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devoir de controle 2 3Maths .pdf



Nom original: devoir de controle 2 3Maths.pdf
Titre: devoir de controle 2.dvi

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´ pilote Medenine
´
❄ Lycee


✍ Prof : Habib Haj Salem ✍

ˆ n◦ 2 ∽
∼ Devoir de controle
`
3 eme
Maths 1

´ : 2h ✌
✌ Duree

´
12 Decembre
2017

P`o˘u˚rffl ˜f´a˚i˚r`e `qfi˚u`e¨l´qfi˚u`e `c‚h`os¸
fi`e ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e, ˚tˇuffl `a¯s ˜bfles˙
fi`o˘i‹nffl `d`e `cˇr`o˘i˚r`e `qfi˚u`e `c´eˇtˇt´e `c‚h`os¸
fi`e `es˙
fi˚t ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e.
Exercice 1 : (4 points)

− →

Le plan est muni d’un rep`ere orthonorm´e O, i , j
du plan. On d´esigne C et C ′ les courbes

4
et g(x) = x2 − 4 + 2x + 1
repr´esentatives des fonctions f et g d´efinies par f (x) = x + 5 +
x−1

1. a) Montrer que f est d´erivable sur R\{1} et calculer f (x) pour tout x ∈ R\{1}.


b) D´eterminer les points de C ou` la tangente est horizontale.

c) D´eterminer les points de C ou` la tangente est perpendiculaire a` la droite ∆ : 9x+5y−3 =
0.
2. Montrer que la droite ∆′ : y = 3x + 1 est une asymptote oblique a` C ′ au voisinage de +∞ .

h(x) = f (x),
si x < 0




3. Soit h la fonction d´efinie sur R par :
h(x) = x3 − 2x + 1,
si 0 ≤ x < 2




h(x) = x2 − 4 + mx + 1, si x ≥ 2.
′′
On d´esigne C la courbe repr´esentative de la fonction h .
a) Etudier la continuit´e de h en 0.

b) Etudier la d´erivabilit´e de h en 0 et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
c) Discuter suivant m , lim h(x)
x→+∞

d) D´eterminer m pour que h soit continue en 2
4. on prend m = 2.
a) Etudier la d´erivabilit´e de h en 2 et interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
b) Calculer h′ (x) pour x√∈]2, +∞[ puis donner une e´ quation de la tangente a` la courbe C
au point d’abscisse 2 2 .

′′

Exercice 2 :

− →

Le plan est rapport´e a` un rep`ere orthonorm´e direct O, i , j .On consid`ere les points A (1, 0) et
i
i
B (0, 1). Soit θ ∈ 0, π4 . On d´esigne parM le point du cercle trigonom´etrique C de centre O tel
!
−−−→
−−−→
\
que OA ; OM ≡ 2θ[2π]


1. a) Montrer que AM = 2 sin θ.


b) Montrer que BM = 2 sin π4 − θ .

2. a) Montrer que pour tous r´eels a et b , sin(a + b) + sin(a − b) = 2 sin (a) cos(b)
x+y
x−y
b) En d´eduire que pour tous r´eels x et y , sin(x) + sin(y) = 2 sin 2 cos 2
!
−−−→
−−−→
\
π
c) On d´esigne par K le point de C tel que OA ; OK ≡ [2π] et par H le projet´e
8
orthogonal de K sur (OA). D´eterminer la valeur de θ pour que AM + BM = 4HK.

2017 / 2018

Prof: Habib Haj Salem

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Exercice 3 :
la courbe C (Voir Annexe figure 1) est celle d’une fonction d´efinie sur R\{−2}.C admet trois
asymptotes dont l’une a pour equation y = x − 3 . Par lecture graphique :
2x + 1
1. D´eterminer : lim f (x) ; lim f (x) , lim (f (x) + x) et lim
x→−∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞ f (x)
2. D´eterminer une e´ quation cart´esienne de la tangente a` C au point d’abscisse −3.
f (1 + h) − 2
6−x
3. a) D´eterminer en justifiant les limites suivantes :lim
et lim+
h
x→6 f (x) − 2
h→0
b) Donner une approximation affine de f (5.99).
1
4. Soit la fonction g d´efinie par g(x) = p
f (x)
a) Dooner le domaine de d´efinition de g.

b) Etudier la d´erivabilit´e de g en 3.

Exercice 4 :
Dans le plan orient´e ABCD est un quadrilat`ere inscrit
dans un cercle C de centre O dont les
!
−−→
\
−−→
π
diagonales se coupent en I et v´erifiant : AC , BD ≡ [2π].( Voir Annexe figure 2) J est le mi2


−−→ −−→
lieu de [CD] et (IJ) coupe (AB) en H . On note α la mesure principale de l’angle AB , AC .


α , π2 + kπ; k ∈ Z
(I)!
!
−−
→ −
−−
→ −
\
\


1. Prouver AB , IJ ≡ α + IC , IJ [2π]

−−→ −−→
2. a) Exprimer DI , DJ en fonction de α


b) Montrer que le triangle DIJ est isoc`ele .


−−→ −

c) En d´eduire IC , IJ en fonction de α.

3. Montrer que (AB) ⊥ (IJ)

(II)-

!
−−\
→ −−→
π
Soit (AT ) la tangente a` C en A.On suppose que CA , CB ≡ [2π].
4
La droite (IJ) coupe (AO) en F et [AT ) en E.
1. a) Prouver que le triangle AEF est isoc`ele .


−−→ −−→
b) Exprimer AF ; AI en fonction de α.



−−→ −−→
2 2
π
´ AE , AI =
c) On suppose que AE = 2 .Montrer que : d et
× cos(α − ).
cos α
4
!
−−−\
−→ −−→
eterminer C
2. Soit l’ensemble C = {M ∈ P tels que HM ; AE ≡ 5π
4 [2π]. D´


B`o“nffl ˚tˇr`a‹vˆa˚i˜l.
2017 / 2018

Prof: Habib Haj Salem

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ANNEXE
Nom et Pr´enon : ................................................................. Classe : .............N° : ..........

Figure 1 :
b

y
5

b

b

4
3
2

b

b

b

b

b

1
b

~
j
b

0

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1

~i

1

2

3

4

5

6

7

8

−2
−3
−4
−5
−6

b

.......................................................................
Figure 2 :
C
D

b
b

J

C
b

b

A

b

I

α
b

H
b

2017 / 2018

b

B

Prof: Habib Haj Salem

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