COURS METHODE DES ELEMENTS FINIS.pdf


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Table des mati`
eres
1 Outils d’analyse fonctionnelle
1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . .
1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets
1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . .
1.3 Notion de d´eriv´ee g´en´eralis´ee . . . . . . . . .
1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . .
1.3.2 D´eriv´ee g´en´eralis´ee . . . . . . . . . .
1.4 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Les espaces H m . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Trace d’une fonction . . . . . . . . .
1.4.3 Espace H10 (Ω) . . . . . . . . . . . . .

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2 Introduction `
a la m´
ethode des ´
el´
ements finis
2.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Exemple 2-D . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Formulation g´en´erale . . . . . . . . . . . .
2.2 Existence et unicit´e de la solution . . . . . . . . .
2.2.1 Continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Th´eor`eme de Lax-Milgram . . . . . . . . .
2.2.3 Retour a` l’exemple 1-D . . . . . . . . . . .
2.2.4 Remarque: condition inf-sup . . . . . . . .
2.3 EDP elliptiques d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Approximation interne . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Principe g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Interpr´etation de uh . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Estimation d’erreur . . . . . . . . . . . . .
2.5 Principe g´en´eral de la m´ethode des ´el´ements finis
2.6 Retour `a l’exemple 1-D . . . . . . . . . . . . . . .

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3 El´
ements finis de Lagrange
3.1 Unisolvance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 El´ement fini de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Exemples d’´el´ements finis de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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