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AAB Cours
PREMIERE ANNEE DU BACCALAUREAT
SCIENCE ECONOMIQUE
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
I.
Limites de quelques fonctions usuelles :
1) Considérons les deux fonctions numériques f1 et f 2 définies dans l’ensemble
f1 : x f1 x x 2
par :
f 2 : x f 2 x x3
et
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0 (On dit dans ce cas que x est infiniment petit) :
x
- 1012
- 1038
10 22
1020
1012
1038
1022
f1 x
1024
1076
1044
1040
1024
1076
1044
f2 x
10 36
- 10 114
- 1066
1060
1036
10 114
1066
Les deux réels f1 x et f 2 x s’approchent aussi indéfiniment de 0.
On dit que la limite de f1 x quand x tend vers 0 est égale à 0
et que la limite de f 2 x quand x tend vers 0 est égale à 0
2
3
On écrit : lim f1 x 0 et lim f 2 x 0 c.à.d : lim x 0 et lim x 0
x0
x 0
x0
x 0
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de + (On dit dans ce cas que x est infiniment grand) :
12
20
x
1012
10 20
1030
1050
- 10
- 10
f1 x
10 24
10 40
10 60
10100
10 24
10 40
f2 x
1036
10 60
1090
10150
- 10
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
36
- 10
60
- 10
30
10 60
- 10
90
- 10
50
10100
150
- 10
1
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PREMIERE ANNEE DU BACCALAUREAT
SCIENCE ECONOMIQUE
Les deux réels f1 x et f 2 x s’approchent aussi indéfiniment de + (ou tend vers + )
On dit que : quand x tend vers +
La limite de f1 x est égale à +
La limite de f 2 x est égale à +
et
2
On écrit : lim f1 x et lim f 2 x c.a.d : lim x
x
De même, on écrit :
x
x
lim x 2
x
et
lim x
x 0
lim x
lim x
lim x
0
lim x 3
x
lim x 3
x
Généralisation : Soit n un entier naturel non nul n
n
et
*
n
x
n
si n est pair :
x
n
si n est impair :
x
2) Considérons les deux fonctions numériques f 3 et f 4 définies dans l’ensemble
f3 : x f3 x
1
x
et
f4 : x f4 x
*
par :
1
x2
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0
x
10 40
10 30
10 20
1020
1030
1040
f3 x
10 40
1030
10 20
10 20
1030
10 40
f4 x
1080
10 60
10 40
10 40
10 60
1080
La valeur absolue du réel f3 x devient infiniment grande, c.à.d que f3 x tend vers +
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
2
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SCIENCE ECONOMIQUE
Si x tend vers 0 et x 0 (c.à.d : x tend vers zéro à droite) alors f3 x tend vers +
On écrit : lim
x0
f3 x ou
x0
lim
x 0
f3 x
Si x tend vers 0 et x 0 (c.à.d : x tend vers zéro à gauche) alors f3 x tend vers
On écrit : lim
x0
f3 x ou
x0
f3 x
x devient infiniment grand c.à.d que le réel f4 x tend vers
Si x tend vers 0 et x > 0 (c.à.d : x tend vers zéro à droite) alors f x tend vers + .
4
Le réel f
lim
x 0
4
On écrit : lim
x0
f4 x ou
x0
lim
x 0
f4 x
Si x tend vers 0 et x 0 (c.à.d : x tend vers zéro à gauche) alors f
On écrit : lim
x0
f4 x ou
x0
lim
x 0
f4 x
4
x tend vers +
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de ou de
x
10 40
1030
10 20
10 20
1030
10 40
f3 x
10 40
10 30
10 20
1020
1030
1040
f4 x
1080
1060
1040
1040
1060
1080
Les réels f3 x et f 4 x s’approchent indéfiniment de 0
On dit que :
lim f x =0
La limite de f3 x quand x tend vers est égale à 0. On écrit : lim f3 x =0
x
Et La limite de f3 x quand x tend vers est égale à 0. On écrit :
x
De même, on dit que :
3
lim f x =0
La limite de f 4 x quand x tend vers est égale à 0. On écrit : lim f 4 x =0
x
Et La limite de f 4 x quand x tend vers est égale à 0. On écrit :
x
4
D’où :
1
lim
x0
x
x 0
1
lim 0
x
x
et
et
1
lim
x0
x
x 0
1
lim 0
x
x
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
1
lim 2
x 0 x
1
lim 2 0
x
x
et
et
1
lim 2
x 0 x
1
lim 2 0
x
x
3
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Généralisation : Soit n un entier naturel non nul n
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*
1
1
lim n 0
lim n 0
x
x
x
1
n et n est impair
n est pair xlim
0 x
x
3) Considérons la fonction numérique g définie dans l’ensemble
1
lim n
x 0 x
1
lim n
x 0 x
par :
g : x g x x
x
1060
1040
1030
1020
10 20
1030
10 40
10 60
g x
1030
1020
1015
1010
1010
1015
10 20
1030
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de 0 avec x 0
Le réel g ( x) s’approche aussi indéfiniment de 0
On dit que la limite de g ( x) , quand x tend vers 0 à droite est égale à 0
On écrit :
lim
x0
x 0
x 0 ou lim x 0
x0
Supposons que la variable x s’approche indéfiniment de
Le réel g ( x) s’approche aussi indéfiniment de
On dit que la limite de g ( x) , quand x tend vers est égale à
On écrit :
lim
x
x
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Exercices d’application :
Exercice 1 : Calculer les limites suivantes :
lim x 2017
lim x 2017
;
x
1
lim 2017
x x
;
1
lim 2017
x
;
x 0
lim x 2018
;
x
1
lim 2017
x x
1
lim 2017
x
1
lim 2018
x x
1
lim 2018
x
;
lim x 2018
;
x
;
x 0
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x
;
1
lim 2018
x
;
x 0
1
lim 2018
x x
x 0
Réponses :
lim x 2017 =
x
;
lim
x 2017 =+
x
;
lim
x 2018 =+
x
1
lim
=0
x x 2017
;
1
lim
=0
x x 2017
;
1
lim
=0
x x 2018
1
lim
=
2017
x 0 x
;
1
lim
=+
2017
x 0 x
Exercice 2 :
;
1
lim
=+
2018
x 0 x
;
;
lim
x 2018 =+
x
;
1
lim
=0
x x 2018
1
lim
=+
2018
x 0 x
Considérons la fonction numérique h définie dans 0; par : h : x h x
1
x
et représentée graphiquement dans un repère orthonormé par la courbe ci-dessous
a. Déterminer graphiquement lim
x
h x
et
lim h x
x 0
x 0
b. Donner le tableau des variations de la fonction h
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SCIENCE ECONOMIQUE
Réponses :
a.
1
1
lim h x 0 et lim h x c.à.d : lim 0 et lim
x
x x
x0 x
x0
x0
x0
b. Tableau des variations de la fonction h
x
0
h(x)
0
Exercice 3 : Soit f une fonction numérique définie dans un ensemble D f
La courbe C f ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans un repère
orthonormé.
a. Déterminer graphiquement l’ensemble D f et les limites de la fonction f aux bornes de D f .
b. Donner le tableau des variations de la fonction f .
Réponses :
a.
D
f
1;1
lim f x =0
x
;
lim f x =
x 1
;
x 1
lim f x =
x 1
x 1
;
lim f x =
x 1
lim f x =+
x 1
;
x 1
;
lim f x =0
x
x 1
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SCIENCE ECONOMIQUE
b.
x
f ( x)
1
1
0
0
II.
Limites finies et infinies d’une fonction numérique :
1) Soit f une fonction définie dans un intervalle I pointé de centre a de la forme :
a r; a a; a r où r > 0 et soit l un réel
On dit que la fonction f admet la limite l au point a si lim f a t l 0 avec t x a
t 0
On écrit : lim f x l c.à.d que : le réel f ( x ) s’approchen indéfiniment du réel l quand la variable x
xa
s’approche indéfiniment du réel a
2) Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme : a;a r où r > 0 et soit l un réel
On dit que la fonction f admet la limite l au point a à droite si :
lim f a t l 0 avec t x a
t 0
On écrit : lim f x l ou
lim f x l
xa
xa
xa
3) Soit f une fonction définie dans un intervalle de la forme a r;a où r > 0 et soit l ' un réel
On dit que la fonction f admet la limite l ' au point a à gauche si :
lim f a t l ' 0 avec t x a
t 0
lim f x l '
On écrit : lim f x l ' ou
xa
xa
xa
4) Soit f une fonction définie dans un intervalle pointé de centre a de la forme a r; a
et soit l et l ' deux réels tel que : lim f x l et
x a
a; a r ; r > 0
lim f x l '
x a
Si l l ' alors la fonction f admet une limite au point a et on a : lim f x l .
x a
Si l l ' alors la fonction f n’admet pas de limite au point a .
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
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SCIENCE ECONOMIQUE
5) Soit f une fonction définie dans un intervalle pointé de centre a de la forme a r; a
a; a r ; r > 0
On dit que la fonction f admet pour limite au point a , si le réel f x devient infiniment grand quand x
s’approche indéfiniment du réel a
On écrit : lim f x
xa
On définit de même les limites suivantes : lim f x
xa
lim f x ; lim f x et lim f x
xa
xa
xa
1
1
Exemples : lim ; lim ; lim et lim
3
x
x
x0 x 2
x0
x0
x0 x
III.
1
1
Limite et ordre :
Propriété 1 :
Soit f et g deux fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a et soit l un réel
x I
f x l g x
Si et
lim g x 0
xa
alors
lim f x l
x a
Propriété 2 :
Soit f ; g1 et g 2 trois fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a et soit l un réel
x I g1 x f x g 2 x
Si et
lim g x lim g x l
2
xa 1
x a
alors
lim f x l
x a
Propriété 3 :
Soit f et g deux fonctions définies dans un intervalle ouvert I pointé de centre a
telles que x I
f x g x
Si lim f x l et lim g x l ' alors l l '
x a
x a
Si lim f x
alors
lim g x
Si lim g x
alors
lim f x
xa
xa
xa
xa
Ces propriétés restent vraies quand x tend aussi vers : a à droite ; a à gauche ; ou .
IV.
Opérations sur les limites :
Il s’agit d’opérations sur des limites lorsque x tend vers : a ; a à droite ; a à gauche ; ou
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1) Somme :
lim f
l
l
l
lim g
l’
lim f g
l +l ’
F.I.
2) Produit :
lim f
l
l 0
l 0
l 0
l 0
0
0
lim g
l’
lim f g
l.
l’
F.I.
3) Inverse :
lim g
l 0
0
0
1
lim
g
1
l
0
0
4) Quotient :
lim f
l 0
l
l
l 0
l 0
l 0
l 0
0
lim g
l’
0
0
0
0
0
f
lim
g
l
l'
0
0
F.I.
5) Racine carrée :
lim f
lim
V.
l 0
l
f
Polynômes :
Considérons les deux polynômes :
P x an x n an1 x n1 a2 x 2 a1 x a0 avec an 0
On a : d° P x n ; donc le terme de plus haut degré du polynôme P x est : an x n
Q x bm x bm1 x m1 b2 x 2 b1 x b0 avec b m 0
m
On a : d° Q x m ; donc le terme de plus haut degré du polynôme Q x est : b m x m
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Soit un réel.
Si Q 0 alors lim
Si P 0 et Q 0 alors lim
Si P 0 et Q 0 alors P x et Q x sont divisibles par x
On a :
lim P x P
x
lim Q x Q
et
x
P x
P
x Q x
Q
x
P x
+
Q x
Donc P x
x A x et Q x x B x
En simplifiant le numérateur P x et le dénominateur Q x par x
P x
A x
lim
lim
x Q x
x B x
Si an b m 0 on a :
lim P x
x
lim a x n
x n
et
lim Q x
x
on obtient
lim b x m
x m
quand x ou x (c.à.d : x ) :
la limite d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
P x
an x n
lim
lim
x Q x
x b x m
m
quand x ou x (c.à.d : x ) :
la limite d’une fonction rationnelle x
P x
est égale à la limite du quotient de son terme an x n de
Q x
plus haut degré du numérateur P x par son terme de plus haut degré b m x m du dénominateur Q x .
Exemples :
1 ) lim 3 x 4 5 x 2 x 2 lim 3 x 4
5)
4 x 2 5 x 1
4 x 2
4
2 ) lim 3
lim
0
x x3 xlim
x x 2 x 2 x 3
x
6)
x
x
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
lim 3 x 4 5 x 2 x 2 28
x 2
x2 5x 4 9
lim 2
2
x 5 x 2 x 3
10
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6 x2 5x 4
6 x2 6
3 ) lim 2
lim
x 2 x 2 2 3
x 2 x 2 x 3
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7)
x4 5x2 8x 2
x4
1
4 ) lim 3
lim
lim x
2
3
8)
x 7 x x 2 x 3
x 7 x x 7
LIMITES D’UNE FONCTION NUMERIQUE
x2 5x 4
3
x 4
lim 2
lim
x 1 x 2 x 3
4
x1 x 3
x2 5x 4
lim
x 3 x 2 2 x 3
x 3
11
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