Conduteurs en équilibre Exo Enoncées Fr .pdf



Nom original: Conduteurs en équilibre_Exo_Enoncées_Fr.pdfTitre: (Microsoft Word - Conduteurs en \351quilibre_Exo_Enonc\351es_Fr.doc)Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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99

Conducteurs en équilibre

**

EXERCICES
Exercice 2.1
Considérons une boule en métal de rayon R ayant une
charge globale Q .
1/ A l’équilibre, comment se répartissent les charges
dans le conducteur ?
2/ En déduire l’expression de la densité surfacique de

( en Cm ) .

3/ Que vaut le champ électrostatique dans le
conducteur ?
4/ En appliquant le théorème de Coulomb, vérifier qu’à
la surface du conducteur :

E=

1

R) r
1

4

!"
%

*

4

0

0

du

centre

du

+ ,
- . % / /3
0 % 1 ' $2 3- #4
5 3
/4
1 Q
E=
4 0 R2
$2 $ #7 8
5
% /5
$ (r R) r
1'
,

:

Q
R2

5/ En utilisant le théorème de Gauss, montrer que
l’intensité du champ électrostatique créé à la distance

E=

.Q
#$"
/1
&
' ( %) /2
. ( Cm 2 )

2

charge

(r

1.2
R

conducteur

est :

"

.E

Q
.
r2

Exercice 2.2
Une sphère conductrice ayant un rayon R = 8cm
porte initialement une charge de 80 µ C . Par la suite,

une charge ponctuelle de 20 µ C est introduite au
centre d'une cavité sphérique ayant un rayon
r = 2,5cm à l'intérieur de la sphère.

R = 8cm
#
.9 .

-

4 - (

2/ Quelle est la grandeur du champ électrique E près
de la surface intérieure de la sphère conductrice (dans
la cavité) ?
3/ Quelle est la charge totale Qi sur la surface

4 - (

Exercice 2.3
Un cylindre creux et conducteur, de rayon 3cm ,
porte initialement une densité linéaire de charge de

9 µ Cm 1 . Par la suite, une tige mince ayant une
1
densité linéaire de charge de 5µ Cm
est
entièrement glissée au centre du cylindre creux. La
tige et le cylindre ont, tous les deux, une longueur
infinie.
1/ Quelle est la grandeur du champ électrique près de
la surface extérieure du cylindre avant que la tige
chargée soit glissée à l'intérieur ?
2/ Quelle est la densité linéaire de charge portée par la
surface extérieure du cylindre creux après que la tige
chargée soit glissée à l'intérieur ?
A.FIZAZI

1
4

0

Q
r2

:

2.2

1/ Quelle est la grandeur du champ électrique E près
de la surface extérieure de la sphère conductrice ?

intérieure de la cavité de la sphère conductrice ?
4/ Quelle est la charge totale sur la surface extérieure
de la sphère conductrice ?

=

+

E

,

9
+ . 80 µ C
: "
20 µ C
.
+ r = 2,5cm
/1
: + 0 %
/2
+ 0 %
/3
:
/4

-

E' ,
( : + )
0 % 1 ' Qi

: + 0 % 1 ' Qe

3.2
# 3cm
# :
1
. 9 µ Cm
+ &
3% # :
%= "
1)
3"
1
. 5µ Cm
+ &
.
>
3%
0 % 4 ,
+
3% 3"
%?
: + 0 %
+

Université de BECHAR

+
3% 3"

&
:

%2
#
9 %= $
/1
: +
%=
/2
%?

LMD1/SM_ST

100

Conducteurs en équilibre

3/ Quelle est la grandeur du champ électrique près de
la surface extérieure du cylindre après que la tige
chargée soit glissée à l'intérieur ?
4/ Quelle est la grandeur du champ électrique à 2cm
du centre du cylindre après que la tige chargée soit
glissée à l'intérieur ?
Exercice 2.4
Une sphère de rayon R porte une charge Q .
1/ Calculer son énergie potentielle en fonction de
la pression électrostatique.
2/ On décharge cette sphère en la reliant à la terre
par l’intermédiaire d’un fil métallique. Que devient
l’énergie emmagasinée précédemment ?
3/ On suppose que cette sphère a été chargée à
l’aide d’une source
de force électromotrice E
constante. Quelle est l’énergie fournie par la source à
la sphère ? La trouve-t-on sous forme d’énergie
potentielle ? Sinon, où a disparu la différence ?
4/ soit la densité surfacique de charge de la
sphère :
a) calculer sa capacité en fonction de , 0
et ,
b) trouver une relation littérale entre l’énergie
interne et la pression électrostatique.

0 %

4 ,
+
3% 3"
$ 2cm
1' ,
+
3% 3"

/3
: +
/4
%= "

%?

4.2
:Q
R
.$ %
@A >
4% 2 /1
B% % C =
D9 E F /2
- % "+
0
.
G H
%
D9 $ / G 2 C F /3
. & E ,
9)
1'
:
H
3 F 1F + $ 2 #> 4 : $
:
%
&
9) /4
#
>
% 4% ) (2
0#
@A
+
$
I' : 2 (4
.$ %

Exercice 2.5
Une sphère métallique de rayon

5.2
R1 = 1m porte DKLM NOLP Q R = 1m <=>?@ ABC DECFGH I>J
1
9
une charge électrique totale Q = 10 C . On la relie
XYZ D?Z[\V <WY]^\C . Q = 10 9 C DER<OST DEU<V>WJ
par un fil conducteur à une sphère initialement non
chargée de rayon R2 = 0,30m ( placée à grande
distance de la première sphère) de telle sorte q’elles se
mettent au même potentiel.
1/ Quelle sera la charge à l’équilibre sur chacune
des sphères après que la connexion sera faite ?
2/ Quelle est l’énergie de la sphère chargée avant
la connexion ?
3/ Quelle est l’énergie du système après que les
sphères soient reliées entre elles ? S’il y a une perte,
expliquer où a été dissipée.
4/ Montrer que la charge est distribuée sur les deux
sphères reliées entre elles de telle sorte que
1

=

2

R2

R1

charge.
5/

E1,surface
E2,surface

Montrer

=

est la densité superficielle de
en

conséquence

que

R2
.
R1

>E` Q R2 = 0,30m <=>?@ ABC I>J _RT NE^\P
I>fR[ gH I>EbJ Dd<hH _Yi Di\j\H )Da[FbR[ cd DC\LeH
.l\OfR[ mnKR l<GopP qELV (_RQk[
FGV I>J NJ _Yi DKLeR[ DOE@ c= <H lr[\sR[ cd /1
tuGV vH <OWYE^\P
/2
$ 9)
$
:
/3
. 'A $2 J ) #
! AB
$
$
1 ' '"
$2 $K /4
R
%
&
L w 1 = 2 L
R1
2
.
E1,surface R2
.
=
G 2 $ /5
E2,surface R1
.
B % &2 M%

On négligera dans le problème l’effet du fil de
jonction.

A.FIZAZI

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101

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.6
Une sphère conductrice S1 de centre O et de
rayon R1

= 10cm

est

placée

dans

une

cavité

conductrice S2 ,

de

6.2
O "

baigne dans le vide. Les deux conducteurs sont
initialement en équilibre. Quelle est la charge et
comment se répartit-elle dans les deux cas :

# S2
.
0%
: .B %
.
:$
4
N - H V1 = 10 V $

= 104 V tout

. (a)

1' $

:

H V1 $

sphérique
rayon R2

creuse

= 20cm et de mince épaisseur. L’ensemble

1/ La sphère est portée au potentiel V1

en gardant la cavité creuse S2 isolée comme indiqué
sur la figure
2/

(a) .

La sphère est maintenue au potentiel

. (b )

S1
HA
: "
R1 = 10cm
3
R2 = 20cm D
$
$
.E F
"
S1
K /1
> "

S2

:
- /2

1' $

C = S2

V1 tout

en reliant la cavité creuse S2 à la terre comme indiqué
sur la figure ( b ) .

R1

R1

V1

V1

R2

R2

(b)

(a)

Exercice 2.7
Un plateau circulaire vertical métallique de très
grande dimension est relié à la terre (potentiel
V = 0 ). On place à une distance x une petite sphère
métallique de rayon et de charge q suspendue à un

:
2 .9
1 ' HA .( V = 0 /
q
. xe $" HA
fil. La sphère prend une position d’équilibre xe .
Trouver la force qui s’exerce sur la petite sphère
assimilée à une charge ponctuelle en utilisant la notion
. ,
d’image électrique..

7.2
. , 3
$
)C =
G x
9+M . + %
1' - : 2
/ F
%

x

+q

V =0

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Conducteurs en équilibre

Exercice 2.8
Une charge q est placée à une distance a d’un
plan conducteur infini maintenu au potentiel zéro. On
peut montrer que le champ résultant à la surface est le
même que si une charge négative q placée à une
distance a remplaçait le plan. (Figure ci-dessous).
Cette seconde charge est appelée image de la
première.
1/ Montrer que le potentiel est nul en tout point du
plan et que le champ est normal au plan et calculer son
intensité..
2/ Montrer que la densité de charge sur le plan est
3

qa / 2 r .

8.2
>
O % $ a
1' q
HA
$2 1 ' $
$ ./
$
&
%
HA
G%F
0 % 1' (
.(G F%2
) .O % $
a
1' q
.1 =
1 % D9
&
O % $
/
$
$2 $K /1
.G 4% 2 O % 1 ' . ' - $2
O %
1'
& $2 $K /2
% O %
O %

3/ Calculer le flux électrique à travers le plan en
utilisant la notion de l’angle solide, et vérifier que la
charge totale du plan est q .

'

,
$2

. qa / 2 r 3
4% 2 /3
" / F
. q

3
M

a

+q

q

Exercice 2.9
Trouver le flux du champ électrique , la charge
intérieure totale et la densité de charge pour un cube
de côté a (figure ci-dessous) placé dans une région où
le champ électrique est de la forme :
1/

E = Cxu x

2/

E = C yu x + xu y , C = constante

(

+
$

(G F%2

)

,

)

# ,
a G A 4
L
-

(

9.2
3
: 2

! A
:
E = Cxu x /1

& = C , E = C yu x + xu y

)

&

/2

Z

a
a

X

a

Exercice 2.10
1/ Trouver les capacités et les coefficients
d’influence de l’ensemble de deux conducteurs

Y

10.2
% : 2 /1
$ '
$

$
:
&M
'
S1 ( O1 , R1 )
sphériques S1 ( O1 , R1 ) et S 2 ( O2 , R2 ) éloignés l’un w S 2 ( O2 , R2 )
. (d
R1 , R2 ) d Dd<hOR[ <OWYBnP
de l’autre par la distance d ( d
R1 , R2 ) .
:$
P /2
2/ discuter les deux cas :
A.FIZAZI

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103

Conducteurs en équilibre
a)

d
d = R1 = R2

,
d = R1 = R2 .

si d

b) si

Exercice 2.11
Un condensateur de capacité

11.2
C = 100 µ F
%
9 F&
$
. U = 20V
% QF
O +2 F& 1 ) F&
D9
.
8
. :
$
5 .9
4% 2 /1
.
/ /2

C = 100 µ F est

chargé sous une tension U = 20V .
On le relie à un condensateur de même capacité C ,
mais initialement déchargé.
1/ Calculer la tension qui apparaît aux bornes de
l’ensemble.
2/ Faire le bilan énergétique avant et après
connexion. Commenter ?

C

B-

12.2

Exercice 2.12
Un condensateur de capacité C1

= 3,3µ F a été
chargé sous une tension de 24V ; l’armature A porte
une charge positive QA .
1/ Calculer l’énergie emmagasinée dans ce
condensateur.
2/ Les bornes A et B sont reliées aux bornes
E et D d’un condensateur complètement déchargé,
de capacité C2 = 2, 2 µ F (voir figure ci-dessous). Il
apparaît un courant transitoire très bref, puis un
équilibre électrique s’établit. La tension U AB est alors
égale à la tension
'

D

$"
R U ED

C1 = 3,3µ F
% F&
. QA :
AQ
. F&
"+
4%
E$
$I
B
A$
5 2 ) C2 = 2, 2 µ F
%#
8
% /& #H % :
S
5
. % U AB
. -%

. QE'

'

'

. QE'
.$ F&

'

c) En déduire numériquement QA et QE .

"+
.2 1 )
5F
BI%2
,

3/ Après la connexion, calculer l’énergie
emmagasinée dans les deux condensateurs. Au cours
de cette opération, l’énergie a-t-elle été conservée ?
Sous quelle forme une partie de l’énergie électrique
s’est-elle transformée dans les fils de jonction ? et en
quelle quantité ?

A
E

Exercice 2.13
On considère un condensateur plan formé de deux
armatures conductrices identiques parallèles, espacées
d'une distance d . Chaque armature est une plaque
rectangulaire de surface S . On suppose que les deux
A.FIZAZI

'
A

C1 # Q # Q $

'

C1 et C2 .

AQ

QA' # QA $
'
E

. C2

QA' et QE' .

b) Ecrire une seconde relation entre QA , QE ,

R 24V
2 /1
/2
F&
.(G F%2
,

. QE'

E la charge QE' .

a) Ecrire une relation entre QA ,

QA'

EQ

U ED ; l’armature A porte une

charge QA et l’armature

(2
(4

C1
C2

I' 4 2 (4
& I' 4 2 (

QA'
' ( %) (T
4% 2 #
/3
#
D9 I+
$ N":
/ .M

B
D

13.2
$ &
$
$% $
% F&
$'
' Q
.d % $ '
$ "
$%
$2 C F . S 0 % 9
%
F

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104

Conducteurs en équilibre

.
&U
&M
$% "
'
9 # A
D9
/1
1'
H " $' G $
9 "
&M
. % 0 % 1'
&
$
Q
0 % 1'
&
R y=0
.9
y=d
.9 . %
plane d'équation y = d ?
.Q
: ,
' 4% 2 /2
2/ Calculer l'expression du champ électrique au
) #$ %
$ /5
,
- $2 $K /3
voisinage de chacune des armatures.
$ $
3 F
- D9
3/ Montrer que le champ électrique est uniforme entre . V ( 0 ) V ( d ) $ %
les armatures et relier cette valeur à la différence de
. F&
C %
' ( %)
potentiel V ( 0 ) V ( d ) entre les armatures. En
déduire l'expression de la capacité C du
armatures sont en influence totale et on néglige les
effets de bord.
1/ Dans ce cas précis, que signifie l'expression
"armatures en influence totale" ? Que peut-on dire de
la répartition de la charge dans chaque armature ? Soit
la densité de charge sur la surface plane d'équation
y = 0 ; quelle est la densité de charge sur la surface

condensateur.

y
d
0
Exercice 2.14
Un générateur de tension continue et trois
condensateurs sont assemblés comme indiqué sur la
figure ci-dessous :

U = 3V ,

14.2
$

F&

H:
:G F%2
1'
C1 = 30µ F

C2 = 10µ F , C3 = 5µ F
Q3 , Q2 , Q1

C2 = 10µ F , C3 = 5µ F
Q1 , Q2 , Q3 que

%

U = 3V ,

C1 = 30µ F

Quelles sont les charges

LI&

F&

&I&

portent les trois condensateurs ?

U
C2
C1

C3

Exercice 2.15
Un condensateur sphérique est constitué :
• D’une sphère interne conductrice pleine portant la
charge Q ,
• D’une couronne sphérique conductrice de rayon
intérieur Ri et de rayon extérieur R e , ( figure cidessous),
1. En appliquant le théorème de Gauss à une surface
fermée sphérique de rayon compris entre Ri et R e ,
calculer la charge portée par la paroi interne de la
couronne conductrice.
2. Calculer le champ entre les deux armatures.
A.FIZAZI

15.2
:$
%2 $
# Q
+
.
Ri + D
.
) .
#( F%=
)# R e : +
3@ .
0 % 1' 7 8 5 3
/1
4% 2 # R e
Ri $
D
.
W +
:
.$ %
$ - 4% 2 /2

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105

Conducteurs en équilibre

3. Que devient ce champ si on place entre les deux
armatures du condensateur un matériau de permittivité
relative ?
4. En déduire le potentiel entre les deux armatures.
5. Calculer la capacité de ce condensateur.
6. Retrouver l’expression de la capacité d’un
condensateur plan en considérant Ri très voisin de

F&

%

Ri

$

'

%

R : Ri = R + d .

+

+
+

Qe

+Q

+

+

R

+
Qi +

+

9 0
/3
%
%
.$ %
$ $
( %) /4
. F&
% 4% 2 /5
F&
%
' : $ : 2 /6
. Ri = R + d : R $ : 4
A

-

+
+
+
+
Ri

Re

Exercice 2.16
1/Déterminer la capacité de l’ensemble des
condensateurs représenté sur la figure ci-dessous.
2/ Si la tension appliquée est de 120V , trouver la
charge et la différence de potentiel pour chaque
condensateur ainsi que l’énergie de l’ensemble.

1'
"+

&

F&

4% 2 # 120V
9
F&

16.2
! :
% $ ' /1
.G F%2
3
$ 9) /2
$ $
3

.'

:

$

C1
C6

C2

C1 = 1µ F , C2 = 2 µ F

C3

C3 = 3µ F , C4 = 4 µ F
C5 = 5µ F , C6 = 12 µ F

C4
C7

C7 = 18µ F

C5

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Conducteurs en équilibre

Exercice 2.17
La capacité d’un condensateur variable d’un
récepteur radio peut varier de 50 pF à 950 pF par

17.2
$2
-% " :
@
F&
% $
0° $
"
950 pF 1 ) 50 pF $
@
rotation d’un bouton de 0° à 180° . Le cadran
F&
$
# 180° M
:% $
. 180° 1 )
marquant 180° , le condensateur est relié à une
H - #
. 400V .9
1)
batterie de 400V . Après qu’il a été chargé, le
"
K
A
F&
$
condensateur est déconnecté de la batterie et le bouton
. 0° HA
ramené à 0° .
1/ Quelle est la charge du condensateur ?
F&
/1
2/ Quelle est la différence de potentiel entre les M
$ $%
$ $
3
/2
armatures quand le cadran marque 0° ?
.
0° 1 )
3/ Quelle est l’énergie du condensateur dans cette
HA 9
F&
/3
position ?
4/ En négligeant tout frottement, calculer le travail
/"I
4% 2 #B
X /4
nécessaire pour tourner le bouton.
. K"

Exercice 2.18
On monte

deux

18.2
w R2 = 4, 4
R1 = 8,8 :$
- 4
C2 = 0, 24 µ F
C1 = 0, 48µ F :$ F&
.G F%2
1' $
$
% 24V D - $
$2
' 9)
:$K' #4
9
F
- $
$ F $
/1
#(H
4 %
V = 0 HA )
$"9
#
F
- $ $ G
$
/2
-@
- $
$ G
$
/3
#
$"9
. -@ K
'
/4

R1 = 8,8

résistances :

= 4, 4
et
deux
condensateurs :
C1 = 0, 48µ F et C2 = 0, 24µ F non chargés de la

et R2

manière illustrée dans la figure ci-dessous.
Sachant qu'il y a une différence de potentiel de
24V aux bornes de ce réseau, déterminer :
1/ le potentiel au point F lorsque l'interrupteur
K est ouvert depuis un temps assez long (poser
V = 0 à la borne négative de la source),
2/ le potentiel au point G lorsque l'interrupteur est
ouvert,
3/ le potentiel final au même point G lorsque
l'interrupteur K est fermé depuis un temps assez
long,
4/ la quantité de charge qui a traversé l'interrupteur
K fermé.

C1

C2

G

K

R1

F

R2
B

A

Exercice 2.19
1/ Calculez la quantité d'énergie emmagasinée
dans un condensateur constitué de deux plaques
carrées de 9cm de côté, séparées par un espace d'air
de 2mm , lorsque ses armatures portent une charge de
±300 µ C .
2/ Que devient cette énergie si on introduit une
plaque en mica (de permittivité relative = 7 ) de
A.FIZAZI

19.2
$
F&
"+
4% 2 /1
F # 9cm
HA $
$ F
%
# 2mm G % N
$ "K
. ±300 µ C
$
F
+2
D9 0
/2

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Conducteurs en équilibre

2mm d'épaisseur qui remplit donc tout l'espace entre $9) ?

les armatures ?
c) Même question que 2/ pour le cas où la plaque
de mica ne fait que 1mm d'épaisseur.

Exercice 2.20
On considère le montage comme indiqué sur la
figure ci-dessous. Tous les interrupteurs sont ouverts
et les condensateurs déchargés.
I. On ferme l’interrupteur K1 :
1/ Quelle est la charge finale portée par chaque
condensateur ?
2/ Quelle est la différence de potentiel finale entre
les armatures de chaque condensateur ?
II On laisse l’interrupteur K1 fermé, puis on ferme les
interrupteurs K 2 et K 3 :
1/ Quelle est la charge finale portée par chaque
condensateur ?
2/ Quelle est la différence de potentiel finale entre
les armatures de chaque condensateur ?
III. On ouvre les interrupteurs K 2 et K 3 puis on ferme
les interrupteurs K1 et K 4 , quelle est la charge finale
portée par chaque condensateur ?
VI. On laisse les interrupteurs K1 et K 4 fermés, puis
on ferme aussi les interrupteurs K 2 et K 3 :

F

2mm G %

.9
B% $

9)

( =7 % G 9F)
$%
$ E F
/2 S% QF /3
. 1mm >) . % >
20.2

H

-

.G F%2

.

1'

8 F&
: K1

F
- 3 @ .I
F&
,
/ /1
F&
% $ ,
$
3
/ /2
: K3 K 2 $
- 3 @ /& # - @ K1
- B .II
F&
,
/ /1
F&
% $ ,
$
3
/ /2
: K4 K2 $
- 3 @ K 3 K1 $
- 0 F .III
F&
,
/
: A 2 K 3 K1 3 @ /& #$ - @ K 4 K 2 B .IV
$ F&
$
% $ $
3
/ /1
t C2 C1
t C2 C1 gEsnˆfOYR l<sEU<WKR[ l<sKLeR[ <O= ‰J /2
:4567 89:;
R1 = R2 = 100 , E = 6V
C2 = 2 µ F , C1 = 1µ F

1/ Quelle est la différence de potentiel finale entre
les armatures de chacun des deux
condensateurs C1 et C2 ?
2/ Quelles sont les charges finales des deux
condensateurs C1 et C2 ?
Application numérique :

R1 = R2 = 100

, E = 6V

C2 = 2µ F , C1 = 1µ F
C1

C2

K3
R1

K1

K2

R2

K4

E

Exercice 2.21
Quatre condensateurs sont groupés comme indiqué
sur la figure ci-dessous. On applique une différence de
potentiel U entre les points A et B et l’on branche
un électromètre E entre les points F et G pour
déterminer leur différence de potentiel. Montrer que

A.FIZAZI

1' $
A $ - $ U $
G
F $ - $ E
Y $2 $K .

Université de BECHAR

F&

21.2
H 2
3 . F%=
)
wB
:2 $

LMD1/SM_ST

108

Conducteurs en équilibre
l’électromètre indique zéro si

C1 C3
=
.
C2 C4

C1 C3
=
C2 C4
% %: &
.$ % %

.

F&

Ce dispositif représente un pont utilisable pour la
mesure de la capacité d’un condensateur en fonction
d’un condensateur étalon et du rapport de deux
capacités.

% 4%

9) F
4

F&

1)
9

>

F
C1

C2

A

B

E
C3

C4

G
U
Exercice 2.22
Soit le montage de condensateurs comme indiqué
sur la figure ci-dessous.
1/ Redessiner le schéma de ce montage en faisant
apparaître la symétrie par rapport à la branche ED .
2/ Si U = 100V et U CD = 0 , calculer la capacité

22.2
.G F%2
1' $
F&
4
$
5
5 L 4
9 /% '2 /1
. ED ! F
% 4% 2 # U CD = 0 U = 100V $ 9) /2
du condensateur équivalent, la charge de chaque $ $
3 9
F&
#,
F&
condensateur ainsi que la différence de potentiel entre
. F&
%
les armatures de chaque condensateur.
C1 = C2 = C3 = C4 = 1µ F :1
On donne C = C = C = C = 1µ F
1

2

3

4

C1

A

D

C2

B

E C5
C3

C4

U
Exercice 2.23
Un condensateur de capacité

23.2
U0
# C % F&
sous une tension U 0 est rapidement connecté à un
8
wC '
% O +2 F&
' %
autre condensateur de capacité C ' , initialement
. R
9 ,
%
#
déchargé, par l’intermédiaire d’un circuit électrique de
& /K # % % 1 ' # C ' $
CZ F
résistance R .
CC
'
La décharge de C et la charge de C ' , en série, se fait
. = RCéq = R
$"
CC '
C +C'
avec la constante de temps = RCéq = R
.
# :
HA
4
C +C'
B
D9
,
A
4%
On demande d’établir le bilan des énergies libres du
système, de calculer l’énergie perdue et de comparer
.R
: F
%
C , initialement chargé

cette énergie à celle consommée par effet Joule dans
R.
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109

Conducteurs en équilibre

C'

C

R

Exercice 2.24
On étudie la décharge d’un condensateur, en
envisageant le circuit de la figure ci-dessous, constitué
d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un
condensateur de capacité C chargé.
1/ Quel est le signe de i ? Établir la relation liant
l'intensité i du courant à la tension

uC .

2/ Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution
de uC .
3/ Une solution de l'équation différentielle peut
s'écrire

uC = A exp ( at ) où A et a sont deux

constantes positives non nulles.
a) En
utilisant
l'équation
différentielle,
déterminer A et a .
b) Donner l'expression littérale de la constante
de temps .
c) Montrer par analyse dimensionnelle que
a
la même unité qu'une durée.
d) Sachant que R = 33 , et = 0, 07 s , en
déduire la valeur de la capacité
condensateur.

C du

4/ En utilisant les résultats précédents :

U0
t
.
exp
R
RC
b) Déterminer la valeur I 0 de i à t = 0 .
c) Calculer la valeur de i pour t = 0,5s .
d) Déterminer la valeur de uC à la même date.
a)

montrer que i =

e)

Le condensateur est-il déchargé ? Justifier la
réponse.
5/ On remplace ce condensateur par un autre
condensateur de capacité C ' supérieure à C . Ce
condensateur est chargé sous la même tension

24.2
Z F Q

1'
RG

' # F&
F&
2
$
#G F%2
. C %
I HA i
)
/ /1
. uC
i
. uC
%
AF
HA /2
$2 $
AF
O ) /3
$ : $ & a A L uC = A exp ( at ) 4
.$
8
.a A K # A F
% (2
. $"
&
') (4
QF
$2 .
$K (T
. "
( % # = 0, 07s # R = 33 $2 ' (
. F&
C %
: - % (,
% /4
U0
t
. i=
$2 $K (2
exp
R
RC
. t = 0 i * I 0 - K (4
. t = 0,5s :2 $ i
4% 2 (T
. 5 QF
uC
4% 2 (
.B :)
8 2 F&
(D
2 C ' % O +2 F&
F&
D9
% /5
. U0
F&
D9 . C $
- % $
2 F&
9
"+

U0 .

L'énergie emmagasinée dans ce condensateur est-elle
supérieure à la précédente ?

C

A

B

uC
R

uR

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110

Conducteurs en équilibre

Exercice 2.25
On étudie le champ électrostatique et le potentiel
créés par deux conducteurs sphériques concentriques
chargés, en équilibre électrostatique.
Le conducteur central

( C ) est une boule de centre

O et de rayon R ; il porte une charge négative Q .
Le conducteur externe

( C ') est une boule creuse,

O et porte une charge positive égale à 2Q ;
le rayon de sa surface interne est égal à 2R , celui de
sa surface externe est égal à 3R .
de centre

Il n’y a pas d’autres charges, ni à l’intérieur de
l’espace vide entre les deux conducteurs, ni à
l’extérieur des deux conducteurs. Chacun des deux
conducteurs est isolé. Le potentiel est nul à l’infini.
On note

E ( M ) le champ électrostatique et

V ( M ) le potentiel en un point M quelconque de
l’espace, repéré par ses coordonnées sphériques

M ( r, ,

) , où OM = ru

2/ Pourquoi peut-on écrire

E ( M ) = E ( r ) u et

3/ Démontrer que la charge
externe

( C ')

se répartit également sur ses deux

surfaces.
4/

2Q du conducteur

Calculer

E ( r ) et

tracer

le

(

)

( C ')
D9

6/ Déterminer le potentiel

V ( r ) et tracer le

graphe correspondant.
7/ En déduire le potentiel de chacun des deux
conducteurs et la capacité du condensateur sphérique
formé du conducteur
conducteur

( C ') .

( C ) et de la surface interne du

$

: +
.4%

9
+
9

$

2Q
.$
/%

+ ) -

/2

$2 $
/3
% 1' /5
'"
E ( r ) 4% 2 /4
.P
%

)

2
2
1 d r E (r)
divE ( M ) = 2
4% 2
r
dr
S
$ Y $
.N AF 3

.4%
$
F&
%
$
+
0 %

& X
/1

V (M ) = V (r )

(

2
2
D9
1 d r E (r)
5/ Calculer divE ( M ) = 2
dans
r
dr

les différentes régions de l’espace. Pouvait-on prévoir
ces résultats?

$ %
$"

E (M ) = E (r )u

graphe

correspondant. Cette fonction est-elle continue?
Commenter.

$

. OM = ru L # M ( r , , )
:
& $ /": $
: $2 $

.

1/ Pourquoi peut-on affirmer que la densité
volumique de charge est nulle dans les conducteurs ?
Où trouve-t-on les charges?

V (M ) = V (r ) ?

25.2
- Q
$
$
$
.$ %
$"
O "
( C ) ."
. Q %
RR
O "
# :
: +
G %
R 2Q *
%
:
: +
D
# 2R . %
+
. 3R . %
$ E F "K
+ > #O +2
: >
. " $
$
.$
T + > #$
.
>
/
$
V (M ) *
$ %
E (M ) * "
K
#N AF
M $
$' $ :

/%
$

(C )

/5

(,
V (r ) $
$K' /6
$
( %) /7
$

+

. ( C ')
+ C G $ I /% 2 /8
. : $ .( F&
T +
. F&
"+
') /9

8/ Faire une figure donnant l’allure de quelques
lignes de champ ( à l’intérieur du condensateur et à
l’extérieur). Les orienter.
9/ Donner l’énergie emmagasinée dans ce
condensateur.

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111

Conducteurs en équilibre

( C ')

2Q

2R

R

(C )

Exercice 2.26
Un condensateur plan est constitué de deux plaques
métalliques rectangulaires A et B (figure-a- cidessous) de longueur L et de largeur x , séparées par
une couche d’air d’épaisseur 2d .
1/ Calculer la capacité du condensateur.
2/ Calculer la charge du condensateur lorsqu’il est
mis sous une tension U .
3/ On introduit entre les deux armatures du
condensateur une plaque métallique (figure-b- cidessous) d’épaisseur d / 2 et initialement neutre.
Calculer les charges réparties sur les faces et les
représenter sur les faces.
On donne :

L = 12cm; x = 10cm; 2d = 4cm;

U = 400V ;

0

= 8.85.10

12

3R

+Q

26.2
$
$ F
$
%
F&
$
( a[G F%2
) B
A $
%
$ F #x
C '
L
. 2d
% N
. F&
% 4% 2 /1
$
F&
4% 2 /2
.U $
3
)
F
F&
%
$
+ /3
.
d / 2 B % 9 ([b[G F%2
1'
'K"
QE , QD , QB , QA
4% 2
.G: = 1 ' \&
G: =
:
L = 12cm; x = 10cm; 2d = 4cm;
U = 400V ;

U

A.FIZAZI

A
D
E
B

0

= 8.85.10

12

A

2a

U
B

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