EF+Corrigé Maths1 ST 2017 2018 .pdf
Nom original: EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf
Auteur: Samsung
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Université de Tlemcen
Mardi 16 Janvier 2018
Faculté des Sciences
Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies
Département des Mathématiques
Durée : 1 h-30mns
Examen final
« L’usage de la calculatrice est strictement interdit »
√
Exercice 01 : (04 points) Soit le nombre complexe
√
√
√ , on pose
1. Ecrire sous sa forme algébrique, puis sous sa forme trigonométrique.
2. Déterminer la forme trigonométrique de z.
3. En déduire les valeurs de
.
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Exercice 02 : (06 points) On considère l’application
, définie par
m
.
1)
2)
3)
4)
5)
(U
v
ni
e
Tl
)
n
ce
8
1
20
7
.
1
0
2
Montrer que est paire.
L’application est-elle injective ? Justifier.
Résoudre l’équation
. L’application est-elle surjective ?
[, puis trouver [
[ .
Montrer que est décroissante sur[
Soit l’application
[
[
s
e
c
n
Montrer que
Exercice 03 : (04 points) Soit
1. Calculer
2. La fonction
e
r
iè
em
lté
est bijective.
ST.
es
~
)
1
(S
S
d
u
c
a
la fonction définie sur
F
e
ci
|
par :
|
{
D continue en 0 ? est-elle dérivable en0 ? Justifier.
est-elle
M
L
Exercice 04 : (06 points) Soient
deux suites numériques définies par
Pr
1)
a) Calculer
.
b) Pour
, calculer
2) Énoncer le théorème des accroissements finis, puis montrer que
.
3) En déduire que
est décroissante, et que
est croissante.
4) Que peut-on dire des deux suites ? Déduire alors qu’elles convergent vers la même limite.
Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies
Corrigé de l’épreuve finale
Exercice 01 :
√
√
1)
√
√
(
√
√(
√ )
√ )(
√ )
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La forme algébrique
m
√
Si on pose
,
√
.
√( √ )
| |
√
ce qui entraine que
(0.5pt)
n
D’où la forme trigonométrique
(
es
d
é
2) On déduit de la première question quelt| |
u
et que les argument possibles de a
zc
sont (
F
~
Donc
(
) )
(
1
alors
(S
ST
(
D
M
L
3) Par identification :
re
è
i
(
m
e
r :
PD’où
{
1
s
e
c
(U
v
ni
e
Tl
)
n
ce
e
ci
1
0
2
8
1
20
7
S
)
| |
, ( 0.25 pt)
{
)
}. ( 0.25 pt)
), comme
sont positives,
)
)
√
√
√
√
√
√
√
√
Exercice 02 : On considère l’application
, définie par
1. Soit
, donc f est une application paire. ( 01 pt)
2. L’application n’est pas injective car elle est paire. ( 01 pt)
3. L’équation
est équivalente à l’équation
, qui n’a aucune solution réelle(0.5 pt).
L’application f n’est pas surjective, puisque l’élément 2 n’a pas d’antécédent réel ( 0.5 pt).
4. L’application f est continue et dérivable sur
et
8
1
20
7
, ce qui prouve que f
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est décroissante sur
( 0.5 pt) .
[
]
] ] ] ( 01 pt)
Par conséquence : [
[ et à valeurs dans [
[ , donc elle est surjective (0.5 pt).
5. L’application g est définie sur [
[ donc injective ( 0.5pt). Ce qui prouve que g est
En plus g est strictement décroissante sur [
une bijection.
m
Exercice 03 : Soit
la fonction définie sur
.
par :
|
|
s
e
c
{
(U
v
ni
e
Tl
)
n
ce
1
0
2
n
1. On a
lté
es
e
ci
S
d
u
c
a
F
~
) ce qui signifie que la fonction n’est pas continue en 0 ( 01 pt).
2. On a
n’existe pas,
1
F n’est pas dérivable en(S
0, puisqu’elle n’est pas continue en ce point, car toute fonction dérivable
est continue ce qui est
T équivalent à dire que toute fonction discontinue en un point ne peut être
S
dérivable en ce point (01 pt).
D
M
Exercice 04 : SoientL
deux suites numériques définies par
e
r
iè
em
r
1) P
Donc la limite n’existe pas
a)
( 0.5 pt)
. (0.5 pt)
b)
2
(
)
2) Théorème des accroissements finis : Soit
[. Il existe
]
[ tel que
sur ]
[
]
une fonction continue sur [
(01 pt)
] et dérivable
8
1
20
7
On applique le théorème des accroissements finis pour la fonction logarithme sur l’intervalle
[
]
[ et dérivable sur
. Puisque la fonction logarithme est continue sur [
]
[, donc en particulier elle est continue sur [
] et dérivable sur
]
[
, ce qui entraine que :
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]
]
[
[ alors
+
m
*. D’où :
v.
e
Tl
)
n
ce
.
1
0
2
i
n
3) D’après la double inégalité démontrée dans la deuxième question,
(U on a :
s
e
nc
Donc
e
i
c
.
S
s
Ce qui prouve que la suite
est décroissante
( 0.5 pt).
e
d
D’après la même inégalité, on a
té
l
u
c
Fa
Donc
~
)
1
(S
T
Ce qui prouve que S
la suite
est croissante (0.5 pt).
D
4) On a
ce qui implique
LM
En plus re
(0.25 pt)
è
i
Et
est décroissante,
est croissante (0.25 pt). D’où les deux suites sont adjacentes
m
e
et donc convergent vers la même limite ( 0.5 pt).
Pr
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