EF+Corrigé Maths1 ST 2017 2018 .pdf


Nom original: EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdfAuteur: Samsung

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par Microsoft® Word 2010, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 18/01/2018 à 10:38, depuis l'adresse IP 41.100.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 2954 fois.
Taille du document: 738 Ko (4 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document


Université de Tlemcen

Mardi 16 Janvier 2018

Faculté des Sciences

Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies

Département des Mathématiques

Durée : 1 h-30mns

Examen final
« L’usage de la calculatrice est strictement interdit »


Exercice 01 : (04 points) Soit le nombre complexe





√ , on pose

1. Ecrire sous sa forme algébrique, puis sous sa forme trigonométrique.
2. Déterminer la forme trigonométrique de z.
3. En déduire les valeurs de

.

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

Exercice 02 : (06 points) On considère l’application

, définie par

m

.

1)
2)
3)
4)
5)

(U

v
ni

e
Tl

)
n
ce

8
1
20
7

.

1
0
2

Montrer que est paire.
L’application est-elle injective ? Justifier.
Résoudre l’équation
. L’application est-elle surjective ?
[, puis trouver [
[ .
Montrer que est décroissante sur[
Soit l’application
[
[

s
e
c

n

Montrer que

Exercice 03 : (04 points) Soit

1. Calculer
2. La fonction

e

r

em

lté

est bijective.

ST.

es

~
)
1
(S

S

d

u
c
a

la fonction définie sur

F

e
ci

|

par :
|

{

D continue en 0 ? est-elle dérivable en0 ? Justifier.
est-elle
M
L

Exercice 04 : (06 points) Soient

deux suites numériques définies par

Pr
1)

a) Calculer
.
b) Pour
, calculer
2) Énoncer le théorème des accroissements finis, puis montrer que
.
3) En déduire que
est décroissante, et que
est croissante.
4) Que peut-on dire des deux suites ? Déduire alors qu’elles convergent vers la même limite.

Module : Math 1- Tronc commun Sciences et Technologies

Corrigé de l’épreuve finale

Exercice 01 :





1)




(


√(

√ )

√ )(

√ )

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

La forme algébrique

m



Si on pose

,



.

√( √ )

| |


ce qui entraine que

(0.5pt)

n

D’où la forme trigonométrique
(

es

d
é
2) On déduit de la première question quelt| |
u
et que les argument possibles de a
zc
sont (
F
~
Donc
(
) )
(
1
alors
(S
ST
(
D
M
L
3) Par identification :
re
è
i
(
m
e
r :
PD’où
{

1

s
e
c

(U

v
ni

e
Tl

)
n
ce

e
ci

1
0
2

8
1
20
7

S

)
| |

, ( 0.25 pt)
{

)

}. ( 0.25 pt)

), comme

sont positives,

)

)

















Exercice 02 : On considère l’application

, définie par

1. Soit

, donc f est une application paire. ( 01 pt)

2. L’application n’est pas injective car elle est paire. ( 01 pt)
3. L’équation
est équivalente à l’équation
, qui n’a aucune solution réelle(0.5 pt).
L’application f n’est pas surjective, puisque l’élément 2 n’a pas d’antécédent réel ( 0.5 pt).
4. L’application f est continue et dérivable sur

et

8
1
20
7

, ce qui prouve que f

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

est décroissante sur
( 0.5 pt) .
[
]
] ] ] ( 01 pt)
Par conséquence : [
[ et à valeurs dans [
[ , donc elle est surjective (0.5 pt).
5. L’application g est définie sur [
[ donc injective ( 0.5pt). Ce qui prouve que g est
En plus g est strictement décroissante sur [
une bijection.

m

Exercice 03 : Soit

la fonction définie sur

.

par :
|

|

s
e
c

{

(U

v
ni

e
Tl

)
n
ce

1
0
2

n

1. On a

lté

es

e
ci

S

d

u
c
a

F
~
) ce qui signifie que la fonction n’est pas continue en 0 ( 01 pt).
2. On a
n’existe pas,
1
F n’est pas dérivable en(S
0, puisqu’elle n’est pas continue en ce point, car toute fonction dérivable
est continue ce qui est
T équivalent à dire que toute fonction discontinue en un point ne peut être
S
dérivable en ce point (01 pt).
D
M
Exercice 04 : SoientL
deux suites numériques définies par
e
r

em
r
1) P
Donc la limite n’existe pas

a)

( 0.5 pt)
. (0.5 pt)

b)

2

(

)

2) Théorème des accroissements finis : Soit
[. Il existe
]
[ tel que
sur ]

[

]

une fonction continue sur [
(01 pt)

] et dérivable

8
1
20
7

On applique le théorème des accroissements finis pour la fonction logarithme sur l’intervalle
[
]
[ et dérivable sur
. Puisque la fonction logarithme est continue sur [
]
[, donc en particulier elle est continue sur [
] et dérivable sur
]
[
, ce qui entraine que :

Page Facebook "Sciences Tlemcen"

]
]

[
[ alors

+

m

*. D’où :

v.

e
Tl

)
n
ce
.

1
0
2

i
n
3) D’après la double inégalité démontrée dans la deuxième question,
(U on a :
s
e
nc
Donc
e
i
c
.
S
s
Ce qui prouve que la suite
est décroissante
( 0.5 pt).
e
d
D’après la même inégalité, on a

l
u
c
Fa
Donc
~
)
1
(S
T
Ce qui prouve que S
la suite
est croissante (0.5 pt).
D
4) On a
ce qui implique
LM
En plus re
(0.25 pt)
è
i
Et
est décroissante,
est croissante (0.25 pt). D’où les deux suites sont adjacentes
m
e
et donc convergent vers la même limite ( 0.5 pt).
Pr

3


EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf - page 1/4


EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf - page 2/4


EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf - page 3/4

EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf - page 4/4


Télécharger le fichier (PDF)

EF+Corrigé Maths1 ST 2017-2018.pdf (PDF, 738 Ko)

Télécharger
Formats alternatifs: ZIP



Documents similaires


ef corrige maths1 st 2017 2018
rattcorrige maths1 st 17 18
ef math1 st 2015 corrige
ef math1 st 2015 corrige
efcorrige maths1 sm 2018 2019
ef corrige math1 st sujet2 2016 2017

Sur le même sujet..