
1 + kr

7.3.3

Intensité et puissance

Intensité :
¯
I = pv
¯ = <(p)<(v)
=





p + p∗ ¯ v + v ∗
1
1
= (¯
pv + p¯
v ) = <(p¯
v)
2
2
4
2

32

En utilisant les symétries sphériques, on trouve :
I=

| p |2
2ρ0 c0

Puissance : On définit la puissance accoustique comme
ZZ
~ ndS où Σ est une surface fermée
P =
I.~
Σ

En utilisant les symétries sphériques, on trouve :
P = 4πR2 I(R)

7.4

Effet Doppler

Lors du déplacement d’une source sonore, la fréquence reçue par un récepteur qui ne bouge
pas est différente de celle émise et fonction de la vitesse de la source. En effet, supposons qu’à un
instant t = t0 , une source S, dont la position est xS (t) = vS t, émette un son de fréquence f (et de
période T ). Un observateur est placé en x = 0. Le temps t1 auquel le récepteur R reçoit la première
crète est donc :
vS t0
t1 = t0 +
c0
Une période temporelle T plus tard, l’émetteur envoie une seconde crète. Celle-ci sera reçue à
l’instant t2 :
vS (t0 + T )
t2 = t0 + T +
c0
Or, la période temporelle reçue par le récépteur est bien la différence entre les temps auxquels il
perçoit les deux crètes. D’où :
vs
T 0 = t2 − t1 = (1 − )T
c0
Ce phénomène est appelé effet Doppler. On introduit par ailleurs une nouvelle quantité M appelée
nombre de Mach telle que :
vS
M=
c0

33

7.5

Ondes 2D circulaires

34

Chapitre 8

Conditions aux limites
8.1

Interface entre deux milieux

Lorsqu’une onde se propage sur une interface séparant deux milieux isotropes différents, deux
phénomènes se produisent : la transmission et la reflexion. On note alors :
Onde incidente
Onde reflechi
Onde transmise

: pi (x, t) = Pai ei(ki x−ωt)
: pr (x, t) = Par ei(kr x−ωt)
: pt (x, t) = Pat ei(kt x−ωt)

Notre but dans cette partie est de réussir à trouver kr , kt , Par et Pat en fonction ki et Pai .
Tout d’abord, on peut remarquer que :
ki =

ω
ω
et kr =
c1
c1

D’où les premières relations :


ki = kr = cω1 = k1
kt = cω2 = k2

Pour trouver les valeurs de Par et Pat , on introduit les rapports suivants
(
(
(
(M,t)
(M,t)
(M,t)
Rp = ppri (M,t)
RJ = JJri (M,t)
Rv = vvri (M,t)
,
pt (M,t)
Jt (M,t) , et
vt (M,t)
Tp = pi (M,t)
TJ = Ji (M,t)
Tv = vi (M,t)
35

Or, sur l’interface, on a évidemment une continuité de la pression et de la vitesse des particules.
Ce qui se traduit mathématiquement par :
p1 (0, t) = p2 (0, t), ∀t
v1 (0, t) = v2 (0, t), ∀t
Avec : ∀x, t
p1 (x, t) = pi (x, t) + pr (x, t) = Pai ei(k1 x−ωt) + Par ei(k1 x−ωt)
p2 (x, t) = pt (x, t) = Pat ei(kx−ωt)
En particulier, en x = 0, on a :

 p1 (0, t) = (Pai + Par )e−iωt
p2 (0, t) = Pat e−iωt
⇒ Pai + Aar = Pat

p1 (0, t) = p2 (0, t)
On établit de manière analogue que :
vai + var = vat
Or, par définition :

Pai

 vai = Z1

P

Zα =
var = − Za1r



Pat
vat = Z2
D’où le système suivant :
(

Pai + Par = Pat
Pai
Pat
Par
Z1 − Z1 = Z2

Enfin, ceci nous permet de trouver les résultats fondamentaux suivant :
(
(
2 −Z1
1 −Z2
Rp = Z
Rv = Z
Z1 +Z2
Z1 +Z2
et
2
1
Tp = Z12Z
Tv = Z12Z
+Z2
+Z2
Remarque importante : Les relations suivantes sont toujours vérifiés :
1 + Rp = Tp et RJ + TJ = 1

8.2

Changement de section de tube

36

De même que pour une interface entre deux milieux différents, lorsqu’une onde arrive à un
changement de section de tube (comme décrit sur l’image), il y a reflexion et transmission d’ondes
bien qu’il d’agisse du même milieu de part et d’autres.
Ici, il y a continuité des pressions et des débits. (Le débit est définit comme : Qα (x, t) = Sα vα ). Et
par un raisonnement analogue à ce qui vient d’être fait, on trouve :
(



Pai + Par = Pat
Pai + Par = Pat
Pai + Par = Pat
Pai + Par = Pat



P
v
v
Qat + Qar = Qat
S1 (vai + var ) = vat
S1 (Pai − Par ) = S2 Pat
S1 ( Za0i + Za0r ) = S2 Za0t
On trouve alors les formules suivantes :
(
(
2
1
Rp = SS11 −S
RQ = SS21 −S
+S2 ,
+S2
1
2
Tp = S12S
TQ = S22S
+S2
+S1

8.3


et

RJ = Rp2
1 S2
TJ = (S4S
1
1 +S2 )

Incidence oblique (2D)

Cette partie est une généralisation de la partie précédente dans le cas 2D. De manière analogue,
on a bien ici :
(
|| k~i ||=|| k~r ||=|| k~1 ||
|| k~t ||=|| k~2 ||
Au niveau l’interface, il y a évidemment continuité des pressions et des phases. En effet, on ne
saurait avoir au même endroit, un minimum de pression et un maximum.
Continuité de la phase : Mathématiquement, la continuité des phases à l’interface se traduit
par
kix = ktx = krx = kx
Ceci a pour conséquence les lois de Snell-Descartes, en effet :
kix = krx ⇔ k1 sin θi = k1 sin θr ⇔ sin θi = sin θr (1iere loi de Snell)
kix = ktx ⇔ k1 sin θi = k2 sin θt ⇔ sin θt =

37

c2
sin θi (2ieme loi de Snell)
c1

On peut distinguer alors deux cas. Soit c1 > c2 , auquel cas θt < θi . Soit c1 < c2 , et θt =
sin−1 ( cc12 sin θi ), or, θt est ainsi calculable uniquement si
c1
c2
sin θi ≤ 1 ⇔ sin θi ≤
c1
c2
On note alors θc l’angle critique telle que
θc = sin−1 (

c1
)
c2

Si θi > θc alors aucune onde n’est transmise durablement vers le milieu (2). Seul une onde evanescente est transmise.
Continuité des pressions : La continuité des pressions au niveau de l’interface nous donne,
comme pour le cas 1D :
p1 (x, 0, t) = p2 (x, 0, t) ⇒ Pai eik1 x + Par eik1 x = Pat eik2 x ⇒ Pai + Par = Pat
Toutes ces considérations nous mènent aux formules portant sur les rapport Rp , Tp , etc. Il suffit
Z1
pour les trouver d’utiliser les formules du cas en deux dimensions, en substituant Z1 → cos
θi et
Z2
Z2 → cos θt
Remarque importante : Là encore, on a
Rp + 1 = Tp et RJ + TJ = 1

38

Chapitre 9

Ondes stationnaires et modes guidés
9.1
9.1.1

Ondes stationnaires
Mur infiniment rigide

Pour modéliser la rencontre d’une onde avec un mur infiniment rigide, on conidère un milieu
d’impédance accoustique Z1 = ρ0 c0 et un autre milieu d’impédance infini (le mur) : Z2 = +∞. On
a alors

Z2
2 −Z1
Rp = Z
Z1 +Z2 ≈ Z2 = 1
Rv ≈ 1
On peut alors écrire le champ de pression totale
p1 = pi + pr = pai (eikx + e−ikx )e−iωt = 2pai cos(kx)e−iωt
Si nous revenons à l’onde véritable reélle, on trouve alors
p1 = 2pai cos ωt cos kx
De même, on peut établir l’onde de vitesse :
v1 = vi + vr = vai (eikx − e−ikx )e−iωt = 2i sin(kx)e−iωt = 2 sin(kx)e−iωt+π/2
En réelle on trouve alors
v1 = 2 sin(kx) sin(−iωt)
Les expressions ainsi obtenues ne sont pas progressives, en effet, on ne sait pas trouver de fonction
f telle que p1 = f (x ± c). Cette expression correspond à une onde dite stationnaire. L’onde ne se
propage pas dans le temps ou dans l’espace, mais voit son amplitude varier. C’est le résultat de
l’addition de deux ondes allant en sens opposé. Nous allons étudier ces variations d’amplitude.
39

On peut remarquer que p1 (x, t) est minimale quand | cos(kx) | est minimal également. Or
cos(kx) = 0 ⇔ cos(kx) = cos π2
⇔ xk = π2 + 2nπ
π
⇔ x = 2k
+ 2nπ
k
πc
⇔ x = 2ω + 2nπc
ω
πc
⇔ x = 4πf
+ 2nπc
2πf
⇔ x = 41 fc + n fc
⇔ x = λ4 + n λ2
De même, on remarque que p1 est maximal si | cos(kx) | est maximal, et avec le même genre de
développement, on trouve :
λ
cos(kx) = 1 ⇔ x = + nλ
2
Remarque : Comme la pression et la vitesse sont en quadrature de phase, les ventres de pressions
sont les noeuds de vitesses.

9.1.2

Tube avec ouverture

Dans le cas d’un tube avec ouverture, on considère un tube présentant deux sections : la première
S1 et la seconde S2 = +∞. On peut donc établir que
Rp = −1
Et de manière analogue à la partie précédente, la pression totale dans S1 se trouve être
p1 = pi + pr = 2Pai i sin(kx)e−iωt = 2Pai sin(kx) sin(ωt)

9.1.3

Tube unidimensionnel de longueur finie

40

Dans le cas d’un tube unidimensionnel de longueur finie, on considère un tube de longueur L
fermé par deux murs infiniment rigides de telle façon à ce qu’on ait :
(
Rp (0) = pp+−(0,t)
0,t = 1
Rp (L) =

p+ (L,t)
p− L,t

=1

Or, on connait la forme générale de p+ et p− , à savoir pα = Paα ei(kx±ωt) , ceci nous permet d’établir
que :
Pa
Rp (L) = − e−2ikL
Pa+
On a donc



Pa+ = Pa−
e2ikL = 1

Or, en constatant que 1 = ei2nπ , il vient que
2ikL = 2inπ ⇒ k =


L

On appelle alors fréquence angulaire de raisonnance la quantité déduite suivante
ωn =

9.2
9.2.1

nπc
L

Modes guidés
Tube 2D

Posons tout d’abord notre problème, ici, une onde se propage et est refléchi sur un mur rigide.
Calculons le champ de pression totale :
~

~

p(x, z, t) = p+ + p− = Pa+ ei(k+ .~r−ωt) + Pa− ei(k− .~r−ωt)
Or d’après notre étude du phénomène de réflexions, on sait que




kx
−kx

k+ =  0  et k− =  0
kz
kz
On a encore :



 Rp (0) = Pa+
Rp (0) = 1
Pa−

Rp (L) = 1
 Rp (L) = Pa+ ei2kx L
Pa


41

Comme dans la partie précédente, cela mène à l’égalité ei2kx L = ei2nπ , d’où
kxn =
De plus, on sait que || ~k ||= k 2 et k =

ω
c,

kz n


L

Ce qui nous permet de trouver
r
ω 2 nπ 2

=
c
L

Remarque : Si ω/c > nπ/L, alors kz ∈ R, l’onde est en mode progressif. Sinon, kz ∈ C, l’onde est
en mode évanescent.

9.2.2

Cavité 2D

Ici, l’onde est entourée de mur infiniment rigide, d’où les égalités suivantes
∀z, x, t, Rp =

p+ (L, z, t)
p+ (x, 0, t)
p+ (x, H, t)
p+ (0, z, t)
=
=
=
=1
p− (0, z, t)
p− (L, z, t)
p− (x, 0, t)
p− (x, H, t)

Ce qui conduit aux relations


kxn = nπ
L
kz m = mπ
H

Et on trouve la fréquence de résonnance ωnm :
r
n 2 n 2
ωnm = πc
+
L
H
Les ondes de pressions correspondantes sont alors de la forme
pmn = 4Pa+ cos(kxn x) cos(kzm z)e−iωnm t
Remarques : Les résultats précédents peuvent se géneraliser en trois dimensions par un tube infini
ou une cavité 3D.

42

Chapitre 10

Interférences
10.1

Interférences entre deux ondes

Dans cette partie, nous allons nous intéresser aux phenomènes d’interférence. C’est à dire étudier ce qui se passe lorsque deux ondes se "rencontrent" dans un cas géneral. Considérons donc le
schémas suivant

Ici, deux ondes ξ1 et ξ2 sont émises de deux sources différentes telle que
~

~

ξ1 = ξ01 ei(k.r~1 −ωt) et ξ2 = ξ02 ei(k.r~2 −ωt)
En un point M , un observateur reçoit une seule onde ξ(M ), somme des deux premières :
~

~

ξ(M, t) = ξ1 + ξ2 = (ξ01 eik.r~1 + ξ02 eik.r~2 )e−iωt
Rappel : Soit z ∈ (C), | z |2 = zz ∗ où z ∗ désigne le conjugué de z
Calculons l’amplitude de l’onde ξ :
2
2
| ξ |2 =| ξ1 + ξ2 |= (ξ1 + ξ2 )(ξ1 + ξ2 )∗ = ξ01
+ ξ02
+ 2ξ01 ξ02 cos(k(r1 − r2 ))

On pose alors dans la suite de ce cours δ = k(r1 − r2 ) la différence de phase. On a alors :
p
| ξ |= ξ01 + ξ02 + 2ξ01 ξ02 cos δ
Deux cas sont alors à étudier :
— cos δ = 1 ⇔ k(r1 − r2 ) = 2nπ ⇔ 2π
λ (r1 − r2 ) = 2nπ ⇔ r1 − r2 = nλ, n ∈ N Dans ce cas,
l’interférence est dite constructive car l’amplitude de l’onde est | ξ |=| ξ01 + ξ02 |
1
— cos δ = −1 ⇔ k(r1 − r2 ) = (2n + 1)π ⇔ 2π
λ (r1 − r2 ) = (2n + 1)π ⇔ r1 − r2 = (n + 2 )λ, n ∈ N
Dans ce cas, l’interférence est dite destructive car l’amplitude de l’onde
est | ξ |=| ξ01 − ξ02 |
Remarque : Dans le cas des ondes sonores, on trouve facilement que | p |2 = A2
43

1
r12

+

1
r22

+

2
r1 r2

cos δ

10.2

Diffraction

Le phénomène de diffraction trouve une explication dans le Principe de Huygens, énoncé comme
suit :
Principe de Huygens : Chaque point de la surface d’onde est une source secondaire de l’onde.
Ceci explique parfaitement l’expérience d’Young bien connue.

Expérience d’Young : Une onde est émise par une source, elle se propage jusqu’à un plan où
se trouvent deux ouvertures. Plus loin, un écran est placé. Sur celui-ci, on voit que l’onde présente
une figure de diffraction.

La disposition du système est telle que a << D et donc a << r1 , a << r2 . On a alors r1 ≈ r2
et ξ01 = ξ02 = ξ0 . On peut calculer l’amplitude de l’onde en un point M du plan :
r
q
p
δ
δ
| ξ |= 2ξ02 + 2ξ02 cos δ = ξ0 2(1 + cos δ) = ξ0 2(2 cos2 ) = 2ξ0 cos
2
2
Comme a << D, on peut considérer que S1 M k S2 M , alors S2 M = S 0 M . Or, S1 M = S1 S 0 +S 0 M =
a sin θ + S 0 M .
De plus si θ << 1 rad, alors sin θ ≈ θ. D’où, S1 M = aθ + S 0 M et donc r1 − r2 = aθ.

44

Enfin, par des considérations géométriques on a tan θ =
ment
kax
2πax
δ=
=
D
D

x
D

≈ θ. D’où r1 − r2 =

On remarque par ailleurs que | ξ | est maximal quand cos 2δ est maximal.
cos

δ
2πax
nλD
= cos nπ ⇔
= 2nπ ⇔ xn =
2
λD
a

De même on trouve la position des minimums :
1 λD
xn = (n + )
2 a
On définit enfin l’interfrange i comme la distance entre deux franges, soit
i = xn+1 − xn =

45

λD
a

ax
D

et finale-


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