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Nom original: serie2013N°10intégrale sc.pdfTitre: Exercice N°1 :Auteur: Lassad

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L.Ghadhab

Intégrales

Série :

4ème année section sciences
*Exercice N°1 :
Calculer les intégrales ci-dessous :
3
3
1
* 1  3 x 2  2 x dx .
* 1 6 x  3 x 2  x  5 dx
2




2

* 1

2

4 x  1

2

dx



*

3

x 3  1dx

1

3

x

* 0

0 t  1dt

*

2 2

0 x

2x 4  1

2
* 1 dx5 .
2

* 1

dx

x
5x  5
x2  2x

dx

*Exercice N°2 :
1

On considère les intégrales A  

0

x

1  x 
2

x3

1

dx et B  
3

0

1  x 

2 3

.

1) Calculer A .
2) Calculer A  B .
3) En déduire la valeur de B .
Exercice N°3 :
Soit f une fonction définie et dérivable sur  0 ; 1  telle que : f  0   0 et f '  x  

1
1  x2

pour tout x de  0 ; 1  .

(On ne cherchera pas à déterminer f.)
1) Déterminer le sens de variation de f sur  0 ; 1  .

2) Soit g la fonction définie sur  0 ;  par g  x   f  tan x  .


4


a- Justifier que g est dérivable sur  0 ;  , puis que, pour tout x de  0 ;  ,
4
4





b- Montrer que, pour tout x de  0 ;  , g  x   x , en déduire que f  1   .
4
4


3) a- Montrer que, pour tout x de  0 ; 1  , 0  f  x  


4

g'  x   1 .

.

x2

x2
1
 1
dx  1 
b- Vérifier que
, En déduire que 
2
2
2
1 x
4
1 x
1 x
0
1

4) Soit

 In 

la suite définie par In 



1
0

x n f  x  dx pour tout entier naturel n non nul.

a- Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, I1 


4

b- Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, 0  I n 
c- En déduire la limite de la suite



1
.
2



4 n 1 

.

 In  .

1
Chapitre : intégrales

L.Ghadhab
Exercice N°4 :
Dans la figure ci-contre est représenté dans un
repère orthonormé les courbes C f et C g de
deux fonctions f et g définie et dérivable sur IR.
 f est la primitive de g telle que f 0  1 .
 C f et C g ont une tangente commune au point

Cf

B

d’abscisse 0 parallèle à la droite D : y  x
 C f admet pour asymptotes les droites
d’équations y  2 x et y  0
 C g admet pour asymptote les droites d’équations

Cg



y  2 et y  0 .

1) Par lecture graphique , déterminer :
a- f ' 0 et lim  f x   2 x 
x

b- le tableau de variation de g .
2) la fonction g étant définie par g  x   1 

x
x2  1

pour tout x dans IR

a- Déterminer une primitive de g sur IR. En déduire que f  x   x  x 2  1 pour tout x dans IR.
b- Calculer en fonction de  l’aire A de la région grisée.

x
 x dx
c- Donner une interprétation graphique de I   1 
0
x2  1
3) a- Montrer que g est une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.
'
b- Calculer g 1 1 puis Construire la courbe C g 1 représentative de g 1 dans le même repère

 

c- Calculer en fonction de  , l’aire de la région limité par C g , C g 1 , les droites d’équations x  0 ,
x   et l’axe des abscisses.

Exercice N°5 :

2
Chapitre : intégrales

L.Ghadhab

Exercice N°6 :
1) Calculer





4
0

dx
.
Cos 2 x

Sin x
 
2) Soit la fonction f définie sur 0,  par f x  
.
Cos3 x
 4
3
2
 

Montrer que pour tout x  0,  , f '  x  
.
4
Cos x Cos 2 x
 4


3) Calculer l’intégrale  4
0

dx
.
Cos 4 x

*Exercice N°7 :

1
 
On considère la fonction f définie sur  0,  par f  x  
.
Sin2 x
 2
1 Tan 2 x
 
1) Montrer que f x  
, x   0,  .
2
Tan x
 2
 
2) Montrer que f réalise une bijection de  0,  sur un intervalle I que l’on précisera.
 2
'
1
3) Montrer que la réciproque f 1 de f est dérivable sur I et que  f 1   x   
, pour tout x de I .
2 x3  x2
2
dt
4) Calculer l’intégrale 4
.
3
2
3 2 t t

*Exercice N°8 :
Soit la suite u n  définie par un  

xn

1

0

1) Montrer que 0 

x

xn



2

x

2



1

2

dx, n  1 .

 x n , pour tout entier n  1 et tout 0  x  1 .

1
2) En déduire que la suite u n  converge et déterminer sa limite.
2

*Exercice N°9 :
On pose pour tout

1

n entier naturel non nul, J n  0 x n 1  x dx .

1) A l’aide d’un encadrement de 1  x ,établir que

1
2
 Jn 
.
n 1
n 1

En déduire la limite de la suite J n .
2) a- Montrer que pour tout

x de 0,1, 0  2  1  x  1  x  .
1
2

2
1
2
 2  Jn 
.
n  1 2n
n 1
c-Déterminer la limite de la suite nJ n  .

b- En déduire que

3
Chapitre : intégrales

L.Ghadhab
*Exercice N°10 :


Soit la suite u n  définie par un   4 x nCos2 x dx, n  0 .
0

1) Montrer que la suite u n  est décroissante.


2) Comparer u n et  4 x n dx, n  1.
0

3) En déduire que u n  est convergente et déterminer sa limite.
4) a- Calculer u0 et u1 .
b- Exprimer un2 en fonction de u n .
c- Calculer u2 et u3 .
*Exercice N°11 :

On pose pour tout entier naturel n, I n   4 Tan n2 xdx .
0

1) a- Calculer I 0 .
b-Vérifier que pour tout n,0  I n1  I n .

a- En déduire que la suite I n  est convergente.
1
.
n3
b- En déduire lim I n . Calculer I 2 et I 4 .

2) a- Montrer que pour tout n, I n  I n2 
n

Exercice N°12 :

t 2n
dt
0 1 t2
1
1) Montrer que pour tout n  ℕ, 0  u n 
. En déduire lim un .
n
2n  1
Tan x
1
  
dt .
2) On considère la fonction F définie sur   ;  par F  x   
0
1 t2
 2 2

On définie la suite u n nIN par : u n  

1

  
  
a – Montrer que F est dérivable sur   ;  et puis donner F ' x  pour tout x    ; 
 2 2
 2 2
b – En déduire que F x   x .
c – Calculer la valeur de u0  

1
0

1
dt .
1 t2

3) Montrer que pour tout n  ℕ, u n1  u n 

1
. En déduire u2 .
2n  1

Exercice N°13 :
Soit f la fonction définie sur I  0,1 par f x  

x
.
1 x
1) a- Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter.
b-Montrer que f est dérivable sur 0,1 et calculer f ' x .

c-Etudier les variations de f et tracer  f dans un repère orthonormé (unité 4cm).
4
Chapitre : intégrales

L.Ghadhab
2) a- Montrer que f admet une fonction réciproque f 1 et construire  f 1 .
b- Déterminer f 1 x  , x  f I   J .
3) Soit A la mesure de l’aire du domaine D limité par  f et les droites d’équations x  0 et y  1 .
1

Montrer que A  

x2

01

x

2

dx  16cm 2 .
 x
tan  1
2
dt
0
1 t 2

4) Soit F la fonction définie sur   ,   par F x   

.

a- Montrer que F est dérivable sur   ,   et calculer F' x .
b- Déduire que x    ,   , F  x  

x
et calculer
2

1

1

0 1  t 2 dt .

c- Déduire la valeur de A .
Exercice N°14 :
 
Soit f la fonction définie par f x   tan 2 x , x  0,  .
 2
1) a- Etudier les variations de f .
 
b-Montrer que f réalise une bijection de 0,  sur I que l’on précisera et tracer  f et  f 1 dans un
 2
repère orthonormé.


2) Soit I   4 f  x dx . Interpréter graphiquement I . Calculer I puis en déduire J   f 1 x dx .
1

0

0

 
révolution obtenu par rotation de D autour de O, i  .

3) Soit A l’aire du domaine D limité par  , O, i et les droites d’équations x  0 , x 




0

0

Montrer que  4 f 2 x dx   4 f x dx 


4

et S le solide de

1
et en déduire le volume de S .
3

Exercice N°15 :
x2

Soit la fonction f définie sur  2,2 par f  x  
1) a- Etudier et tracer 

f

4 x

2

.

dans un repère orthonormé.

 

b-Soit A l’aire du domaine limité par  , O, i et les droites d’équations x  1et x  1 .
Montrer que A  2  f  x dx .
1

0

2) Soit la fonction F définie sur  2,2 par F x    f t dt .Montrer que F est impaire.
x

0

3) On pose G x   

 

f t dt ; x  0,  .
 2
 
a- Montrer que G est dérivable sur 0,  et calculer G' x .
 2
 
b- Montrer que x  0,  , Gx   2 x  Sin2 x . Déduire la valeur de A .
 2
2 Sin x

0

5
Chapitre : intégrales


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