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AAB Cours

PREMIERE ANNEE DU BACCALAUREAT
SCIENCE ECONOMIQUE

LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
I.
Limites de quelques fonctions usuelles :
1) Considérons les deux fonctions numériques f1 et f 2 définies dans l’ensemble

f1 : x  f1  x   x 2

par :

f 2 : x  f 2  x   x3

et

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0 (On dit dans ce cas que x est infiniment petit) :

x

- 1012

- 1038

10 22

1020

1012

1038

1022

f1  x 

1024

1076

1044

1040

1024

1076

1044

f2  x 

10 36

- 10 114

- 1066

1060

1036

10 114

1066

Les deux réels f1  x  et f 2  x  s’approchent aussi indéfiniment de 0.
On dit que la limite de f1  x  quand x tend vers 0 est égale à 0
et que la limite de f 2  x  quand x tend vers 0 est égale à 0

 

 

2
3
On écrit : lim f1  x   0 et lim f 2  x   0 c.à.d : lim x  0 et lim x  0

x0

x 0

x0

x 0

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de + (On dit dans ce cas que x est infiniment grand) :
12

20

x

1012

10 20

1030

1050

- 10

- 10

f1  x 

10 24

10 40

10 60

10100

10 24

10 40

f2  x 

1036

10 60

1090

10150

- 10

LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE

36

- 10

60

- 10

30

10 60
- 10

90

- 10

50

10100
150

- 10

1

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PREMIERE ANNEE DU BACCALAUREAT
SCIENCE ECONOMIQUE

Les deux réels f1  x  et f 2  x  s’approchent aussi indéfiniment de + (ou tend vers + )
On dit que : quand x tend vers +
La limite de f1  x  est égale à +

La limite de f 2  x  est égale à +

et

 

2
On écrit : lim f1  x    et lim f 2  x    c.a.d : lim x  

x

De même, on écrit :

x 

x

lim  x 2   

x

et

lim  x
x 0

lim  x

  
lim  x   
lim  x   

0

lim  x 3   

x 

lim  x 3   

x



Généralisation : Soit n un entier naturel non nul n 
n

et

*



n

x 

n

si n est pair :

x 

n

si n est impair :

x 

2) Considérons les deux fonctions numériques f 3 et f 4 définies dans l’ensemble

f3 : x  f3  x  

1
x

et

f4 : x  f4  x  

*

par :

1
x2

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0
x
10 40
10 30
10 20

1020

1030

1040

f3  x 

10 40

1030

10 20

10 20

1030

10 40

f4  x 

1080

10 60

10 40

10 40

10 60

1080

La valeur absolue du réel f3  x  devient infiniment grande, c.à.d que f3  x  tend vers +

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2

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 Si x tend vers 0 et x  0 (c.à.d : x tend vers zéro à droite) alors f3  x  tend vers +
On écrit : lim

x0

 f3  x    ou

x0

lim
x  0

 f3  x   

 Si x tend vers 0 et x  0 (c.à.d : x tend vers zéro à gauche) alors f3  x  tend vers 
On écrit : lim

x0

 f3  x    ou

x0

 f3  x   

 x  devient infiniment grand c.à.d que le réel f4  x  tend vers 
Si x tend vers 0 et x > 0 (c.à.d : x tend vers zéro à droite) alors f  x  tend vers + .
4
Le réel f



lim
x  0

4

On écrit : lim

x0

 f4  x    ou

x0

lim
x  0

 f4  x   

 Si x tend vers 0 et x  0 (c.à.d : x tend vers zéro à gauche) alors f
On écrit : lim

x0

 f4  x    ou

x0

lim
x  0

 f4  x   

4

 x  tend vers +

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de  ou de 

x

10 40

1030

10 20

10 20

1030

10 40

f3  x 

10 40

10 30

10 20

1020

1030

1040

f4  x 

1080

1060

1040

1040

1060

1080

Les réels f3  x  et f 4  x  s’approchent indéfiniment de 0
On dit que :



lim  f  x   =0

La limite de f3  x  quand x tend vers  est égale à 0. On écrit : lim f3  x  =0
x

Et La limite de f3  x  quand x tend vers  est égale à 0. On écrit :

x

De même, on dit que :

3



lim  f  x   =0

La limite de f 4  x  quand x tend vers  est égale à 0. On écrit : lim f 4  x  =0
x

Et La limite de f 4  x  quand x tend vers  est égale à 0. On écrit :

x

4

D’où :

1
lim    
x0
x
x 0 
1
lim    0
 x

x 

et
et

1
lim    
x0
x
x 0 
1
lim    0
 x

x 

LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE

 1 
lim  2   
x 0  x 
 1 
lim  2   0
x 

x 

et
et

 1 
lim  2   
x 0  x 
 1 
lim  2   0
x 

x 

3

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Généralisation : Soit n un entier naturel non nul n 

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SCIENCE ECONOMIQUE
*



 1 
 1 
lim  n   0
lim  n   0
x

x 
x 



 1 
 n     et  n est impair  
 n est pair   xlim
0   x 



x 

3) Considérons la fonction numérique g définie dans l’ensemble



 1 
lim  n   
x 0  x 

 1 
lim  n    
x 0   x 


par :

g : x  g  x  x

x

1060

1040

1030

1020

10 20

1030

10 40

10 60

g  x

1030

1020

1015

1010

1010

1015

10 20

1030

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0 avec x  0
Le réel g ( x) s’approche aussi indéfiniment de 0
On dit que la limite de g ( x) , quand x tend vers 0 à droite est égale à 0
On écrit :

lim
x0
x 0

 x   0 ou lim  x   0
x0

 Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 
Le réel g ( x) s’approche aussi indéfiniment de 
On dit que la limite de g ( x) , quand x tend vers  est égale à 
On écrit :

lim

x

 x   

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Exercices d’application :
Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :

lim  x 2017 

lim  x 2017 

;

x

 1 
lim  2017 
x x



;

 1 
lim  2017 
x


;

x 0 

lim  x 2018 

;

x 

 1 
lim  2017 
x x


 1 
lim  2017 
x


 1 
lim  2018 
x x


 1 
lim  2018 
x 

;

lim  x 2018 

;

x 

;

x 0 

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SCIENCE ECONOMIQUE

x 

;

 1 
lim  2018 
x 

;

x 0 

 1 
lim  2018 
x x



x 0 

Réponses :













lim x 2017 =  
x  

;

lim
x 2017 =+
x  

;

lim
x 2018 =+
x  

 1 
lim 
 =0
x    x 2017 

;

 1 
lim 
 =0
x    x 2017 

;

 1 
lim 
 =0
x    x 2018 

 1 
lim 
=
2017 
x  0  x

;

 1 
lim 
=+
2017 
x  0  x

Exercice 2 :

;

 1 
lim 
=+
2018 
x  0  x



;

;



lim
x 2018 =+
x  

;

 1 
lim 
 =0
x    x 2018 
 1 
lim 
=+
2018 
x  0  x

Considérons la fonction numérique h définie dans 0; par : h : x  h  x  

1
x

et représentée graphiquement dans un repère orthonormé par la courbe ci-dessous

a. Déterminer graphiquement lim

x

 h  x 

et

lim  h  x  
x 0
x 0

b. Donner le tableau des variations de la fonction h

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Réponses :
a.

 1 
 1 
lim  h x    0 et lim  h x     c.à.d : lim    0 et lim    
x
x    x 
x0  x 
x0
x0
x0

b. Tableau des variations de la fonction h
x



0


h(x)
0
Exercice 3 : Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble D f

 

La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans un repère
orthonormé.

a. Déterminer graphiquement l’ensemble D f et les limites de la fonction f aux bornes de D f .
b. Donner le tableau des variations de la fonction f .
Réponses :
a.

D 
f

 1;1

lim f  x  =0
x  

;

lim f  x  =  
x  1

;

x  1
lim f  x  =  
x 1
x 1

;

lim f  x  =  
x 1

lim f  x  =+
x  1

;

x  1
;

lim f  x  =0
x  

x 1

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b.
x
f ( x)

1





1


0

0







II.
Limites finies et infinies d’une fonction numérique :
1) Soit f une fonction définie dans un intervalle I pointé de centre a de la forme :

a  r; a a; a  r où r > 0 et soit l un réel
On dit que la fonction f admet la limite l au point a si lim  f  a  t   l   0 avec t  x  a

t 0

On écrit : lim f  x   l c.à.d que : le réel f ( x ) s’approchen indéfiniment du réel l quand la variable x

xa

s’approche indéfiniment du réel a
2) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme : a;a r  où r > 0 et soit l un réel
On dit que la fonction f admet la limite l au point a à droite si :

lim  f  a  t   l   0 avec t  x  a
t 0
On écrit : lim f  x   l ou
lim f  x   l
xa
xa
xa

3) Soit f une fonction définie dans un intervalle de la forme a r;a où r > 0 et soit l ' un réel
On dit que la fonction f admet la limite l ' au point a à gauche si :

lim  f  a  t   l '   0 avec t  x  a
t 0
lim f  x   l '
On écrit : lim f  x   l ' ou
xa
xa

xa
4) Soit f une fonction définie dans un intervalle pointé de centre a de la forme a  r; a
et soit l et l ' deux réels tel que : lim f  x   l et
x a

a; a  r ; r > 0

lim f  x   l '

x a 

 Si l  l ' alors la fonction f admet une limite au point a et on a : lim f  x   l .
x a

 Si l  l ' alors la fonction f n’admet pas de limite au point a .

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SCIENCE ECONOMIQUE

5) Soit f une fonction définie dans un intervalle pointé de centre a de la forme a  r; a

a; a  r ; r > 0

On dit que la fonction f admet  pour limite au point a , si le réel f  x  devient infiniment grand quand x
s’approche indéfiniment du réel a
On écrit : lim f  x   
xa

On définit de même les limites suivantes : lim f  x   
xa

lim f  x    ; lim f  x    et lim f  x   

xa 

xa

xa

 1 

 1 

Exemples : lim     ; lim     ; lim     et lim    
3
 x
 x
x0  x 2 
x0
x0
x0  x 
III.

1

1

Limite et ordre :
Propriété 1 :
Soit f et g deux fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a et soit l un réel

 x  I 
f  x  l  g  x

Si et
lim g x  0
 xa  

alors

lim f  x   l
x a

Propriété 2 :
Soit f ; g1 et g 2 trois fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a et soit l un réel

 x  I  g1  x   f  x   g 2  x 

Si et
lim g x  lim g x  l
2 
 xa 1  
x a

alors

lim f  x   l
x a

Propriété 3 :
Soit f et g deux fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a
telles que  x  I 

f  x  g  x

 Si lim f  x   l et lim g  x   l ' alors l  l '
x a

x a

 Si lim f  x   

alors

lim g  x   

 Si lim g  x   

alors

lim f  x   

xa
xa

xa

xa

Ces propriétés restent vraies quand x tend aussi vers : a à droite ; a à gauche ;  ou  .
IV.

Opérations sur les limites :

Il s’agit d’opérations sur des limites lorsque x tend vers : a ; a à droite ; a à gauche ;  ou 

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1) Somme :

lim f

l

l

l









lim g

l’













lim  f  g 

l +l ’









F.I.

2) Produit :

lim f

l

l 0

l 0

l 0

l 0









0

0

lim g

l’





















lim  f  g 

l.
l’

















F.I.

3) Inverse :

lim g

l 0





0

0

1
lim  
g

1
l

0

0





4) Quotient :

lim f

l 0

l

l

l 0

l 0

l 0

l 0



0

lim g

l’





0

0

0

0



0

 f 
lim  
g

l
l'

0

0









F.I.

5) Racine carrée :

lim f
lim
V.

l 0



l



f

Polynômes :
Considérons les deux polynômes :

P  x   an  x n  an1  x n1    a2  x 2  a1  x  a0 avec an  0





On a : d° P  x   n ; donc le terme de plus haut degré du polynôme P  x  est : an  x n

Q  x   bm  x  bm1  x m1   b2  x 2  b1  x  b0 avec b m  0
m





On a : d° Q  x   m ; donc le terme de plus haut degré du polynôme Q  x  est : b m  x m

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Soit  un réel.



Si Q    0 alors lim 



Si P    0 et Q    0 alors lim



Si P    0 et Q    0 alors P  x  et Q  x  sont divisibles par x  

On a :

lim P  x   P  
x

lim Q  x   Q  

et

x

 P  x 
P  




x Q  x 
Q  



x

P  x
 +
Q  x

Donc P  x  

 x     A  x  et Q  x    x     B  x 
En simplifiant le numérateur P  x  et le dénominateur Q  x  par x  
 P  x 
 A x  
lim 

lim

x Q  x  
x  B  x  






Si an  b m  0 on a :


lim P  x   
x  



lim a  x n
x  n



et

lim Q  x   
x  

on obtient



lim b  x m
x  m



quand x   ou x   (c.à.d : x   ) :
la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.

 P  x 
 an  x n 
lim 

lim



x  Q  x  
x  b  x m
 m



quand x   ou x   (c.à.d : x   ) :



la limite d’une fonction rationnelle x

P  x
est égale à la limite du quotient de son terme an  x n de
Q  x

plus haut degré du numérateur P  x  par son terme de plus haut degré b m  x m du dénominateur Q  x  .
Exemples :

1 ) lim  3 x 4  5 x 2  x  2   lim  3 x 4   

5)

 4 x 2  5 x  1 
 4 x 2 
 4 
2 ) lim  3

lim
0
 x  x3   xlim
x x  2 x 2  x  3
  x 







6)

x 

x

LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE

lim  3 x 4  5 x 2  x  2   28

x 2

 x2  5x  4  9
lim  2
2
x 5 x  2 x  3



10

aabcours@gmail.com

AAB Cours

 6 x2  5x  4 
 6 x2  6
3 ) lim  2

lim
 x  2 x 2   2  3
x 2 x  2 x  3





PREMIERE ANNEE DU BACCALAUREAT
SCIENCE ECONOMIQUE

7)

 x4  5x2  8x  2 
 x4 
1 
4 ) lim  3

lim
 lim   x   



2
3
8)
x 7 x  x  2 x  3

 x  7 x  x  7 

LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE

 x2  5x  4 
3
 x  4
lim  2
 lim 



x 1 x  2 x  3
4

 x1  x  3 
 x2  5x  4 
lim 
  
x 3 x 2  2 x  3

x 3 

11


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