Présentation de la série 1 .pdf



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Projet d’économétrie de la finance
Modélisation ARIMA du PIB suisse en niveau

Yusuf BEYAZ
Fabio MUSCOLINI
Nicolas NGUYEN
Mehdi BENDAOUD

M1 Finance Banque, Assurance et Marché de capitaux

Enseignant : Jérôme TRINH

Présentation de la série :
La série étudiée présente le PIB réel de la Suisse en fréquence trimestrielle. La série s’étend sur un
échantillon qui débute le 1er janvier 1988 et qui se termine au premier trimestre 2017. La série
comporte un total de 117 observations  T=117.

I. Détermination de l’ordre d’intégration
Invite de commandes : line pibs

Invite de commandes : histpibs

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D’après les graphiques ci-dessus, on se place dans le cas numéro 4 de Dickey Fuller, avec les présences
d’une tendance et d’une constante. On observe que la valeur minimale est de 102741,3 et que la valeur
maximale est de 167971,4. La série a une moyenne de 133081,3 qui est relativement proche de la
médiane 129027,3, l’écart-type est de 19848,73.
On remarque que la série étudiée n’est pas symétrique et ne suit pas la loi normale. On peut le
confirmer par trois indicateurs dans l’histogramme :
coefficient d’aplatissement de Kurtosis = 1,677574 < 3  distribution trop aplatit
coefficient d’asymétrie de Skewness = 0,288297 ≠ 0  queue de distribution vers la droite
statistique de Jacque-Bera = 10,14619 ≠ 0

Invite de commandes :
• series dpibs = d(pibs)
• equation e.ls pibs c pibs(-1) @trend dpibs(-1)
• e.correl(8)

Le modèle le plus adapté sans résidus autocorrélés sur deux années pour le test de racine unitaire pibs
est celui avec un seul retard. Avec ce modèle, le test de Ljung-Box ne rejette jamais l’absence
d’autocorrélation des résidus à 5% sur deux années de retard.

Invite de commandes : =(e.@coefs(2)-1)/e.@stderrs(2)

Pour ce modèle, la statistique ADF vaut
-2.1928 et est donc supérieure à -3.45 qui est
la valeur critique de ce test à 5% pour n ≈ 100 observations. On ne rejette donc pas la racine unitaire
pour pibs et on en déduit que pibs n’est pas stationnaire, pibs a donc pour ordre d’intégration d > 0.

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On regarde l’ordre d’intégration de (dpibs) en sachant qu’il est supérieur à 0 :
Invite de commandes :
• series dpibs = d(pibs)
• line d(pibs)

On se place dans le cas avec constante non nulle
Invite de commandes :
• series d2pibs = d(pibs,2)
• equation e.ls dpibs c dpibs(-1) d2pibs(-1)
• e.correl(8)

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Invite de commandes : =(e.@coefs(2)-1)/e.@stderrs(2)
Pour ce modèle, la statistique ADF vaut
-5.3029 et est donc inférieure à -2.89 la
valeur critique de ce test à 5% pour n ≈ 100 observations. On rejette donc la racine unitaire pour
dpibs et on en déduit que dpibs est stationnaire, pibs a donc pour ordre d’intégration d = 1.

II. ARIMA (p,d,q)
Comme dpibs est intégré d’ordre 1, on cherchera à le modéliser par un modèle ARIMA(p,1,q). On
essaie donc de trouver le meilleur modèle ARMA(p,q) pour dpbis.
Invite de commandes : Dpibs.correl(8)

L’autocorrélation totale indique au maximum un retard MA(2) et l’autocorrélation partielle nous
indique au maximum un AR(1). Les modèles concurrents sont donc tous les modèles ARMA(p,q) tels
que p=1 et q ≤ 2.

On prend donc AR(1) :
Invite de commandes :
• Equation arp.ls dpibs c ar(1)
• Arp.correl(8)

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On voit bien que le modèle AR(1) pour dpibs n’a pas de résidus autocorrélés. Ce qui confirme le
premier graphique. On le garde donc comme modèle candidat valide.

Pour le modèle MA, on part de MA(2) :

Le modèle MA(2) pour dpibs n’a pas de résidus autocorrélés. Après avoir testé MA(1), on a pu voir la
présence de résidus autocorrélés. On retient donc MA(2) comme modèle candidat valide.

En partant de l’ARMA(1,2) :
On peut montrer que l’ARMA(1,2) n’a pas de résidus autocorrélés. Il est donc valide, mais on peut
chercher un modèle plus parcimonieux (i.e. qui a moins de paramètres à estimer) dont les résidus
restent non autocorrélés. On trouve alors que ARMA(1,1) et ARMA(1,2) ont des résidus non
autocorrélés.
Invite de commandes :
• Equation ar1ma1.ls dpibs c ar(1) ma(1)
• Ar1ma1.correl(8)

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Invite de commandes :
• Equation ar1ma2.ls dpibs c ar(1) ma(1 to 2)
• Ar1ma2.correl(8)

Les modèles concurrents valides pour dpibs sont donc les modèles ARIMA(1,1,0), ARIMA (0,1,2),
ARIMA (1,1,1) et ARIMA (1,1,2).

Question Bonus : Hétéroscédasticité des résidus
Les tests d’hétéroscédasticité de type ARCH pour les 4 modèles concurrents rejettent tous
l’hétéroscedasticité à 5% car la p-value associée au F-test de significativité globale du modèle ARCH
sont inférieures à 0.05 :
Invite de commandes : Ar1.archtest(8) :

Invite de commandes : Ma2.archtest(8) :

Invite de commandes : Ar1ma1.archtest(8) :

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Invite de commandes : Ar1ma2.archtest(8) :

Pour que les tests soient robustes, il faut que les résidues soient homoscédastiques. Comme ici tous
les modèles le sont, ce critère ne permet pas de réduire le nombre de modèles concurrents.

III. Sélection du modèle :
Les quatre modèles concurrents pour pibs sont ARIMA(1,1,0), ARIMA (0,1,2), ARIMA (1,1,1) et ARIMA
(1,1,2), ils ont tous des résidus non-autocorrélés et homoscédastiques. On les sélectionne donc par
minimisation des critères d’informations AIC, BIC (ou Schwarz criterion) et HQ :
Invite de commandes :
• Ar1.output
• Ma2.output
• Ar1ma1.output
• Ar1ma2.output

arima(1,1,0)

arima(0,1,2)

arima(1,1,1)

arima(1,1,2)

aic

15,94577

15,97346

15,96288

15,97661

bic

16,01698

16,06841

16,05783

16,09530

hq

15,97467

16,01200

16,00142

16,02479

Le modèle ARIMA(1,1,0) pour pibs minimise à la fois les critères AIC, BIC et HQ. On le retiendra donc
pour la prévision.

IV. (Bonus) Prévision :
Le modèle retenu pour pibs est donc le modèle ARIMA(1,1,0) suivant :

∆𝐩𝐢𝐛𝐬 = 𝐜 + 𝛒𝟏 × ∆𝐩𝐢𝐛𝐬 − 𝟏 + 𝛆𝐭
On a les valeurs suivantes :
c = 561,5835
p1 = 0,504506

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On effectue une prévision pour les 2 années soit 8 trimestres suivant la dernière date disponible.
On élargit dans un premier temps la période des données à 2019q1 :
Invite de commandes : Pagestruct(end=2019q1)
Dans un second temps,
Invite de commandes :
• Ar1.forecast
• Dynamic forecast
• 2017q1 2019q1 (comme forecact sample)

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