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‫‪ .1‬ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‬
‫ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ‬

‫) ‪f ′(x‬‬

‫) ‪f (x‬‬

‫¡‬
‫¡‬

‫‪0‬‬

‫‪) k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﺜﺎﺒﺕ ﺤﻘﻴﻘﻲ(‬

‫‪1‬‬

‫¡‬

‫‪x‬‬
‫‪ n ∈¥) x n‬ﻭ‪( n ≥ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫∗‬
‫‪( n ∈ ¥ ) 1n‬‬
‫‪x‬‬

‫‪nx n −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− nn +1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬

‫[‪ ]−∞ ; 0‬ﻭ [∞ ‪]0; +‬‬
‫[‪ ]−∞ ; 0‬ﻭ [∞ ‪]0; +‬‬
‫[∞ ‪]0; +‬‬
‫¡‬
‫¡‬

‫‪x‬‬

‫‪− sin x‬‬

‫‪cos x‬‬

‫‪cos x‬‬

‫‪sin x‬‬

‫‪ .2‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ ¡ ﻭ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬
‫‪(u ) n‬‬
‫‪n × u ′ × (u ) n −1‬‬
‫∗‪n ∈ ¥‬‬

‫‪v‬‬
‫‪v′‬‬
‫‪2 v‬‬
‫‪v‬ﻤﻭﺠﺒﺔ‬

‫‪u‬‬
‫‪v‬‬

‫‪u 'v − v'u‬‬
‫‪v2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v′‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪v‬‬

‫‪uv‬‬

‫‪u ' v + v'u‬‬

‫‪ku‬‬
‫‪ku ′‬‬

‫‪u +v‬‬
‫‪u ′ + v′‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬

‫‪v‬ﻻﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪ .1‬ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‬
‫ﻤﺠﺎﻻﺕ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ‬

‫) ‪f ′(x‬‬

‫) ‪f (x‬‬

‫¡‬
‫¡‬

‫‪0‬‬

‫‪) k‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﺜﺎﺒﺕ ﺤﻘﻴﻘﻲ(‬

‫‪1‬‬

‫¡‬

‫‪x‬‬
‫‪ n ∈¥) x n‬ﻭ‪( n ≥ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪( n ∈ ¥∗ ) 1n‬‬
‫‪x‬‬

‫‪nx n −1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− nn +1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2 x‬‬

‫[‪ ]−∞ ; 0‬ﻭ [∞ ‪]0; +‬‬
‫[‪ ]−∞ ; 0‬ﻭ [∞ ‪]0; +‬‬
‫[∞ ‪]0; +‬‬
‫¡‬
‫¡‬

‫‪x‬‬

‫‪− sin x‬‬

‫‪cos x‬‬

‫‪cos x‬‬

‫‪sin x‬‬

‫‪ .2‬ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل‬
‫‪ u‬ﻭ ‪ v‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ ¡ ﻭ ‪ k‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬
‫‪(u ) n‬‬
‫‪n × u ′ × (u ) n −1‬‬
‫∗‪n ∈ ¥‬‬

‫‪v‬‬
‫‪v′‬‬
‫‪2 v‬‬
‫‪v‬ﻤﻭﺠﺒﺔ‬

‫‪u‬‬
‫‪v‬‬

‫‪u 'v − v'u‬‬
‫‪v2‬‬

‫‪1‬‬
‫‪v‬‬
‫‪v′‬‬
‫‪− 2‬‬
‫‪v‬‬

‫‪v‬ﻻﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬

‫‪uv‬‬

‫‪u ' v + v'u‬‬

‫‪ku‬‬
‫‪ku ′‬‬

‫‪u +v‬‬
‫‪u ′ + v′‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬
‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬


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