Incertitude EXO Corrigés .pdf


Nom original: Incertitude_EXO_Corrigés.pdfTitre: (Microsoft Word - Incertitude_EXO_Corrig\351s.doc)Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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14

Calcul des incertitudes

Corrigés des exercices 1.7 à 1.12:

12.1

7.1

Exercice1.7 :
Calculons d’abord l’épaisseur du cylindre : e =

D2

L’incertitude absolue sur l’épaisseur est donc :

D1

; e=3,6mm

2

D2 + D1
;
2

e=

e = ±0,1mm

Ecrivons le résultat de la mesure : e = ( 3, 6 ± 0,1) mm
Nous en déduisons l’incertitude relative :

e 0,1
=
3, 6
e

e
= 0, 03 = 3%
e

Exercice 1.8 :
m m
= 3
=3,041g/cm3
V a
Nous déduisons l’incertitude absolue de l’incertitude relative :
=

Calcul de la masse volumique :

=

m
a
+3
m
a

m
a
+3
m
a

=

0, 02 g / cm3

= 0, 0063 = 6,3 0 / 00

D’où l’incertitude relative :

= ( 3, 04 ± 0.02 ) g / cm3

Ecriture du résultat de la mesure :

Remarque importante :
Le nombre des chiffres significatifs conservés dans un résultat ne doit jamais impliquer
une précision supérieure à celle des données.
Un calcul ne peut qu’aboutir à un résultat dont l’incertitude sera au moins égale à celle de
la donnée la moins précise.
Exercice 1.9 :

m2
m3

=

Nous avons l’expression :

m1
m1

Remarquons que les trois masses sont dépendantes.
Appliquons la fonction logarithmique aux deux membre de l’équation :

log = log ( m2

m1 ) log ( m3

m1 )

Passons à la différentielle logarithmique :

d
Développons :
Factorisons :

A.FIZAZI

d

d

=

=

dm2
m2 m1

= dm1

d ( m2 m1 ) d ( m3 m1 )
m2 m1
m3 m1
dm3
dm1
dm1
+
m2 m1 m3 m1 m3 m1

1
m3

1
m1

m2

m1

Univ-BECHAR

+

dm2
m2 m1

dm3
m3 m1

LMD1/SM_ST

15

Calcul des incertitudes

Passons à présent aux incertitudes relatives, en remplaçant di par
signe ( ) des facteurs communs par le signe ( + ) ,

i et en changeant le
et

en

supposant

m1 = m2 = m3 = m (puisque nous utilisons la même balance). Il vient :

= m

1

1

m3

m1

=

2 m
m3 m1

Nous obtenons à la fin :

m2

m1

+

m
m
+
m2 m1 m3 m1

Exercice 1.10 :
a/ Groupement en parallèle :
La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en parallèle est
donnée par la formule : C = C1 + C2 .
Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la
différentielle logarithmique :

log C = log ( C1 + C2 )

dC1
dC2
dC
=
+
C C1 + C2 C1 + C2

L’incertitude relative est donc :

C1
C2
C
=
+
C C1 + C2 C1 + C2

C
C1
C2
C2
C
= 1
+
C
C1 C1 + C2
C2 C1 + C2

b/ Groupement en série :
La capacité du condensateur équivalent à deux condensateurs montés en série est donnée
par la formule :

C1

C2

C

1 1
1
=
+
C C1 C2

C=

C1C2
C1 + C2

Appliquons la fonction logarithmique aux deux membres de l’équation puis passons à la
différentielle logarithmique :

log C = log

C1C2
C1 + C2

log C = log C1 + log C2

log ( C1 + C2 )

L’incertitude relative est donc :

dC dC1 dC2
=
+
C
C1
C2
Factorisons :

dC
1
= dC1
C
C1

dC1
C1 + C2

dC2
C1 + C2

1
1
+ dC2
C1 + C2
C2

1
C1 + C2

L’expression précédente peut être écrite sous la forme :
C1
dC
C2
dC dC1
=
1
+ 2 1
C
C1
C1 + C2
C2
C1 + C2
Finalement l’incertitude relative demandée est :

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

16

Calcul des incertitudes

C1
C1
C2
C2
C
1
1
=
+
C
C1
C1 + C2
C2
C1 + C2
Exercice 1.11 :
Ecrivons l’expression donnée sous la forme : µ + m1 =

m2 (

m

2

m

)

1

En introduisant la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation nous
obtenons :

log ( µ + m1 ) = log m2 + log (

2

m

)

log (

m

1

)

La différentielle logarithmique de l’expression précédente est :

d ( µ + m1 ) dm2
d m
d m
d 2
d 1
=
+
+
µ + m1
m2
2
2
1
1
m
m
m
m
d m
d m
dm1
dm2
d 2
d 1
µ
d
Ou bien :
=
+
+
+
µ + m1
µ + m1 m2
2
2
1
1
m
m
m
m
C'est-à-dire :
µ + m1
µ + m1
µ + m1
µ + m1
µ + m1
µ + m1
d µ = dm1
+ dm2
+d 2
d m
d m
+d 1
µ + m1
m2
2
2
1
1
m
m
m
m
Et en fin, l’incertitude absolue demandée est :

µ + m1

µ = + m1 + m2

m2

+

2

µ + m1
2

+

µ + m1

m

2

m

+

µ + m1

m

+

1

m

1

µ + m1
m

1

Exercice 1.12 :
Après introduction de la fonction logarithmique dans les deux membres de l’équation
t

nous obtenons : log y = log y0 + log e
Sa différentielle est :

log y = log y0 + log e t
log y = log y0
d ( log y ) = d ( log y0 ) d ( t )
Posons X =

t

dX d
=
X

+

dt
t

dX = X

t
d

+

dt
t

D’où :

dy dy0
=
y
y0

t

d

+

dt
t

On passe à l’incertitude relative pour en déduire l’incertitude absolue :

y
y
= 0+ t
y
y0

A.FIZAZI

+

t
t

y= y

Univ-BECHAR

y0
+t
y0

+

t

LMD1/SM_ST


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