COURS METHODE DES ELEMENTS FINIS.pdf


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Chapitre 1
Outils d’analyse fonctionnelle
1.1
1.1.1

Quelques rappels
Normes et produits scalaires

Soit E un espace vectoriel.

efinition : k.k : E → IR+ est une norme sur E ssi elle v´erifie :
(N1) (kxk = 0) =⇒ (x = 0)
(N2) ∀ λ ∈ IR, ∀x ∈ E, kλxk = |λ| kxk
(N3) ∀ x,y ∈ E, kx + yk ≤ kxk + kyk
(in´egalit´e triangulaire)
Exemple : Pour E = IRn et x = (x1 , . . . ,xn ) ∈ IRn , on d´efinit les normes
kxk1 =

n
X

|xi |

i=1

kxk2 =

n
X

!1/2

x2i

kxk∞ = sup |xi |
i

i=1


efinition : On appelle produit scalaire sur E toute forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie
positive.
< .,. > : E × E → IR est donc un produit scalaire sur E ssi il v´erifie :
(S1) ∀ x,y ∈ E, < x,y >=< y,x >
(S2) ∀ x1 ,x2 ,y ∈ E, < x1 + x2 ,y >=< x1 ,y > + < x2 ,y >
(S3) ∀ x,y ∈ E, ∀ λ ∈ IR, < λx,y >= λ < x,y >
(S4) ∀ x ∈ E,x 6= 0, < x,x > > 0

A partir d’un produit scalaire, on peut d´efinir une norme induite : kxk = < x,x >
On a alors, d’apr`es (N3), l’in´
egalit´
e de Cauchy-Schwarz : | < x,y > | ≤ kxk kyk
Exemple : Pour E = IRn , on d´efinit le produit scalaire < x,y >=

n
X
i=1

est k.k2 d´efinie pr´ec´edemment.
Un espace vectoriel muni d’une norme est appel´e espace norm´
e.
1

xi yi . Sa norme induite