Conduteurs en équilibre Exo Corrigés Fr .pdf



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112

Conducteurs en équilibre

Corrigés des exercices 2.1 à 2.26 :

26.2

1.2

Exercice 2.1 :
1/ A l’état d’équilibre, les charges se répartissent sur la surface du conducteur c'est-à-dire
sur la surface de la sphère. A l’intérieur du conducteur la charge totale est nulle.
2/ Déduction de l’expression de la densité surfacique de la charge :
Q
=
Q
=
C / m2
S
2
R
4
S = 4 R2
3/ Dans un conducteur en équilibre, le champ électrostatique est nul.
4/ D’après le théorème de Coulomb on a :
1 Q
E=
E=
(V / m )
4 0 R2
0

(

)

5/ Pour appliquer le théorème de Gauss, considérons une surface sphérique fermée de
rayon
. Le flux du champ électrostatique à travers cette surface est :
= ES = E.4 r 2 . Donc, l’intensité du champ électrostatique produit à la
distance r ( r R ) du centre du conducteur est :
E4 r2 =

Q
0

E=

1
4

0

Q
(V / m )
r2

Exercice 2.2 :
1/ On applique le théorème de Gauss : La charge intérieure est égale à la somme des
charges à l’intérieur de la surface de Gauss qui est une sphère de rayon RG un peu plus
grand que le rayon de la sphère conductrice :
Qint = 80 20 Qint = 60.10 6 C
E=

Qint
Qint
=
4 RG2 .
0 SG

E = 84,3.106Vm

0
1

2/ La surface de Gauss, dans ce cas, entoure uniquement la cavité. La charge intérieure est
celle que porte la cavité, soit 20 µ C . D’où le champ près de la surface de la cavité :
E'=

Q 'int
Q 'int
=
'
4 rG2 .
0 SG

E ' = 2,81.106 Vm

0
1

3/ La charge sur la surface interne de la cavité est égale à la charge ponctuelle mais de
signe opposé, et ce en raison de l’influence totale que produit la charge ponctuelle :
q + Qi = 0
Qi = 20 µ C
4/ La charge à la surface externe plus (+) la charge sur la surface interne de la cavité est
égale( = ) à la charge que porte la sphère. La charge que porte la surface externe de la
sphère est donc :
Qe + Qi = 80 µ C , Qe + 20 = 80
Qe = 60 µ C

A.FIZAZI

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113

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.3 :
1/ On applique le théorème de Gauss. On choisit comme surface de Gauss un cylindre de
rayon un peu plus grand que le rayon du cylindre conducteur, telle que toute la charge
que porte le cylindre soit à l’intérieur de la surface Gauss.
Q
Qint
E = int =
4 RG2 . 0 .
0 SG
E = 5, 4.106Vm

1

2/ La densité linéaire est égale à la somme des deux densités, celle du cylindre et celle de
la tige :
= 9+5 ,

= 14 µ Cm

1

3/ On applique le théorème de Gauss. On choisit comme surface de Gauss un cylindre de
rayon un peu plus grand que le rayon du cylindre conducteur, telle que toute la charge
que porte le cylindre et la tige ensemble, soit à l’intérieur de la surface Gauss :
Q
l
E = int =
E=
, E = 8, 4.106Vm 1
2 rl 0
2 r 0
0S
4/ On applique le théorème de Gauss. On choisit comme surface de Gauss un cylindre de
rayon R = 2cm , telle que toute la charge que porte la tige soit à l’intérieur de la
surface Gauss :
Q
Tl
E = int =
E=
, E = 4,5.106Vm 1
2 Rl 0
2 R 0
0S
Exercice 2.4 :
1/ On sait que pour charger un conducteur, il faut fournir un travail. Pour ajouter une
charge élémentaire dq (en supposant qu’on la ramène de l’infini où V = 0 ) à un
conducteur, il faut fournir un travail élémentaire : dWe = dq (V

V ) . L’énergie

potentielle élémentaire est donc dE p = dWe
dE p = dq.V . Pour obtenir l’énergie
totale il faut intégrer :
q
q
q
1 q2
E p = Vdq = dq E p =
C
2C
0
0
1
E p = CV 2
2
Le potentiel à la surface de la sphère est :
1 q
V=
4 0 R
V=

(1)

q = CV

q = .4 R

R

( 2)

0

2

En remplaçant le potentiel par sa valeur ( 2 ) dans l’équation (1) , on obtient :
C=4
V2 =

0
2
2
0

R
R2

Ep =

1
4
2

2
0R

2
0

R 2 , E p = 4 R3 pe

2/ Au cours de l’opération de décharge, l’énergie qui était sur la surface de la sphère se
transforme en énergie calorifique par effet joule dans le fil joignant la sphère à la terre.
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114

Conducteurs en équilibre

3/ L’énergie fournie par la source de tension à la sphère est E p = qV = CV 2 , c’est le
double de l’énergie emmagasinée dans la sphère conductrice à la fin. L’autre moitié s’est
transformée en énergie calorifique au cours du transfert des charges à travers le fil métallique.
Exercice 2.5 :
1/ Les deux sphères sont au même potentiel, V1 = V2 :
1 Q1
1 Q2
Q1 Q2
=
=
4 0 R1 4 0 R2
R1 R2

(1)

D’après le principe de la conservation de la charge, on a : Q = Q1 + Q2

Des équations (1) et ( 2 ) on peut en déduire la charge de chaque sphère :
Q2 =

R1
R2

Q1 R2 = Q2 R1

Q1 = Q2

Q = Q1 + Q2

Q1 = Q Q2

Q

Q2 =

R1
+1
R2

Q1 = Q2

R1
R2

Q1 =

( 2)

3
10 9 C
13

10 9
10 C
13

2/ L’énergie de la sphère avant la connexion (La capacité C d’un conducteur sphérique
étant C = 4 0 R1 ) :
W=

Q2
2C

W=

Q2
8

0

W = 4,5.10 9 J

R1

3/ L’énergie du système après la connexion des deux sphères entre elles :
W = W1 + W2
1 Q12 Q22
+
W=
W = 4, 46.10 9 C
Q12
Q22
W=
+
8 0 R1 R2
8 0 R1 8 0 R2
On remarque une perte d’énergie, bien qu’elle soit négligeable. Puisque l’effet du fil
n’est pas pris en considération, on peut expliquer la perte d’énergie comme étant une
transformation en radiation électromagnétique à l’instant de la connexion des deux sphères.
4/ De l’équation (1) , on déduit :
Q1 Q2
=
R1 R2

1

4 R12
=
R1

2

4 R22
R2

1

=

2

R2
R1

5/ En appliquant le théorème de Gauss, on peut calculer le champ électrique à la surface
de la sphère :
Q
S
ES = int =
E=
0

E1, surface =

0

0

1
0

E2, surface =
1
2

A.FIZAZI

=

2

E1, surface

0

E2, surface

=

1
2

=

R2
R1

R2
R1

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115

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.6 :
1/ La sphère S1 acquiert la charge +Q1 lorsqu’elle est portée au potentiel V1 . La cavité
S2 est influencée totalement par la charge de la sphère S1 , ce qui entraîne l’apparition
de la charge Q1 à sa surface interne, et la charge +Q1 sur sa surface externe, telle que
sa charge totale reste nulle du fait qu’elle est isolée et en équilibre (figure-a). C’est
pour cette raison que le champ à l’intérieur de la cavité R1 r R2 est égal, d’après le
théorème de Gauss, à :
Q
E ( r ) .S = 1
Q1
E (r ) =
0
4 0r 2
S = 4 r2

, sachant que V = 0 :

2/ Calculons la circulation du champ de R1 à
V1 V = Edr

Q1
4 0

V1 =

R1

dr
r2
R1

V1 =

Q1 1
4 0 R1

Donc, la valeur de la charge que porte la sphère S1 est :
Q1 = 4

'''' 1111

Q
+

+

R1V1 , Q1 = 1,1µ C
Q
-

+

1111

+

+

Q
-

+

0

+ + +
+ R1
+
+
+
+
+ + +
R2

1111

+ + +
+
+ R1
+
+
+
+
+
+
+
+ + +
+
+
R2
+
+
+
+
(a)

'''' 1111

Q
+

1111

Q
+

V1

V1

(b )

2/ La mise à la terre de la sphère creuse se traduit par la décharge de sa surface externe,
pendant que sa surface interne porte la charge Q1' , le potentiel de cette cavité est nul. Figureb.
En suivant le même raisonnement que précédemment, on obtient :

V1 V2 =

R2

V1 =

Edr
R1

Q1'
4 0

R2

R1

dr
r2

V1 =

Q1'
1
4 0 R1

1
R2

On en déduit la charge de la surface interne de la cavité creuse, qui est égale mais de signe
contraire à celle de la sphère S1 , en raison de l’influence totale :
Q1' = 4

V

0 1

Q1 = 4

0

R2 = 2 R1

R1 R2
R2 R1

Q1' =

R1V1

R2
R2

R1

Q1

Q1' = 2Q1 , Q1' = 2, 2µ C

Conclusion : La charge de la sphère S1 varie aussitôt que la cavité S2 est reliée à la terre.

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Conducteurs en équilibre

Exercice 2.7 :
La répartition de la charge consiste en une charge + q que l’on
peut considérer comme ponctuelle, son niveau de potentiel étant
nul (V = 0 ) .

Avant de placer la charge + q au voisinage du plateau, le
xe
+ xe
plateau n’était pas chargé. Lorsqu’on approche la charge + q de ce
+q
q
plateau, et par effet de l’électrisation par influence, le plateau se
charge négativement, tel que son potentiel reste nul. Il résulte de
ceci l’attraction de la charge par le plateau.
La charge + q et le plateau créent dans l’espace une répartition
V =0
de potentiel caractérisée par son niveau de potentiel nul (Surface
équipotentielle) en x = 0 .
Si on remplace le plateau par une charge q ponctuelle située à la distance xe , on aurait
la même répartition de potentiel (le plan médiateur à un potentiel nul V = 0 ). On appelle cette
charge ( q ) l’image électrique de la charge + q par rapport au plan. L’attraction entre la
charge + q et le plateau de potentiel nul (V = 0 ) est la même attraction produite entre la
charge + q et la charge q .
La force appliquée sur la sphère, d’après la loi de Coulomb, est donc :
F=

1
4

0

q2
4 xe2

Exercice 2.8 :
1/ Quelque soit le point M appartenant au plan conducteur, la différence de potentiel
créée par les deux charges est nulle :
M , V (M ) =

q
4

0

1
r1

1
r2

V (M ) = 0

r1 = r2 = r

Le champ a une seule composante Ex située sur l’axe des X , et par conséquent, le champ
résultant des deux charges au point M est perpendiculaire au plan conducteur vertical comme
il est démontré dans le raisonnement suivant :
On note par E+ et E les deux champs résultant respectivement des deux charges + q
et q . D’après la figure ci-dessous on a :

E+ x = E

E ( M ) = E+ + E

Y
E+ y

E+
x

E+ = E+ x + E+ y
E =E x +E

M

E

E

E

q

E+ = E =
y

E+ x = E
O

a

+q

X

4

0

1
r2
E ( M ) = 2 E+ x

x

E+ y = E

y

q

y

E ( M ) = E x = 2 E+ cos .u x

E (M ) =

2/ Pour calculer la densité de charge, on utilise le théorème de Gauss :
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q
2

0

1
cos
r2

117

Conducteurs en équilibre

= ES =

Qint
=E

0

0

Qint = S
q

E=

2

0

1
cos
r2

=

1 qa
2 r3

a
r
3/ Pour vérifier la charge du plan, on calcule le flux que produit la charge ponctuelle + q à
travers la surface du plan conducteur :
On sait que le flux élémentaire est d = EdS :
q cos
d = 2 E+ cos .dS
d =
dS
2 0 r2
q
cos
On reconnaît l’angle solide élémentaire d : d = 2 dS
d =
d
2 0
r
De la charge + q on voit le demi espace correspondant à l’angle solide = 2 , d’où :
q
=
cos =

0

=

D’après le théorème de Gauss

Qint

.

0

A la fin, on vérifie que la charge que porte le plan est :

=

Qint

=

0

q

Qint = q . Ce

0

résultat prouve qu’il existe une influence totale entre la charge + q et le plan conducteur à
condition qu’il soit infini : q = q .
Exercice 2.9 :
Pour calculer le flux, on utilise la formule vue en cours dans l’étude de la forme
différentielle du théorème de Gauss :
Ey
Ex
dq
E
d E=
+
+ z dv =
x
y
z
0
Q
Pour calculer la charge interne, on fait appel au théorème de Gauss :
= int
0

Quant au calcul de la densité de la charge , on utilise le théorème de Gauss sous sa
forme différentielle :
Ey
Ex
E
+
+ z =
x
y
z
0
Premier cas : E = Cxu x
Le champ électrique a une seule composante Ex . Le flux est donc :

d

E

=

Ey
Ex
E
dq
+
+ z dv =
x
y
z
0
0

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118

Conducteurs en équilibre

dE x
=C
dx
dv = dxdydz
d E = Cdv

E

= Cv ,

= Ca3

E

La charge interne est :
=

q
q=

0

q=

(

Deuxième cas : E = C yu x + xu y

3

0

La densité de charge est :
Ey
Ex
E
+
+ z =
x
y
z
0

0Ca

=
0

0

dE x
dx

=

0C

)

Le champ a deux composantes Ex et E y . Le flux est donc :

d

E

Ey
Ex
E
+
+ z dv = 0
x
y
z

=

0

=0

0

0

La charge interne est : q =

E

=0

q=0

La densité de charge est :
Ey
Ex
E
+
+ z =
x
y
z

=0
0

0

Exercice 2.10 :
Le conducteur S1 porte sa charge propre q11 = C11V1 , en plus de la charge q12 = C12V2 qui
résulte de l’influence du conducteur S2 . Il en est de même pour le conducteur S2 :

(1)
( 2)

q1 = C11V1 + C12V2

q2 = C21V12 + C22V
Puisque la distance qui les sépare est très grande par rapport à leurs rayons, le potentiel de
chaque sphère est équivalent au potentiel d’une charge ponctuelle, il est égal donc à la somme
de leurs potentiels inductifs, soit :
1 q1
1 q2
V1
+
( 3)
4 0 R1 4 0 d

V2

1
4

0

q2
1
+
R2 4

On met le conducteur S1 au potentiel (V1

(V2 = 0 ) , on obtient par ordre :

q2' = C21V1

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( 4)

0 ) , et, on relie le conducteur S2 à la terre

q1' = C11V1

118 A.FIZAZI

0

q1
d

( 5)
( 6)

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119

Conducteurs en équilibre

0=

1
4

0

On en déduit de l’équation ( 7 ) que :

1
q1'
+
d 4

q2'
R2

0

(7)

d '
q2
R2

(8)

R2 '
q1
d
En remplaçant le résultat ( 8 ) dans ( 3) , avec ( d

(9)

q1' =
q2' =

1

V1

4

0

R1

R1 , R2 ) , on trouve :

d '
1
q2 +
q2'
R2
4 0d
1

V1

4

0

1

V1

d
R1R2

4

0

R1 R2 d 2
dR1 R2

(10 )

Par identification des deux équations ( 9 ) et ( 6 ) , on trouve le coefficient d’influence :
1

C21 =

4

0

R1 R2
d

En remplaçant le résultat ( 9 ) dans ( 3) , avec ( d
V1

1
4

0

R1

q1' +

1
4

0

R2 '
q1
d

d
1

V1

R1 , R2 ) , on trouve :

4

0

1

V1

1 '
q1
R1

4

0

R1 R2 d 2 '
q1
d 2 R1

(11)

Par identification des deux équations (11) et ( 5 ) , on trouve la capacité d’influence :
C11 = 4

0

R1

On porte, à présent le conducteur S2 au potentiel (V2

0 ) , et on relie le conducteur S1 à

la terre (V1 = 0 ) . En suivant le mêmes raisonnement que précédemment, on arrive à :
C22 = 4

0

R2

, C12 =

1
4

0

R1 R2
= C21
d

Discussion :
a/ Si les deux conducteurs étaient infiniment éloignés l’un de l’autre, on aurait :
C12 = C21 = 0 , ce qui prouve qu’il n’y a pas d’influence mutuelle, autrement dit, chaque
conducteur est isolé, donc : C1 = C11 et C2 = C22 .
b/ Si les conducteurs étaient semblables et distants de d = R1 = R2 , on aurait :
C11 = C22 = C12 = C21 = 4 0 d
La solution serait plus rapide, si on utilise les matrices :
On écrit les équations (1) et ( 2 ) sous la forme :

q1
q2

=

C11 C12

V1

C21 C22

V2

On peut aussi écrire les équations ( 3) et ( 4 ) sous la forme :

119 A.FIZAZI
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120

Conducteurs en équilibre

V1

=

V2

R1 1 d -1

1

q1

d -1 R2 1 q2
On remarque que la première matrice, qui représente la matrice des coefficients et des
capacités d’influence, est équivalente à l’inverse de la matrice centrale dans la deuxième
matrice, et en tenant compte des caractéristiques des matrices, on a :

C11 C12
C21 C22
C11 C12
C21 C22

=4
=4

4

R1 1 d -1
0

0

0

1

d -1 R2 1
R1 R2

R2 1 -d -1
-d -1 R1 1

!C =4 R
0 1
! 11
!
" C22 = 4 0 R2
!
!
! C12 = C21 = 4
#

0

R1 R2
d

Exercice 2.11 :
1/ Après la liaison des deux condensateurs, la charge Q , que portait le premier
condensateur, se répartit sur les deux condensateurs, tel que chaque condensateur porte la
Q
charge .
2
Q
Q
La tension entre les deux bords du système est :
U'=
U ' = 10V
= CU '
2
2C
2/ Inventaire des énergies :
1
Avant la liaison : W = CU 2 W = 20 µ J
2
1
1
Après la liaison : W ' = CU '2 + CU '2
2
2

U C

+Q
Q

C

W ' = 10µ J

U' C

+Q / 2
Q/2

+Q / 2
Q/2

C

Commentaire : La différence entre les deux résultats est la perte de 10 µ J !! Cette perte
d’énergie n’a pas disparue !!!
Interprétation : Lors de la liaison des deux condensateurs, le courant de décharge produit
un champ magnétique : les 10 µ J se sont transformés en radiation électromagnétique (C’est
comme l’effet qui se produit au niveau des antennes d’émission des ondes radio).
Pour se convaincre, on place un poste radio à proximité du circuit : on entend un
crépitement caractéristique qui résulte de la réception d’ondes électromagnétiques émises au
moment de la fermeture du circuit. Pour la même raison, on peut entendre à la radio ces
crépitements lors de l’éclatement d’un tonnerre.
Exercice 2.12 :
1/ L’énergie emmagasinée :
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Conducteurs en équilibre

1
CU 2 , WE = 9,5.10 4 J
2
2/ a) La relation entre les charges : La conservation de l’énergie nous impose :
WE =

(1)

QA = QA' + QE'
b) Il y a une autre relation entre les charges :

QA' C2
=
QE'
C1

U = QA' .C1 = QE' .C2

( 2)

c) Des équations (1) et ( 2 ) , on obtient les valeurs de QA' et QE' :
QA' = 4, 7.10 5 C , QE' = 3, 2.10 5 C

3/ L’énergie emmagasinée dans les deux condensateurs :
On remarque que l’énergie n’est pas conservée. La différence est perdue sous forme
d’énergie calorifique par effet joule dans le fil de jonction au moment de la liaison des deux
condensateurs :
%WE = WE WE' , %WE = 3,8.10 4 J
Exercice 2.13 :
1/ En règle générale, on dit que deux conducteurs sont en influence totale si toutes les
lignes de champ partant de la surface de l’un d’eux arrivent à la surface de l’autre. C’est ce
qui arrive lorsque l’un des conducteurs entoure complètement l’autre. Dans notre cas, on ne
peut rien dire quant aux lignes de champ qui quittent les surfaces externes des armatures.
Cependant, si on reste assez éloigné des bords de chaque armature, toutes les lignes de
champs issues de la surface interne de l’une des armatures, arrivent à l’autre armature. En ce
sens, on peut dire qu’il y a influence totale.
Dans un conducteur en équilibre, la densité de charge est nulle, et par conséquent la
charge est répartie sur la surface.
A cause de l’influence totale, la charge que porte la surface interne est égale et de signe
opposé à la charge que porte la surface interne de l’armature d’en face. A cause de la symétrie
du problème, les densités de charge sont uniformes, et le plan y = d porte une densité
.
constante égale à
2/ Le théorème de Coulomb énonce que le champ électrique au voisinage du conducteur

est perpendiculaire à sa surface et égal à E =

, où

est la densité de charge surfacique du

0

conducteur. On a pour chaque armature E =

uy .
0

3/ Le champ électrique est unidimensionnel, c'est-à-dire qu’il a une seule composante
suivant l’axe des y et son intensité constante, donc il est uniforme. On sait que E = gradV .
Donc :
dV
E=
uy
dy

V (d )

&

d

dV =

V ( 0)

& Edy
0

V ( d ) V ( 0 ) = Ed
V ( 0 ) V ( d ) = Ed

V ( 0) V ( d ) =

d
0

121 A.FIZAZI
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122

Conducteurs en équilibre

Il reste à déterminer la valeur de la capacité du condensateur :
Q
Q = C V (0) V ( d )
C=
V ( 0) V ( d )
C=

0

Q= S

S
d

Exercice 2.14 :
On peut simplifier le montage comme indiqué sur la figure suivante :
U

U

U

C2

C12

C1

C1

Q1

Céq

Q12

Qéq

C3

Les condensateurs C2 et C3 sont montés en parallèle, soit C12 leur capacité équivalente :
C12 = C1 + C2 C12 = 15µ F
Les condensateurs C12 et C1 sont montés en série, soit Céq leur capacité équivalente :

1
1
1
C + C1
=
+
Céq = 12
Céq = 10µ F
Céq C12 C1
C12C1
La charge totale du système est :
Qéq = CéqU
Qéq = 30 µ C
La charge du condensateur C1 est :
Q1 = 30 µ C

Q1 = Q12 = Qéq

La tension entre les armatures du condensateur équivalent C12 est : U12 =
La charge du condensateur de capacité C2 est : Q2 = C2U12

Q12
C12

U12 = 2V

Q2 = 20 µ C
Q3 = 10 µ C

La charge du condensateur de capacité C3 est: Q3 = C3U12

Exercice 2.15 :
1/ On applique le théorème de Gauss à une surface sphérique fermée de rayon compris
entre Re et Ri . A l’intérieur de cette surface, le champ est nul en raison de l’équilibre du
conducteur. La charge que porte la paroi intérieure de la couronne est donc :
E=0
= ES =

Qint

=0

0

Qi = Q

Qint = Q + Qi

2/Là aussi, on applique le théorème de Gauss. La surface de Gauss est une sphère de
rayon Ri r R :
= E 'S =

Qint
0

Qint = Q
122 A.FIZAZI
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E' =

Q
4

1
0

Université de BECHAR

r2

123

Conducteurs en équilibre

( ) de l’isolant est égale au produit de
( 0 ) par la permittivité relative ( r ) de l’isolant = 0 . r . Sachant

3/ Dans ce cas, on sait que la permittivité absolue
la permittivité du vide

que
0 , et puisque le champ est inversement proportionnel à la permittivité, le résultat
est la diminution de l’intensité du champ.
Q
1
E" =
4 0 r r2
E" E '
0 r

0

4/ Le potentiel entre les armature est :
Q 1
+K
4 0r
En supposant, comme est toujours le cas, V ' = 0 quand r ' , on a K = 0 . Donc :
Q 1
V'=
4 0r
V ' = E ' dr

V '=

5/ La capacité du condensateur : on calcule d’abord la différence de potentiel entre les
armatures, puis on en déduit la capacité :
Q 1 1
U = V Vi U =
4 0 R Ri

C=

Q
U

C=4

0

6/ Dans ce cas on a RRi = Ri ( Ri + d ) = Ri2 1 +

RRi
Ri R

d
Ri

Ri2 et Ri

R

d . On peut donc

écrire :
S = 4 Ri2
d = Ri R
Telle est la capacité du condensateur plan.

C=

0

S
d

Exercice 2.16 :
On s’aide de la figure suivante :
C1
C6

C2
C3
C4

C6

C6'

C0

C7'

C7

C0'

C7
C5

1/ Calcul de la capacité du condensateur équivalent du montage :
C6' = C1 + C2 + C3 C6' = 6µ F
C7' = C4 + C5

123 A.FIZAZI
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C7' = 9 µ F

Université de BECHAR

C

124

Conducteurs en équilibre

1
1
1
=
+ '
C0 C6 C6

C0 = 4 µ F

1
1
1
C0' = 6 µ F
=
+ '
'
C0 C7 C7
Finalement la capacité du condensateur est égale à :
C = C0' + C0
C = 10 µ F

2/ Calcul de la charge et de la différence de potentiel de chaque condensateur :
6U 6' = 12U 6 U 6' = 2U 6
Q6 = Q6'
U 6 = 40V , U 6' = 80V
U 6' + U 6 = 120

Q7 = Q7'

9U 7' = 18U 7

U 7' = 2U 7

U 7 = 40V , U 7' = 80V

U 7 + U 7 = 120
On en déduit de cela :
U1 = U 2 = U 3 = 80V , U 4 = U 5 = 40V
'

A présent, il est facile de calculer la charge de chaque condensateur en appliquant la
relation fondamentale des condensateur Q = CU :
Q6 = C6U 6 Q6 = 480µ C
Q1 = C1U1

Q1 = 80 µC

Q2 = C2U 2

Q2 = 160 µC = Q6 = Q6'

Q3 = C3U 3

Q3 = 240µ C

Q7 = C7U 7
Q7 = 720µ C
L’énergie de tout le groupement est donc :
1
W = CU 2
2

;

Q4 = C4U 4

Q4 = 320µ C

Q5 = C5U 5

Q5 = 400µ C

= Q7 = Q7'

W=0,72J

Exercice 2.17 :
Remarque : On note par l’indice 0 tout ce qui est en rapport avec la position 0° , et par
l’indice 1 tout ce qui se rapporte à la position 180° .
1/ Quand le condensateur est reliée à la batterie, sa charge est :
Q1 = C1U , Q1 = 950.10 12.400 , Q1 = 380nC

2/ La différence de potentiel quand le cadran indique 0° est :

W0 =

1 Q12
, W0 = 1, 444.10 3 J
2 C0

3/ L’énergie du condensateur quand le condensateur indique 0° est donc :
Q
38.10 8
U0 = 1 , U0 =
, U 0 = 7, 6.103V
C0
50.10 12
4/ Le travail nécessaire pour faire tourner le bouton est égal à la diminution de l’énergie
entre les positions 0° et 180° . L’énergie du condensateur quand le cadran indique 180° est:
W1 =

1 Q12
, W1 = 0, 076.10 3 J
2 C1

Donc le travail fourni est : w = W1 W0 , w = 1,368.10 3 J
Le signe moins (-) signifie que cette énergie a été dépensée.
124 A.FIZAZI
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125

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.18 :
1/ L’interrupteur K ouvert : regardons la figure(a) correspondante :
D’après la règle des tensions : U AB = U AF + U FB
D’où :

U AB = ( R1 + R2 ) I

U AB = 3R2 I = 3U FB
R1 = 2 R2
Le potentiel en B est donc:
VA VB = 3 (VF VB )
VF = 8V
VB = 0 , VA = 24V

2/ De la même façon on trouve la valeur du potentiel VG : U AB = U AG + U GB
Les deux condensateurs portent la même charge Q puisqu’ils sont montés en série :
U AB = QC1 + QC2
U AB = 3QC1 = 3U AG
C2 = 2C1
Le potentiel en G est donc :
VA VB = 3 (VA VG )
2V
VG = A
VG = 16V
3
VB = 0 , VA = 24V
C1

G

R1

F

C2

C1

R2

G

R1
B

A

F

C2

R2

A

B

3/ L’interrupteur K fermé : Regardons la figure(b) correspondante.
Le potentiel du point F est le même qu’à la question (1) , soit VF = 8V . Donc :
VF = VG = 8V

4/ Avant la fermeture de l’interrupteur, chaque condensateur portait la charge :
Q = Q1 = Q2
C1U1 = C2U 2

Q = 7, 69.10 6 C

U1 = VA VG = 16V
Au moment de la fermeture, et temporairement, chaque condensateur portait sa propre
charge :
Q1 = C1U1 Q1 = 7, 69.10 6 C
Q1 ) Q2
Q2 = C2U 2 Q2 = 1,92.10 6 C
Cependant, cette situation ne dure pas. Lorsque l’état d’équilibre est atteint très
rapidement, les charges des deux condensateurs deviennent égales. Pour que les deux charges
des deux armatures communes au point G s’égalisent, il faut que des charges négatives, les
seules qui peuvent se déplacer, quittent l’armature C1 . Ce déplacement ne s’arrête que lorsque
les deux charges des deux armatures s’égalisent.
Si Q1' est la valeur qui a transité par l’interrupteur, sa valeur est donc :
125 A.FIZAZI
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126

Conducteurs en équilibre

Q2 = Q1 + Q1'

Q1' = Q2 Q1 , Q1' = 5, 76.10 6 C

Exercice 2.19 :
1/ Pour calculer la quantité d’énergie emmagasinée dans le condensateur, calculons
d’abord la capacité du condensateur :
S
C1 = 0
, C1 = 35,8.10 12 F
d
WE =

1 Q2
, WE = 1, 25.103 J
2 C1

2/ Si on introduit une plaque de mica, la capacité augmente, ce qui entraîne une
diminution de l’énergie. La permittivité absolue du mica est = 0* . D’où :
C2 = *
WE 2 =

0

S
, C2 = 250,6.10
d

12

F

1 Q2
, WE 2 = 1,8.102 J
2 C2

3/ Dans le cas de la diminution de la distance entre les armatures, la capacité augmente et
l’énergie emmagasinée diminue :
S
C3 = * 0
, C2 = 501, 2.10 12 F
d /2
WE 3 =

1 Q2
, WE 3 = 89,8 J
2 C3

Exercice 2.20 :
I.
L’interrupteur K1 fermé : Voir figure correspondante ci-dessous :
1/ les deux condensateurs étant montés en série, ils portent la même charge. La tension
entre les armatures du condensateur équivalent est égale à la force électromotrice E du
générateur :
CC
C= 1 2
CC
C1 + C2
q = E 1 2 , q = 4µC
C1 + C2
q = CV = CE
C1

C2

E

2/ La différence de potentiel entre les armatures de chaque condensateur :
q
U1 =
U1 = 4V
C1
U2 =

126 A.FIZAZI
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q
C2

U 2 = 2V

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127

Conducteurs en équilibre

II.

On laisse l’interrupteur K1 fermé, et on ferme les interrupteurs K 2 et K 3 . Voir
figure suivante :
C1

C2

R1
E

1/ Après le laps de temps nécessaire pour la charge du condensateur, le courant
électrique s’annule, mais le générateur impose une tension permanente entre ses bords. En
suivant les deux trajets différents pour calculer la tension entre les pôles du générateur, on
arrive à :
E = U1 + U 2
U1 = 0
q1 = 0
E = U2

Donc, le condensateur C1 se décharge dans la résistance R1 , tandis que le
condensateur C2 se charge sous la tension E du générateur, telle que :
q2 = C 2 E

q2 = 12nC

2/ La différence de potentiel entre les bords de chaque condensateur est :
U1 = 0 , U 2 = E = 6V
III. On ouvre les interrupteurs K1 et K 3 , et on ferme les interrupteur K 2 et K 4 . Voir
figure suivante :
C1

C2

R1

R2

Les deux condensateurs se déchargent complètement dans les résistances :
q1 = q2 = 0
IV.

On laisse K 2 et K 4 fermés, puis on ferme aussi les interrupteurs K1 et K 3 .
1/ La tension entre les bords de chaque condensateur est :
C1

R1

C2

R2

E

127 A.FIZAZI
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128

Conducteurs en équilibre

E = ( R1 + R2 ) I
R1 = R2

I=

E
, I = 0, 03 A
R1 + R2

U1 = U 2 = R1 I

U1 = U 2 = 3V

2/ La charge de chaque condensateur est :
q1 = C1U1 q1 = 3µ C
q2 = C2U 2 q2 = 6 µ C

Exercice 2.21 :
Si l’électromètre indique zéro, cela veut dire que les points F et G sont au même
potentiel. Nous voyons sur la figure ci-contre que :
F
q1 q3
U AF = U AG
=
(1)
C1
C2
C1 C3
q1 + q2
q2 q4
+ q1
q2
U FB = U GB
=
( 2)
A
B
U
=
0
FG
C2 C 4
D’après le principe de la conservation de la charge, on a :
+ q3
q4
C
q1 + q2 = 0 q1 = q2
3 q3
+ q C4
q3 + q4 = 0

4

q3 = q4

G

Dans l’équation ( 2 ) , on remplace q2 et q4 respectivement

U

par q1 et q3 , on écrit donc :
q1 q3
=
C2 C4

( 3)

On divise les équations ( 3) et (1) membre à membre, on obtient :

( 3)
(1)

C1 C3
=
C 2 C4

Exercice 2.22 :
1/ On remarque que E est un point commun aux condensateurs C3 , C4 et C5 ; en même
temps le point D est commun aux condensateurs C1 , C2 et C5 . Le condensateur C5 est seul
entre les points E et D . Le montage qui montre la symétrie est représenté sur la figure
suivante :
C1

+ q1

C2

D
+ q2

q1

A

q2

B

C5

+ q3
C3

+ q4

q3

E

q5
C4

Céq

A

B
U

U
2/ On pose : C1 = C2 = C3 = C4 = C

128 A.FIZAZI
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129

Conducteurs en équilibre

D’après le principe de la conservation de la charge, et à l’aide de la figure précédente, on
a:
q = q1 + q3 = q2 + q4

(1)

CéqU = CU1 + CU 3 = CU 2 + CU 4
CéqU = C (U1 + U 3 ) = C (U 2 + U 4 ) ( 2 )
D’après la règle des tensions, on peut écrire :
U = U1 + U 2
2U = U1 + U 2 + U 3 + U 4 ( 3)
U = U3 + U 4

De l’équation (1) , on en déduit que :
CéqU = CU1 + CU 3 = CU 2 + CU 4

U1 + U 3 = U 2 + U 4

Reportons ce dernier résultat dans l’équation ( 3) , qui devient :
2U = U1 + U 3 + U 2 + U 4
U 2 +U 4

( 4)

U = U2 +U4

Des équations ( 2 ) et ( 4 ) on peut calculer la capacité du condensateur équivalent Céq :

(1)
( 4)

CéqU = C (U 2 + U 4 )

Céq = C = 1µ F

U = U2 + U4

La charge de chaque condensateur : on montre que les charges q3 , q2 , q1 et q4 sont égales :
U1 = U 3

q1 = q3
"
U2 = U4
#q2 = q4
q1 + q2 = 0 q1 = q2
q3 + q4 = 0

q1 = q2 = q3 = q4

q3 = q4

Evaluons la charge q2 par exemple :
U = U1 + U 2

q
q q
= 1+ 2
Céq C1 C2

q = CéqU = 2Cq2

q = q1 + q2 = 2q2

q2 =

Céq
2

U

q1 = q2 = q3 = q4 = 5.10 7 C
Quant à la charge q5 , elle est nulle : q5 = C5U 5

q5 = 0

La différence de potentiel entre les bords de chaque condensateur est :
U = U1 + U 2
U1 = U 2 = U 3 = U 4 = 50V U 5 = 0
U1 = U 2
Exercice 2.23 :
1
CU 02
2
On obtient l’énergie finale, à la fin de régime transitoire, en fonction de C , C ' et de la
tension U commune entre les bords des deux condensateurs, en écrivant :

L’énergie électrostatique libre initiale du système est : (1) + We1 =

129 A.FIZAZI
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130

Conducteurs en équilibre

1
2

( 2 ) + We 2 = ( C + C ')U 2
Pour connaître cette tension U , on introduit la conservation de la charge électrique au
cours de la transformation de l’énergie. En effet, le système est isolé du milieu extérieur, et la
charge électrique qui est une quantité de matière ne peut être que conservée. La charge initiale
Q0 s’est répartie à la fin en deux charges q et q ' , telle que :
Q0 = CU 0 = q + q ' = ( C + C ') U 2

U=

C
U0
C +C'

We 2 =

C 2U 02
1
( C + C ')
2
2
( C + C ')

We 2 =

1 C2
U 02
2 C +C'

L’énergie emmagasinée dans l’ensemble des condensateurs est donc ( 2 )

(1) :

1 CC ' 2
U0
2 C +C'
Le signe moins (-) indique la diminution de l’énergie. L’énergie consommée a été
transférée au milieu extérieur sous forme d’énergie calorifique, dans la résistance R . La
puissance de cette transformation est d’autant plus grande que le temps de décharge est plus
petit, et la résistante plus faible.
Pour s’en assurer de cela, on calcule l’énergie dissipée par effet joule : soit i l’intensité
instantanée du courant électrique dans le circuit. La forme de ce courant est exponentielle. Sa
U
valeur initiale est 0 , car à cet instant, le condensateur de capacité C ' était sous une tension
R
nulle. La constante de temps est , = RCéq .
%We = We 2 We1 =

U 0 t /,
e
R
L’énergie dissipée par effet joule est donnée par :
'
'
U2
WJ = & Ri 2 dt = & R 02 exp ( 2t / , ).dt
R
0
0

Donc : i =

CC '
1 U 02
1
,
WJ = U 02
C +C'
2 R
2
La puissance moyenne au cours de la transformation du système, si on admet que
l’opération s’est produite en l’intervalle de temps t = 5, , est :
WJ =

WJ 1 U 02 ,
1 U 02
Pmoy =
=
Pmoy =
2 R 5,
10 R
t
Si On approche la valeur de la résistance de zéro, la transformation est brutale. La
puissance calorifique transformée conduit à échauffement très important, même si la quantité
de l’énergie fournie est indépendante de R .
Conclusion : Il faut éviter la jonction de ces deux sources de tension, c’est à dire les
condensateurs chargés. Si la résistance est celle de l’interrupteur, qui est obligatoirement
faible, l’instant de la fermeture conduit à sa détérioration.
Il est strictement interdit de réaliser un montage pareil.

130 A.FIZAZI
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131

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.24 :
1/ Au cours de la charge du condensateur, l’intensité du courant est comptée positivement.
dq A
Au cours de la décharge le courant change de sens, donc i est négative : i =
dt
Remarque : dq A = qA ( t + dt ) q A ( t ) 0 car la charge que porte l’armature A décroît au

cours de la décharge, on trouve effectivement i
La relation entre i et uC :

0.

q A = Cuc

du
i= C C
dq A
dt
i=
dt
2/ L’équation différentielle de l’évolution de la tension uC est :

uC = uR
uR = Ri

uC = RC

duC
dt

du
1
uC + C = 0
RC
dt

duC
dt
3/ a) Désignation des deux constantes A et a :
at
duC d ( Ae )
duC
Exprimons d’abord
=
= aA exp ( at )
dt
dt
dt
Remplaçons dans l’équation différentielle :
1
1
A exp ( at ) aA exp ( at ) = 0 A
a exp ( at ) = 0
RC
RC
Cette équation est vérifiée quelque soit le temps t :
pour A = 0 , ce qui est impossible car l’énoncé impose A 0 ,
1
a = 0 , ce qui conduit à :
Ou pour
RC
1
1
a=0
a=
RC
RC
i= C

Au temps t = 0 , on a uC ( 0 ) = U 0 = 10V , d’où :
A exp ( a.0 ) = U 0

A = U 0 , A = 10V

b) La constante de temps est : , = RC
c) La valeur de la capacité est : C =

,

,

C = 2.10 3 F

R
d) La dimension de la constante de temps est homogène au temps :

, = RC
R=

uR
i

C =i

dt
duC

[, ] = [ R ][C ]
[U ]
[ R] =
[I ]
[T ]
[C ] = [ I ]
[U ]

[, ] =

[U ] I [T ]
[ ]
[ I ] [U ]

4/ a) Expression de l’intensité instantanée :
131 A.FIZAZI
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Université de BECHAR

[, ] = [T ]

132

Conducteurs en équilibre

i = C.

duC
dt

uC = U 0 e

i=

t
RC

U0
exp
C

t
RC

U0
, I0 = 0,3A
R
U0
t
c) Intensité du courant au temps t = 0,5s : i ( t ) =
exp
, i ( 0,5 ) = 0, 2A
R
RC
t
d) La tension au même moment est : u ( t ) = U 0 exp
, u ( 0,5 ) = 8.10 3 V
RC
e) La durée écoulée dépasse plus de cinq fois la valeur de la constante de temps , , on
trouve une valeur de uC proche de zéro. Donc, on peut considérer que le condensateur s’est
déchargé.
5/ L’expression de l’énergie emmagasinée dans le condensateur C au temps t = 0 est
1
1
WE = CU 02 . Pour le condensateur ( C ' C ) C ' on a WE' = C 'U 02 . Puisque U 0 est constante,
2
2
on a WE' W .

b) Intensité du courant au temps t = 0 : i ( 0 ) =

Exercice 2.25 :
1/ Dans un conducteur en équilibre, le champ E est nul, et par conséquent divE = 0 .
=0 .
D’après la forme différentielle du théorème de Gauss, divE = / 0 . Donc

2/ En raison de la symétrie sphérique du système des deux conducteurs en état d’équilibre
électrostatique, le champ qui est un vecteur radial, est contenu dans tous les plans contenant
l’axe OM ; donc le champ radial E ( M ) et porté par u .
En plus de ce qui vient d’être dit, il n’y a pas de variation du champ par rotation autour de
O . Cela veut dire que les valeurs du champ ne dépendent pas des variables et / .
D’où, on peut écrire E ( M ) = E ( r ) u et V ( M ) = V ( r ) .
3/ La répartition des charges sur les surfaces des conducteurs.
En raison de la symétrie sphérique de l’ensemble des conducteurs, les charges se
répartissent uniformément sur leurs surfaces. La charge 2Q du conducteur externe ( C ') se
répartit sur ses surfaces interne et externe.
Puisque les conducteurs ( C ) et ( C ') sont en influence totale, il existe obligatoirement sur
la surface interne du conducteur ( C ') la charge +Q .

La charge restante +Q apparaît sur la surface externe du conducteur ( C ') .
On peut démontrer ceci, en appliquant le théorème de Gauss : Le champ est nul sur une
sphère de rayon , tel que 2 R r 3R . Le flux du champ externe est donc nul, et par
conséquent la charge interne de cette surface doit être nulle.
4/ Graphe de E ( r ) : On applique le théorème de Gauss à la sphère de rayon tel que
R

r

2 R . La charge interne est Q . On obtient : 4 r 2 E ( r ) =

Q

.

0

On applique le théorème de Gauss à une sphère de rayon
+Q
interne est +Q . On obtient : 4 r 2 E ( r ) =
.
0

132 A.FIZAZI
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Université de BECHAR

tel que r

3R . La charge

133

Conducteurs en équilibre

On a donc :
Pour R

r

2R : 4 r 2 E ( r ) =

Q
0

Pour r

+Q

3R : 4 r 2 E ( r ) =

0

Le champ est nul à l’extérieur de cet espace étudié, et discontinu à la traversée de tout
plan chargé.
2
2
1 d ( r E ( r ))
5/ : divE ( M ) = 2
= 0 , en effet, dans ce problème, il n’y a aucune densité
r
dr
volumique de charge en aucune position. La charge est répartit sur les surfaces des
conducteurs.
E (r )

0

R

2R

4R

3R

E = f (r )

6/ Graphe V ( r ) du potentiel :
Le potentiel est continu. On l’obtient en partant de l’infini où sa valeur est nulle. Par
intégration de V ( r ) = & E ( r ) dr dans les différents cas, on obtient :
Pour r
Pour 3R
Pour 2 R

3R : V ( r ) =

Q 1

4

0

r

2 R , le potentiel est constant : V ( r ) =

r

Q 1
R , on a : V ( r ) =
+K
4 0 2R

La constante d’intégration K est telle que
trouve à la fin V ( r ) =

Q

4

0

V ( 2R ) =

1
3R

Q 1
Q 1
+K =
, on
4 0 2R
4 0 3R

Q 1 5Q 1
+
:
4 0 r 4 0 6R

V (r )

0

133 A.FIZAZI
LMD1/SM_ST

R

2R

Université de BECHAR

3R
V = f (r )

4R

134

Conducteurs en équilibre

Q

7/ Le potentiel du conducteur ( C ') est : VC ' =

4 0
Q 1
Le potentiel du conducteur ( C ) est : VC =
4 0 6R

1
3R

1
4 0 2R
En utilisant la relation fondamentale des condensateurs Q = CU , on obtient la capacité de

La différence de potentiel est donc : VC ' VC = U =
ce condensateur sphérique : C = 8

0

Q

R

8/ La forme de quelques lignes de champ orientées (voir figure ci-dessous)

( C ')

2Q

+Q

(C )

1 Q2
9/ Energie du condensateur : W =
2 C

Q2
W=
16 0 R

Exercice 2.26 :

1/ Capacité du condensateur plan : C =

0

S
=
2d

0

x.L
2d

C = 2.65 ×10

12

F

2/ Charge du condensateur :
A
Q = CV
x.L
-9
Q= 0
V ; Q=1.1 × 10 C
S
x.L
D
2d
C= 0
= 0
U
E
2d
2d
B
Calcul des charges des faces :
L’électrisation se produit par influence : QE = QB ; QA = QD , et puisque la plaque
interne est initialement électriquement neutre, on a :
QD = QE
QD = QE = +QB = QA=Q'
Le résultat, est qu’on a deux condensateurs groupés en série.
La capacité du condensateur équivalent est donc :

134 A.FIZAZI
LMD1/SM_ST

Université de BECHAR

d

d
2

135

Conducteurs en équilibre

Céq =

C1C2
;
C1 + C2

C1 =

S
d

C2 =

S
d /2

0

Céq =

0

2 0S
3d
A+ + + + + + +

Les charges que portent les quatre faces sont :

Q'= CéqV = 2

0

L.x
3d

U

Q ' = QD = QE = +QB = QA =1.4 × 10 9 C

135 A.FIZAZI
LMD1/SM_ST

Université de BECHAR

D
E+ + + + + + +

B



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