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Sous-Titre

Organisation du cours
Cours théoriques et exercices “all-in” pour un total de 20h+10h

Chapitre I
Introduction

“Table des matières”
!
!
!
!
!

Concept de fluide et observables
Lois d’écoulement
Equations aux dimensions
Instabilités
Fluides complexes

Ouvrages de référence proposés
• Ce que disent les fluides E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit (Belin) (~25!)
• Gouttes, bulles, perles et ondes, P.-G. de Gennes, F. Brochard-Wyart, D. Quéré (Belin) (~30!)
• On size and life, Thomas McMahon et John Tyler Bonner (~20!)
• Hydrodynamique Physique, E. Guyon, J.-P. Hulin, L. Petit (CNRS Editions) (~50!)
• An Introduction to Fluid Dynamics, G.K.Batchelor (Cambridge) (~35!)

Sous-Titre

Qu’est-ce qu’un fluide ?
Thermodynamique
Corps simple composé d’atomes et de molécules.
Les transitions de phases sont caractérisées par
des discontinuités de paramètres physiques.

Mécanique
Quelque chose qui coule. Tout dépend de l’échelle de temps !
Nombre de Deborah :

De =

tc
to

Sous-Titre

Sous-Titre

Hypothèse de continuité

Propriétés physiques des fluides

Postulat de base

Masse Volumique

Tout se situe loin de l’échelle atomique et moléculaire. L’ensemble des observables
peut être pris en moyenne et considéré comme invariable dans le volume considéré.

Masse par unité de volume ρ =

m
V

Différent de la densité !!!

kg
[ρ] = 3 = ML−3
m

ρ! =

En pratique : ! > 10 diamètres moléculaires

Limitations : • Haute atmosphère
• Matériaux granulaires

Fluide

Masse Vol. (kg.m-3)

air à 20°C

1.205

eau à 20°C

998

ethanol à 15°C

790

glycérol à 15°C

1260

mercure à 15°C

13610

ρf
ρH2 O

[ρ! ] = 1

Contrainte de cisaillement

Un fluide peut se déformer sur de grandes échelles spatiales, sans perte de cohésion

solide idéal

d´eformation != f (Adef ) != solide

La contrainte peut dépendre de la vitesse de déformation.
v

V
∂vx
F
= η = −η
S
h
∂y
solide réel

Viscosité dynamique

l
idéa

n

ie
on

t
ew
-N

! ≡F
F

e
uid

fl

h

que

ti
plas

n
no

nien

wto
e Ne
fluid

tonien

fluide New

fluide
F idéal

S

V
F

S
h



V
∂vx
= −η
h
∂y

V
∂vx
F
= η = −η
S
h
∂y
Equation constitutive reliant la contrainte de cisaillement au gradient de vitesse

V
∂vx
F
= η = −η
S
h
∂y

[η] = Pa · s

Sous-Titre

Viscosité

Transport de la quantité de mouvement

Fluide

Viscosité dyn.
(Pa . s)

air à 20°C

1.81 10-5

Cylindres concentriques, dispositif de Couette

eau à 20°C

1.002 10-3

Bille à chute freinée (cf. plus loin)

ethanol à 15°C
glycérol à 15°C
mercure à 15°C

1.34

10-3

2.33
1.58

Mesure de la viscosité

Simplification

10-3
y + dy

kg
Système SI : Poiseuille 1 Poiseuille = 1 Pa · s = 1
ms

Système CGS : Poise 1 Poise = 0.1 Poiseuille

dS

y

x

REM : le fluide ne glisse pas sur le solide !

y + dy

v



Quel est l’effet de la contrainte sur l’élément de fluide ?

On note une longueur caractéristique [ νt] = L

V
∂vx
F
= η = −η
S
h
∂y

Posons ξ = √

y
νt

!

• Face inférieure : −η
• Face supérieur :

dv
∂vx
⇒ F = ρ dS dy
dt
∂t
!
"
" #
∂vx ""
∂vx ""
∂ 2 vx
et, F = η dS

= η dS dy
"
"
∂y y+ dy
∂y y
∂y 2

or, F = m

Qui admet la solution u = V 1 − erf

0.8

∂vx
η ∂ 2 vx
=
∂t
ρ ∂y 2

0.6
0.4
0.2
0

REM : viscosité cinématique de l’air supérieur à celle de l’eau
!u(0, t)! = V

" #$
ξ
2

1

η
≡ ν viscosité cinématique
ρ

Conditions aux limites u(0, 0) = 0

d2 u ξ du
+
=0
dξ 2
2 dξ

y

!
∂vx !!
∂y !y
!
∂vx !!
η
∂y !y+dy



u(x, y, t) = (ux (t), 0)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

u/V

Transport de la quantité de mouvement selon y : ρ

∂ux

=
∂t
∂y

!

η

∂ux
∂y

"

Sous-Titre

Exemples et conséquences

Convection

• aile d’avion : U!100 m/s, L!10m, Re!108
• voiture : U!30 m/s, L!4m, Re!106
• eau du robinet : U!10 cm/s, L!1cm, Re!103
• sang dans l’aorte : U!1 m/s, L!1cm, Re!104

Transport de la quantité de mouvement
Chaque élément fluide possède une impulsion ρU
Le volume de fluide qui traverse une surface unitaire par unité de temps q = U · n
Le flux de quantité de mouvement est donc j = ρ UU · n

Que faire pour nager à Re=1 ?
n

||j|| = ρU 2

Le transport diffusif ηU/L et le transport convectif ρU 2 coexistent généralement.

Re=0.16

Re=1.5

Re=26

Re=10 000

Nombre de Reynolds Re = ρU L = U L
η

ν

Chapitre 2
Cinématique

Sous-Titre

Descriptions eulérienne et lagrangienne
Introduction
Euler
Mesure locale de la vitesse u(r, t)
Ecoulement stationnaire si elle ne
dépend pas du temps

Lagrange
Suivi d’un traceur U(r0 , t0 , t)
r(t) = r0 +

t
t0

U(r0 , t0 , ) d

Sous-Titre

Dérivée particulaire accélération convective
Accélération de la particule
1.Variation de la vitesse du fluide dans
l’écoulement (instationarité)
2. Exploration d’un champ de vitesse
non uniforme (accélération convective)

v(r1 , t )

v(r1 , t )

r1

r2

v(r2 , t )

v(r1 , t)

A l’instant t, la particule est en r1 sa vitesse est v(r1 , t)
En t = t + t elle se retrouve en r2 = r1 + v(r1 , t) t + O( t2 ) avec la vitesse v(r2 , t )
1. [v(r1 , t )

v(r1 , t)]

2. [v(r2 , t )

v(r1 , t )]

⇥v
⇥v
⇥v
⇥v
t+
x+
y+
z
v=
⇥t
⇥x
⇥y
⇥z

(r2

L’accélération est donc donnée par
lim
t

0

v
t

dv
= lim
t 0
dt

dv
v
=
+ (v · ⇥)v
dt
t

⇥v ⇥v x ⇥v y
⇥v z
+
+
+
⇥t
⇥x t
⇥y t
⇥z t



Accélération convective (totale)

REM : il s’agit d’un gradient

vx
dv
= vx
dt
x

r1 ) = ( x, y, z)

Sous-Titre

Lignes de courant

tubes de courant

Les lignes de courant sont en tout point tangentes au champ de vitesse u(r, t)
r

v=0

dy
dz
dx
=
=
u
v
w

r = (x, y, z)
u = (u, v, w)

Un tube de courant est une surface composée de lignes de courant et passant
par une courbe fermée

Visualisation des écoulements

Particle Image Velocimetry (PIV)

Sous-Titre

Exemple

Laser 542 nm

Caméra rapide

Goutte d’huile
(d=2mm)

Vibreur

Vibreur

Champ de vitesse

Ralenti 100x

Sous-Titre

Conservation de la masse
Bilan de quantité de fluide entrant et sortant du volume de fluide
d
dm
=
dt
dt

d

=
S

t

+ div( v)


+ div( v) = 0
⇥t

v · n dS

d =0,

d
+ ⇤·v =0

dt

Pour un fluide incompressible, on a ⇥ · v = 0
Compressibilité :

1d
dP

Matériau

c (m/s)

eau

1480

air

342

ethanol à 15°C

1162

glycérol à 15°C

1904

mercure à 15°C

1450

Sous-Titre

Introduction
Pour écrire les équations du mouvement, il faut définir les forces et les contraintes.

Chapitre 3
Dynamique

Courte portée • forces de surface
• Proportionnelles à la surface

Longue portée • forces de volume
• Proportionnelles au volume

Nécessité de caractériser les contraintes aux interfaces

Sous-Titre

Contrainte sur une surface d’orientation quelconque

Contraintes dans un fluide
Soit un élément de surface dS. On analyse la force exercée par le fluide d’un côté de
cet élément, sur le fluide de l’autre côté du même élément.
Définition : La contrainte est la force qui s’exerce par unité de surface.

Fluide au repos
La contrainte est normale aux éléments de surface et son module ne dépend pas de
l’orientation des faces. Cette contrainte isotrope est la pression hydrostatique.

Fluide en mouvement
Il existe des contraintes tangentielles à la surface (p.ex. viscosité). Il faut donc connaître :
1. l’orientation de chaque face dS = n
ˆ dS
2. les 3 valeurs de la force selon les trois axes Ox, Oy, Oz
9 composantes, mises dans un tenseur
[σ] t.q. σij composante selon i de la contrainte sur la face de normale j

σxn dS, σyn dS, σzn dS
Regardons la contrainte totale selon Ox, sur les quatre faces

σxn dS − σxx nx dS − σxy ny dS − σxz nz dS

dSx = −x · n
ˆ dS ≡ −nx dS

= (σxn − σxx nx − σxy ny − σxz nz )dS

Newton : ρ dV

d2 x
= (σxn − σxx nx − σxy ny − σxz nz )dS + fv dV
dt2

Soit : lim ⇒ σxn = σxx nx − σxy ny − σxz nz
dV →0



 
σxn
σxx
σyn  = σyx
σzn
σzx

σxy
σyy
σzy

 
σxz
nx
σyz  ny 
σzz
nz

df
= [σ] · n
ˆ ≡ σn
dS

dfi !
=
σij nj ≡ σij nj
dS
j

Sous-Titre

Réécriture du tenseur des contraintes

!
σij = σij
− pδij

cisaillement

Equation de Navier-Stokes
Ecrivons l’équation de la dynamique, pour un élément de volume V d’un fluide visqueux
incompressible.
!" " "
# """
""
d
dt

pression

Cas d’un fluide au repos : σxx = σyy = σzz = −p

Fluide incompressible σij = −pδij + η

!

∂vi
∂vj
+
∂xj
∂xi

ρvdV

V

Descr. Lagrangienne

"

(admis)

V

ρ

dv
dV =
dt

lim ⇒ ρ

V →0

!!!

ρf dV +

V

dv
= ρf + ∇ · [σ]
dt

S

F. volumiques

d
dt
!!!

Description Lagrangienne oblige
!!!

ρf dV +

=

V

!" " "

V

ρvdV

V

∇ · [σ]dV

#

=

[σ] · ndS

F. surfaciques

"""

V

ρ

dv
dV
dt

Sous-Titre

or, dv = ∂v + (v · ∇)v

dt
∂t
∂v
⇒ρ
+ ρ(v · ∇)v = ρf + ∇ · [σ]
∂t

Si le fluide est incompressible, σij = −pδij + η

!

∂vi
∂vj
+
∂xj
∂xi

"

∂v
⇒ρ
+ ρ(v · ∇)v = ρf + η∆v − ∇p
∂t

∂v
1
+ (v · ∇)v = − ∇p + ν∆v + f
∂t
ρ
Equation de Navier-Stokes

En l’absence d’écoulement : ∇p = ρg

Conditions

aux limites

Interface solide-fluide
Composante normale : le fluide ne pénètre pas le solide

vf · n = vs · n

Composante tangentielle : Si le fluide est visqueux, il faut vf · t = vs · t

vf = vs

Interface fluide-fluide - Tension superficielle

Sous-Titre

En plus de la continuité de vitesse, il faut a continuité des contraintes.

Tension superficielle

Composante normale : Loi de Laplace σnn |1 − σnn |2 = γ
Fluide au repos

!

1
1
+
R R!

= p2 − p1

"

Mise en évidence

Composante tangentielle : Projetons la relation précédente sur la direction tangente Ox
dx(σxy |1 − σxy |2 ) = γ(x + dx) − γ(x)

∂γ
Gradient de tension superficielle
∆σxy =
∂x
!
!
∂vx
∂vx !!
∂vx !!
σxy = η
⇒ η1
=
η
Fluide Newtonien
2
∂y
∂y !1
∂y !2

Origine

Description physique

Effet de surfactants
Abaisse la tension de surface

dW = F d! = 2γ L d! = 2γ dS
tension superficielle entre le liquide et l’air

[γ] = N/m = J/m2

Fluide

Tens. Surf. (N.m-1)

air à 20°C

-

eau à 20°C

0.073

ethanol à 15°C

0.022

glycérol à 15°C

0.063

mercure à 15°C

0.487

micelles



Tension superficielle d’une interface entre A et B : γAB = γA + γB − 2 γA γB

SodiumDodecylSulfate (SDS)

Triton X100

Loi de Laplace
∆p =

Application au mûrissement d’une mousse


R

Supposons que l’on applique une différence de pression constante qui conduit à
un accroissement dR donné. Pour atteindre l’équilibre mécanique, il faut dWt = 0
dWt = dWs + dWp
= d(4πR2 γ) − ∆p dV!
"
4 3
= d(4πR2 γ) − ∆p d
πR
3

∆p =
R

temps réel=72h

Capillarité vs. Gravité

Pression capillaire : ∆pc = 2γ
R

Pression hydrostatique : ∆pg = ρgh
Bo =

(cfr. ∇p = ρg )

∆ρ ghR
∆pg
∆ρ gr2
=

∆pc

γ

Nombre de Bond

Longueur capillaire !c =

!

γ
∆ρ g

Sous-Titre

Quantité de mouvement conservation
Conservation de la quantité de mouvement

Chapitre 4
Lois de
Conservation

∂(ρv)
∂ρ
∂v
=v

∂t
∂t
∂t
∂v
!
or, ⇒ ρ
+ ρ(v · ∇)v = ρf + ∇ · [σ] avec σij = −pδij + σij
∂t
et ∂ρ + ∇(ρv) = 0
∂t

∂(ρv)
= −v∇ · (ρv) − ρ(v · ∇)v + ρf + ∇ · [σ]
∂t
"
!
∂σij
càd ∂(ρvi ) = −vi ∂ (ρvj ) − ρ vj ∂
vi + ρfi +
∂t
∂xj
∂xj
∂xj


∂(ρvi )

=−
(ρvi vj − σij ) + ρfi
∂t
∂xj



"
∂(ρvi )
∂ !
!
ρvi vj + pδij − σij
=−
+ ρfi
∂t
∂xj

Cas d’un écoulement stationnaire pour lequel les forces extérieures dérivent
d’un potentiel

Réécrivons sous forme intégrale, pour un volume fixe
!!!

V

∂(ρvi )
dV = −
∂t

!! !

V


(ρvi vj − σij ) dV +
∂xj

!!!

ρfi dV

V

!!

utilisons Ostrogradsky et le fait que le volume est fixe
!!!
!!
!!
!!!
d
ρvi dV = −
ρvi vj nj dS +
σij nj dS +
ρfi dV
dt
V
S
S
V

S

!
avec σij = −pδij + σij

!!!

V

ρv dV = −

!!

S

ρv(v · n
ˆ ) dS −

!!


n dS +
S

!!

S

[σ ! ] · n
ˆ dS +

tenseur flux de quantité de mouvement

!!!

!!

S

pδij nj dS +

!!

S

!
σij
nj dS −

!!

φni dV

S

Il s’agit de la balance entre le flux convectif de quantité de mouvement au travers
de la surface S et de l’intégrale des contraintes dues à la présence de fluide à
l’extérieur du volume V et des forces extérieures.

il vient
d
dt

ρvi vj nj dS = −

ρf dV

V

Il n’y a pas besoin de connaître le profil de vitesse et de pression au sein du volume.

!!

Application

S

Que vaut la force exercée par l’écoulement
fluide sur la conduite coudée ?

Si

[σ] · n
ˆ Si dS =

!

Si

!
(−pnSi + σij
nSi ) dS = −

!

S



ρvi vj nj dS = −

!!

S

!!

S2

pni dS − Fi


nSi dS

Selon Oy : Fy = −S2 sin(α)(p2 + ρV22 )
si la section est constante, il vient

Si

Fx = S(p1 − p2 cos(α) + ρV 2 (1 − cos(α))

Résolution
!!

S1

pni dS −

Selon Ox : Fx = p1 S1 − p2 S2 cos(α) + ρS2 V2 (V1 − V2 cos(α))

On cherche : la force exercée sur la conduite de surface intérieure Si
!

!!

n1 = (−1, 0)
n2 = (cos(α), sin(α))

On néglige : • la viscosité
• le poids du liquide
• le profil de vitesse (supp. plat)

F=

ρvi vj nj dS = −

!!

pnj dS +

S

S

ρvi vj nj dS = −

!!

!!

S

pni dS

!
σij
nj dS +

!!!

fi dV

V

avec S = S1 + S2 + Si et nˆ = −ˆnSi

Fy = −S sin(α)(p2 + ρV 2 )

Sous-Titre

Sous-Titre

Energie conservation

Loi de Bernoulli

Conservation de l’énergie cinétique

Cas d’un fluide parfait soumis à des forces extérieures dérivant d’un potentiel


∂t

!

ρv 2
2

or,⇒ ρ

"


∂t

∂vi
= ρvi
∂t

∂v
+ ρ(v · ∇)v = ρf + ∇ · [σ]
∂t

!
avec σij = −pδij + σij

!

ρv 2
2

"

# ! 2
"
$
ρv
= −∇ v
+ p − v · [σ ! ] − [σ ! ] · ∇v + v · f
2

∂t

!

ρv 2
2

"

=v·∇

!

"
ρv 2
+p+φ
2

Si on suppose le fluide incompressible, il vient
Si l’écoulement est stationnaire, il vient

∂t
d
dt

!!! "
V

!

"
2

ρv
2

ρv
2

#
2

# ! 2
"
$
ρv
= −∇ v
+ p − v · [σ ! ] − [σ ! ] · ∇v + v · f
2

dV = −

!!

S

ρv 2
v·n
ˆ dS +
2

!!!

V

v · f dV −

!!!

V

[σ ! ] · ∇v dV

ρv 2
+ p + φ = cte le long des lignes de courant
2

Sous-Titre

Ailes d’avion & co.

Théorème de Bernoulli

vue intuitive

Calcul du travail
Le travail effectué par les forces de pression
entraîne une variation d’énergies cinétique et
potentielle

Pression dans les liquides
W1 + W2 = (p1 − p2 )V
1
1
∆K = mv22 − mv12
2
2

∆U = mgh2 − mgh1
1
p + ρv 2 + ρgz = cte
2

Effet de courbure
ρ

v2
∂p
=
R
∂r

La pression augmente lorsqu’on s’éloigne du centre
de courbure des lignes de courant.

Torricelli

Chapitre 5
Equations aux
dimensions

vb =

!

v=

2g(za − zb )

!

2gh

Sous-Titre

Force de Lorentz

Théorème de Buckingham

Que vaut la vitesse angulaire typique ?

Enoncé
Si une équation physique fait intervenir m paramètres, qui
peuvent s’exprimer en termes de n variables physiques,
alors, (m-n) nombres sans dimensions peuvent être
construits pour caractériser l’équation.

Méthode
1. Liste toutes les variables physiques
2. Ecrire leurs formes dimensionnelles
3. Appliquer Buckingham
4. Ecrire les produits des variables avec des expressions arbitraires pour les exposants

Oscillateur harmonique
Que vaut la période d’oscillation ?
!
F
m

m!g

Loi de Laplace
Que vaut la pression interne de la bulle ?

Force de traînée sur un sous-marin

D, v, ρ, η, #
α
β
δ
1. ρ, " , v , η

2. D,

Instabilité d’un jet tombant du robinet
Que vaut le temps caractéristique de la cassure ?

ρα , "β , v γ

Sous-Titre

Les anti-bulles

Analyse dimensionnelle de Navier-Stokes
Ecoulement de Poiseuille
y = a/2

∆p
y = −a/2

Déterminer la vitesse moyenne et le débit
L!a

• Ecoulement causé par un gradient de pression t.q. ∂p = − ∆p
∂x
L
• Ecoulement stationnaire incompressible
• Les plaques sont horizontales

Sous-Titre

Introduction
Rapport des effets inertiels et visqueux

Re =

Chapitre 6
La vie à petits
Re

ρvd
η

On obtient un petit nombre de Reynolds dans différentes situations

• Grande viscosité :
- glaciers
- magma du manteau terrestre...
Petites
dimensions :

- milieux poreux
- suspensions
- petits objets
- MEMS

Sous-Titre

Unicité des solutions

Equation de Stokes

L’équation de Stokes admet une solution unique. En générale, NS admettent
une infinité de solutions !
Problem of the Millenium

Hypothèses
• Inertie dominée par la viscosité

Re =

ρvd
!1
η

Réversibilité
L’équation de Stokes est linéaire et donc chaque solution est réversible dans le
temps. Il y a un “transfert instantané” de la quantité de mouvement.

ρL2

• Instationarité dominée par la viscosité N = T η ! 1

Additivité des solutions
Généralisation de la réversibilité.

∇p = η∆v
Equation de Stokes

Généralisation - Force sur un objet

Sous-Titre

Force sur un objet

à petit Re

Si Re =

!x y z
"
ρvL
, , , Re
= cte la vitesse peut s’écrire v(x, y, z, t) = V F
L L L
η

Or, en régime de Stokes, tout multiple de la solution est solution. Et la solution
est unique. On peut donc dire que

Introduction
Traînée sur la sphère et vitesse de chute ?

F=F

T

T = ηV r

P = mg = ∆ρ V g
4
P = πr3 ∆ρ g ∝ r3 ∆ρ g
3

Vsed =

∆ρ gr
η

!x y z "
, ,
L L L

Pour les contraintes de viscosité, le même raisonnement tient, et
2

P

η

V !x y z "
∂vi
∼η F
, ,
∂xj
L
L L L

les forces de contraintes totales sont obtenues par intégration les contraintes
sur toute la surface des parois.

Un calcul exact donne

T = 6πηrv

Vsed =

2 ∆ρ gr2
9 η

ftotale ∼ η

V
AL2 ∼ A(ηV L)
L

A = cte

Pour les pressions, on a aussi ∇p = η∆v ⇒ p ∼ η

V
à intégrer ptotale ∼ A(ηV L)
L

F = CηV L ∝ V

Que l’on normalise généralement par la pression dynamique
Ainsi, on définit un coefficient de frottement Cd =

⇒ Cd =

1 2
1
ρV S ∼ ρV 2 L2
2
2

!F!

1
2
2 ρV S

ρV L
1
=
η
Re

Proportionnalité entre force sur les parois solides
et vitesse caractéristique du fluide.

Sous-Titre

Forces sur un bâtonnet

Fn =
Ft =

2πηLVt
ln(L/a) − 0.5

Lubrification approximation de...

T

4πηLVn
ln(L/a) + 0.5

Ft

Fn

Ecoulements visqueux entre deux parois très proches en mouvements relatifs. Les
échelles caractéristiques de variation des paramètres de l’écoulement parallèles
aux parois sont plus grandes que l’écart caractéristique entre les plaques.

Fn ∼ 2Ft

Vn
P

Vt

y
ˆ

L!e
e

V

x
ˆ

V

de
!1
dx

L

Force normale beaucoup plus grande que force tangentielle.

Loi de Darcy

Sous-Titre

Milieux poreux

Loi de Darcy

A faible Re, on considère un élément de volume plus grand que la taille
caractéristique des pores.

Définition

V ∼

Un poreux est un matériau massif à l’intérieur duquel se trouvent des cavités (pores)
reliées entre elles ou non.

Porosité

φ=

∆p e2
ηL

κ
V = − ∇p
η

Vpores
=1−C
Vtotal

k = perméabilité
1Darcy = 1µm2

Milieu

Perm. (cm2)

sable

2 10-7

grès

5 10-12

sols

3 10-9

cigarette

10-5

Cas d’une digue de terre

Cas des mousses en microgravité

κ
V = − ∇p
η

Mousse sèche
Au-travers de la digue, on a ∇p ∼

ρgh0
"

κ
κρgh0
V = − ∇p ∼
η
η$

Le débit est donnée par

Rigoureusement, on a Q =

Mousse humide
Q ∼ uh0 ∼
κρgh20
2η$

κρgh20
η$

Forces responsables :

Gravité - capillarité - dissipation visqueuse

A1 =

A2 =

π 2
R
6



3R2


π
ABP = C 2 R2 = ( 3 − )R2
2

“Forces” en présence

Gravité ρg
∂pe
∂x
u
Dissipation η
A

Capillarité

pe = p i −


γ
= pi − √
R
A

∂pe ηu
+
∂x
A
"
!
ηu


pi − √
+
ρg =
∂x
A
A

Cas des mousses en microgravité

ρg =

∂α ∂α

∂τ
∂ξ

!

Cγ −1/2 ∂A
ρgA −
A
2
∂x

α ∂α
2 ∂ξ

"

=0

∂α ∂ 2 α
− 2 =0
∂τ
∂ξ

on suppose que la pression ne change pas dans la bulle le long du BP

1
u=
η

!√

"

2.5
2
Front position [cm]

il y a conservation de la matière au cours du transport

∂A ∂Au
+
=0
∂t
∂x

1
0.5
0

∂A 1 ∂
+
∂t
η ∂x

!

ρgA2 −

Cγ √ ∂A
A
2
∂x

D=

1.5

"

0

1

2

3

4

5

Time [s]

=0

h=



Dt

D = 1.19 ± 0.07cm2 s−1

γ
κCL ≈ 1.2L


Sous-Titre

Introduction
Notion de couche limite

Chapitre 7
Couches limites
et grands Re

Re ! 1 ⇒ comportement type fluide parfait.

La zone de raccord se
nomme couche limite

Mais, expérimentalement, on a vf = vs

Description et origine
Effets combinés sur le transport de la quantité de mouvement, de la viscosité et de la
convection par l’écoulement moyen.
δ∼

Cfr. plaque infinie :
y + dy

dS

y
x

y + dy

v



νt

Mettons une plaque dans un écoulement uniforme
t∼

V

y + dy

dS

y

Exemples
x0
V

δ(x0 ) ∼

y + dy



νt =

v

x

δ(x0 ) =

x0
!

!

!

νx0
V

νx0
V

Epaisseur de la couche limite

Remise à l’échelle de l’objet, la couche limite s’étend sur

δ(x0 )
1
=!
x0
Re(x0 )

V


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