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CHAPITRE II – LES FRACTIONS
I – Écritures fractionnaires
Définition : Fraction d'une quantité.
Les nombre a et b sont des entiers, avec b≠0 . La fraction

a
représente une portion d'une
b

chose :
• Le nombre b indique en combien de parts égales on a divisé cette chose.
• Le nombre a indique combien de ces parts on choisit.
Exemple : Manon a mangé les

3
du gâteau. Cela signifie que si on découpe le gâteau en 4 parts
4

égales, Manon en a mangées 3.
Définition : Numérateur et dénominateur.
a
Soit
une fraction :
b
• Le nombre a est appelé numérateur de la fraction.
• Le nombre b est appelé dénominateur de la fraction.
Exemple : Dans la fraction

3
, le nombre 3 est le numérateur et le nombre 7 est le dénominateur.
7

Le dénominateur b ne peut jamais être égal à 0.
Exemple : La fraction

51
n'existe pas, car la division par 0 est impossible.
0

Définition : Écriture fractionnaire
a
La fraction
est un nombre égal au quotient de la division de a par b :
b
a
=a÷b
b
a
On dit que
est l'écriture fractionnaire du quotient.
b
Exemple : Le quotient 75÷14 a pour l'écriture fractionnaire

75
.
14

Propriété :
Lorsque la division de a par b ne se termine pas (le reste ne vaut jamais 0), la fraction

a
b

représente la valeur exacte du quotient de cette division.
Exemple : Dans la division de 5 par 3, le quotient ne possède pas une écriture exacte, car le reste 2
se répète indéfiniment. En revanche, on peut exprimer la valeur exacte de ce quotient à l'aide de la
5
fraction
.
3
Propriété :
La fraction

Exemple :

a
est le nombre qui, lorsqu'on le multiplie b est égal à a :
b
a
×b=a
b

3
×7=3
7

Propriété :
Toute fraction peut s'écrire sous la forme d'un entier et d'une fraction dont le numérateur est
strictement inférieur au dénominateur.
Exemple :

7 6 1
1
= + =2+
3 3 3
3

II – Égalité de fractions
Propriété :
Deux fractions sont égales si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) le numérateur
et le dénominateur par un même nombre non nul.
5 3×5 15
=
=
2 3×2 6
16 2×8 8
=
=
6 2×3 3

Exemple :

Remarque :
Autrement dit, un quotient conserve la même valeur si l'on multiplie (ou l'on divise) le numérateur
et le dénominateur de l'une de ses écritures fractionnaires par un même nombre non nul.

Cette propriété n'est pas vraie avec
3+ 4 3
≠
Exemple :
5+ 4 5

l'addition ou la soustraction.

Définition : Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est donner une fraction égale dont les numérateurs et dénominateurs sont
plus petits que ceux de départ.
Exemple :

45 45÷5 9
=
=
25 25÷5 5

Ici, on divise le numérateur et le dénominateur de la fraction
obtient une fraction simplifiée

45
par le même nombre entier 5 et
25

9
.
5

Conseil :
Pour simplifier une fraction, on doit connaître parfaitement les tables de
multiplication ainsi que les critères de divisibilité.

III – Comparer, ranger, placer
Propriété :
a a'
et
Si
sont deux fractions de même dénominateur, et si a < a', alors :
b
b
a a'
<
b b
Exemple : On cherche à comparer
comparer leurs numérateurs :
3<7
Ainsi, on obtient :
3 7
<
5 5

7
et
5

3
. Ces deux fractions ont le même dénominateur. On
5

Propriété :
a a
et
Si
sont des fractions de même numérateur, et si b < b', alors :
b b'
a a
>
b b'
Exemple : On cherche à comparer

11 11
et
. Ces deux fractions ont le même numérateur. On
5
9

compare leurs dénominateurs :
5<9
Ainsi, on obtient :
11 11
>
5 9

Conseil :
Pour comparer deux fractions de numérateurs et dénominateurs différents, on
remplace au moins une des deux fractions par une fraction égal afin de se
retrouver dans les cas des propriétés précédentes.
8 2
et
.
6 3
On remarque que ces deux fractions ont des numérateurs différents ainsi que des dénominateurs
différents. On simplifie la première :
8 2×4 4
=
=
6 2×3 3
4 2
et
On doit comparer
. Ces deux fractions on le même dénominateur. On comparer leurs
3 3
numérateurs :
4>2
Ainsi, on obtient :
4 2
>
3 3
Soit :
8 2
>
6 3
Exemple : On cherche à comparer

Propriété :
a
Soit
une fraction :
b
•
•
•

a
est supérieur à 1.
b
a
Si a < b, alors
est inférieur à 1.
b
a
Si a = b, alors
est égal à 1.
b
Si a > b, alors

Exemple 1 : On considère la fraction

9
. On a :
5

9>5
Donc :
9
>1
5
Exemple 2 : On considère la fraction

3
. On a :
4

3<4
Donc :
3
<1
4

Conseil :

a
sur une demi-droite graduée :
b
On place les unités en b parts.
On en prend a à partir de l'origine.

Pour placer une fraction
•
•
Exemple :
On souhaite placer la fraction

5
sur la demi-droite graduée suivante :
3

On découpe l'unité en 3 parts :

On prend 5 parts, afin de placer la fraction :

IV – Prendre la fraction d'un nombre
Propriété :

a
, on peut calculer au choix :
b
k ×a
Multiplier k par le résultat de la division de a par b :
.
b
k ×a
Multiplier k par a et diviser le résultat par b :
.
b

Pour multiplier un nombre k par une fraction
•
•

•

Diviser k par b et multiplier le résultat par a :

Exemple : Pour multiplier le nombre 35 par

k
×a
b

2
, on peut effectuer le calcul des trois façons
5

suivantes :
35×2
=35×0,4=14
•
5
35×2 70
= =14
•
5
5
35
×2=7×2=14
•
5

Remarque :

a
, on dit qu'on prend les
b
3
Exemple : Prendre les trois quarts de 10 revient à multiplier 10 par
.
4
Lorsque l'on multiplie le nombre k par la fraction

a
de k.
b

Propriété :
Le pourcentage est un cas particulier de la propriété précédente. Prendre t% d'une quantité revient
t
à multiplier cette quantité par
.
100
Exemple : On dépense 20% d'une cagnotte de 15€. On a donc dépensé :
15×20
=3 €
100