COURS METHODE DES ELEMENTS FINIS.pdf


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Un espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appel´e espace pr´
ehilbertien. En particulier, c’est donc un espace norm´e pour la norme induite.

1.1.2

Suites de Cauchy - espaces complets


efinition : Soit E un espace vectoriel et (xn )n une suite de E. (xn )n est une suite de
Cauchy ssi ∀ε > 0, ∃N/∀p > N,∀q > N, kxp − xq k < ε
Toute suite convergente est de Cauchy. La r´eciproque est fausse.

efinition : Un espace vectoriel est complet ssi toute suite de Cauchy y est convergente.

efinition : Un espace norm´e complet est un espace de Banach.

efinition : Un espace pr´ehilbertien complet est un espace de Hilbert.

efinition : Un espace de Hilbert de dimension finie est appel´e espace euclidien.

1.2

Espaces fonctionnels


efinition : Un espace fonctionnel est un espace vectoriel dont les ´el´ements sont des
fonctions.
Exemple : C p ([a; b]) d´esigne l’espace des fonctions d´efinies sur l’intervalle [a,b], dont toutes
les d´eriv´ees jusqu’`a l’ordre p existent et sont continues sur [a,b].
Dans la suite, les fonctions seront d´efinies sur un sous-ensemble de IRn (le plus souvent un
ouvert not´e Ω), a` valeurs dans IR ou IRp .
¯ ⊂ IR3 est une fonction de
Exemple : La temp´erature T (x,y,z,t) en tout point d’un objet Ω
¯ × IR −→ IR.

Les normes usuelles les plus simples sur les espaces fonctionnels sont les normes Lp d´efinies
par :
kukLp =

Z

p

|u|

1/p

, p ∈ [1, + ∞[,

et



kukL∞ = SupΩ |u|

Comme on va le voir, ces formes Lp ne sont pas n´ecessairement des normes. Et lorsqu’elles
le sont, les espaces fonctionnels munis de ces normes ne sont pas n´ecessairement des espaces
de Banach. Par exemple, les formes L∞ et L1 sont bien des normes sur l’espace C 0 ([a; b]), et
cet espace est complet si on le munit de la norme L∞ , mais ne l’est pas si on le munit de la
norme L1 .
Pour cette raison, on va d´efinir les espaces Lp (Ω) (p ∈ [1, + ∞[) par


Lp (Ω) = u : Ω → IR, mesurable, et telle que

Z


2

|u|p < ∞