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devoir de controle 4 Maths .pdf



Nom original: devoir de controle 4 Maths.pdf
Titre: devoir de controle.dvi

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´ pilote Medenine
´
❄ Lycee


✍ Prof : Habib Haj Salem ✍

ˆ n◦ 2 ∽
∼ Devoir de controle
`
4eme
Maths 1

´ : 2h ✌
✌ Duree

´
9 Decembre
2017

P`o˘u˚rffl ˜f´a˚i˚r`e `qfi˚u`e¨l´qfi˚u`e `c‚h`os¸
fi`e ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e, ˚tˇuffl `a¯s ˜bfles˙
fi`o˘i‹nffl `d`e `cˇr`o˘i˚r`e `qfi˚u`e `c´eˇtˇt´e `c‚h`os¸
fi`e `es˙
fi˚t ¯sfi¯p`é´cˇi`a˜l´e.
Exercice 1 : (6 points)
A
b

Le plan est orient´e dans le sens direct. Soit ABC un triangle isoc`ele
−−−→
\
−−−→ π
et rectangle tel que BC , BA ≡ [2π].
2
Soit O, I et J les milieux respectifs des segments [AC], [OB] et [BC]
et soit D le sym´etrique de O par rapport a` (BC) et N le point d’intersection des droites (AD) et (BC).
b

b

1. Montrer que I est le milieu de [AD].

O
b

B

2. a) Montrer qu’il existe un seul d´eplacement f tel que :
f (A) = C et f (O) = D.
π
b) Montrer que f est la rotation de centre B et d’angle − .
2


c) Soit I = f (I). Montrer que I est le milieu de [BD].

I
b

N

b
b

J

b

C

D

d) D´eduire que les points O, N et I ′ sont align´es.

π
3. Soit g = f ◦ R ou` R est la rotation de centre O et d’angle − .
2
a) D´eterminer g(O).
b) Caract´eriser g.
4. Soit h = S ◦ f −1 ou` S est la sym´etrie orthogonale d’axe (AO) .
a) D´eterminer h(D) et h(C).

b) Montrer que h est une sym´etrie glissante et pr´eciser ces e´ l´ements caract´eristiques.
c) D´eterminer l’ensemble des points M tel que h(M) = f −1 (M).
Exercice 2 :(4 points)
1−x
.
Soit la fonction f d´efinie sur [−1, +∞[ par f (x) = √
1 + x2
1. a) Dresser le tableau de variation de f .
b) Montrer que f r´ealise une bijection de [−1, +∞[ sur un intervalle J que l’on pr´ecisera.

− →

c) Tracer la courbe Cf de f et la courbe C ′ de f −1 dans un rep`ere orthonorm´e O, i , j .
d) Expliciter f −1 (x) pour x ∈ J.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on associe la fonction ϕn d´efinie sur ]0, 1[ par :
ϕn (x) = f (x) − xn
a) Montrer que l’´equation ϕn (x) = 0 admet dans [0, 1] une unique solution αn .

b) Montrer que ϕn+1(αn ) > 0 et que la suite (αn ) est croissante.
c) En d´eduire que la suite (αn ) est convergente et calculer sa limite.

2017 / 2018

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Exercice 3 :( 7 points )

− →

Dans le graphique ci dessous , on a trac´e dans un rep`ere orthonorm´e O, i , j les courbes C et


Γ qui repr´esentent : une fonction f d´efinie et deux fois d´erivable sur [0, +∞[ ainsi qu’une de ses
primitive

F. On admet que C est au dessus de son asymptote la droite d’´equation y = −1 et que
π
A 1, 2 − 1 ∈ Γ
1. A l’aide d’une lecture graphique

a) Montrer que C est la courbe de f.
b) Calculer (F ◦ f )′ (1).

c) Montrer que l’´equation f ”(x) = −1 admet au moins une solution dans [0, 1].

d) Justifier que f admet une fonction r´eciproque f −1 d´efinie sur un intervalle J que l’on
d´eterminera.
1 − x2
2. On admet que pour tout x ≥ 0 ,f (x) =
1 + x2√
1 − x2
Montrer que pour tout x ∈ ]−1, 1] , f −1 (x) =
1+x
3. Soit g la fonction d´efinie sur [0, π[ par g(x) = f −1 (cos x)
sin x
.
a) V´erifier que pour tout x ∈ [0, π[ ,g(x) =
1 + cos x
b) Etudier les variations de g .
4. a) Montrer que g admet une fonction r´eciproque g −1 d´efinie sur R+
2
b) Montrer que g −1 est d´erivable sur R+ et que pour tout x ≥ 0 ,(g −1 )′ (x) = 2
x +1

1
5. Montrer que pour tout x > 0 , F(x) = π − x − g −1
et d´eduire que Γ admet une asymptote
x
oblique D que l’on d´eterminera.

x
x
+ = 1 admet une solution unique α dans [0, 2]
6. Montrer que l’´equation F
2
2



U0 = 0

7. On consid`ere la suite (Un ) d´efinie sur N par : 

U
= 1 − F Un
n+1

2

Montrer que pour tout n ∈ N ,Un ∈ [0, 2] et que : |4Un+1 − 2α| ≤ |2Un − α| et d´eduire que Un
α
converge vers .
2
3

2

1

~
j
−2

π
~i

−1

b

1

2

3

4

5

C
−1

Γ

−2

2017 / 2018

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Exercice 4 :( 3 points )
La courbe ci dessous est celle d’une fonction d´efinie et d´erivable sur ]0, +∞[. La droite T est
tangente a` la courbe de f au point d’abscisse 1.

~
j

b

~i

T
b

b

O
b

f

f (x)
f (x) − 1
f (sin x)
, lim
et limπ
π
x→+∞ x
x→1
x
x→ 2 x − 2

1. D´eterminer graphiquement lim

1
pour tout x ∈ ]0, +∞[ et la fonction g d´efinie sur R par g(x) = f (1 + x2 )
x
Montrer que g est d´erivable sur R et dresser le tableau de variation de g
f (1 + x) − x
3. Soit la fonction h d´efinie sur ]0, +∞[ par h(x) =
x2
a) Soit la fonction ϕ d´efinie sur]−1, +∞[ par ϕ(t) = t 2 h(x) + t − f (1 + t) avec x > 0.
−1
Calculer ϕ(0) et ϕ(x). En d´eduire qu’il existe c ∈ ]0, x[ tel que h(x) =
2(c + 1)
b) Montrer que h est prolongeable par continuit´e en 0 .

2. On donne f ′ (x) =

B`o“nffl ˚tˇr`a‹vˆa˚i˜l.

2017 / 2018

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