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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : AnalyseI
Responsable : Prof. Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 6
(07 Decembre 2017)
Exercise 1 Soit S
R et supposons qu’il existe une suite (xn ) dans S qui
converge vers un nombre x0 2
= S.
Montrez qu’il existe une fonction continue non bornée dans S.
Astuce : Pensez pour la fonction harmonique.
Exercise 2 Montrez que x = cos x pour certains x dans 0;
Astuce : utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

2

.

Exercise 3 Supposons que f est une fonction continue à valeurs réelles sur R
et que f (a)f (b) < 0 pour certains a; b 2 R. Prouvez qu’il existe x entre a et b
tel que f (x) = 0.
Exercise 4 Supposons que f est continue sur [0; 2] et que f (0) = f (2). Montrer
qu’il existe x; y 2 [0; 2] tel que jy xj = 1 et f (x) = f (y).
Astuce: Considérez g(x) = f (x + 1) f (x) sur [0; 1].
Exercise 5 Montrer que chacune des fonctions suivantes est uniformément
continues sur l’ensemble indiqué en véri…ant directement la propriété
.
(a) f (x) = 3x + 11 sur R
(b) f (x) = x2 sur [0; 3]
(c) f (x) =

1
x

sur

1
2; 1

Exercise 6 (a) Montrez que si f est uniformément continue sur un ensemble
borné S, alors f est une fonction bornée sur S.
Astuce : Raisonnement par l’absurde via le théorème de Bolzano-Weiestrauss.
(b) Utilisez (a) pour prouver que x12 n’est pas uniformément continue sur ]0; 1[.
p
Exercise 7 (a) Soit f (x) = x pour x
0. Montrez que f 0 est non bornée
sur ]0; 1[, mais que f est néanmoins uniformément continue sur ]0; 1[.
(b) Montrez que f est uniformément continue sur [1; 1[.

1

Exercise 8 (a) Utilisez le théorème de la valeur moyenne (TVM) pour prouver
que
jsin x sin yj jx yj pour tout x; y 2 R:
Astuce : supposez, par exemple, que y > x et appliquez le TVM.
(b) Montrez que sin x est uniformément continue sur R.
Exercise 9 Soit f (x) = x2 sin x1 pour x 6= 0 et f (0) = 0:
(a) Observez que f est continue sur R.
Astuce : Appliquez le lemme de compression (écrasement) version fonctions.
(b) Pourquoi f est-elle uniformément continue sur tout sous-ensemble borné
de R?
(c) f est-elle uniformément continue sur R?

2


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