LES ANNEXES mécanique du point matériel .pdf2 .pdf



Nom original: LES ANNEXES_mécanique du point matériel.pdf2.pdfTitre: Microsoft Word - LES ANNEXES.docAuteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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253

ANNEXES

ANNEXE 1

ALPHABET GREC
Prononciation

Alpha
Bêta
gamma
delta
epsilon
dzêta
éta
thêta
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
oméga
omicron
pi
rhô
sigma
tau
upsilon
phi
Khi
Psi

Ahmed FIZAZI

Majuscule

Miniscule

B

"
$
&
)
,
/
1
4
6
:
<
?
A
C
E
G
J
M

Univ-BECHAR

#
%
'
*
µ
2
5
7
;
=
@
B
D
F
H
K
N

LMD1/SM_ST

254

ANNEXES

ANNEXE2
GRADIENT, DIVERGENCE, ROTATIONNEL ET LAPLACIEN
DANS DIFFERENTES COORDONNEES
(cartésiennes, cylindriques et sphériques).
Soit :

F : Une fonction scalaire
V : Une fonction vectorielle

Gradient d’un scalaire en coordonnées :
Cartésiennes : F = F ( x, y , z )

F
F
F
i+
j+
k
x
y
z

F=
Cylindriques : F = F ( r , , z )

F=
Sphériques : F = F ( r , ,

F
1 F
F
ur +
u +
uz
r
r
z

)
F
1 F
1
ur +
u +
r
r
r sin

gradF = F =

F

u

Divergence d’un vecteur en coordonnées :

Cartésiennes : V = V ( x, y , z ) , Vx = Vx ( x, y, z ) ,Vy = Vy ( x, y , z ) ,Vz = Vz ( x, y , z )

V
Vx
V
+ y+ z
x
y
z

divV = .V =

Cylindriques : V = V ( r , , z ) , Vr = Vr ( r , , z ) ,V = V

divV = .V =
Sphériques : V = V ( r , ,

divV = .V

Vr 1
V
+ Vr +
r r

) , Vr = Vr ( r ,

,

) ,V

( r,
+

= V ( r, ,

, z ) ,Vz = Vz ( r , , z )
Vz
z

) ,V

= V ( r, ,

Vr 2
1 V
1
1
+ Vr +
+
cos .V +
r r
r
r sin
r sin

)

V

Rotationnel d’un vecteur en coordonnées :

Cartésiennes : V = V ( x, y , z ) , Vx = Vx ( x, y, z ) ,Vy = Vy ( x, y , z ) ,Vz = Vz ( x, y , z )

Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

255

ANNEXES

rotV =

Vy

Vz
y

V

z

Vx
z

i+

Cylindriques : V = V ( r , , z ) , Vr = Vr ( r , , z ) ,V = V

Vz
rotV =

V
z

r

V=

r

Sphériques : V = V ( r , ,

Vr
z

ur +

) ,Vr = Vr ( r ,

,

Vr

V=

( r,

Vz
u +
r

) ,V

x

V
r
r

V +r

) ,V

V
r

r sin

r sin

Vr
uz

= V ( r, ,

)

V

r

ur +

r 2 sin

sin V

Vx
k
y

, z ) ,Vz = Vz ( r , , z )

= V ( r, ,
V

r cos .V + r sin
rotV =

Vy

Vz
j+
x

V +r
u +

V
r
r

Vr
u

Laplacien d’un scalaire en coordonnées :
Cartésiennes : F = F ( x, y , z )

.

(F) =

2

(F ) =

2

2
2
F
F
F
+
+
x2
y2
z2

Cylindriques : F = F ( r , , z )

.

(F) =

Sphériques : F = F ( r , ,

.

(F) =

2

)

2

2
1 F
F 1
+ 2 + 2
(F ) =
r r
r
r

F
2

2
2 F
F
1
F 1
+ 2 + 2
+ 2
(F ) =
cos .
r r
r
r sin
r

Laplacien d’un vecteur en coordonnées :

Cartésiennes : V = V ( x, y , z ) , Vr = Vr ( r , , z ) ,V = V

Ahmed FIZAZI

2

Univ-BECHAR

( r,

2

F
z2

+
2

F
2

1
+ 2 2
r sin

2

F
2

, z ) ,Vz = Vz ( r , , z )

LMD1/SM_ST

256

ANNEXES

.

( )

V =

2

( )

V =

2

Vy

2

2
2
Vx
Vx
V
+ 2 + 2x i +
2
x
y
z

x2

2

Vy

+

y2

2

+

Vy

j+

z2

2

2
2
Vz
Vz
V
+ 2 + 2z k
2
x
y
z

Cylindriques : V = V ( r , , z ) , Vr = Vr ( r , , z ) ,V = V
2

. V=

.V =

.

(V ) =

2

Vr

2
2

2
V
1 Vz
1
+ 2z + 2
r r
r
r

2

) , Vr = Vr ( r ,

,

) ,V

2
2 Vr
V
cos
(V ) =
+ 2r + 2
r r
r
r sin

, z ) ,Vz = Vz ( r , , z )

V

2

Vr
ur
2
z
2

V
u
z

+

2

Vz

2

+

2
2

Vz
uz
z

+

2

= V ( r, ,

Vr

1
+ 2
r

2
2 V
V
cos
+ 2 + 2
r r
r
r sin

V

2
V
2 V
cos
+
+ 2 + 2
r r
r
r sin

V

+

2

2
1 V
1
V
+
+ 2 + 2
r r
r
r

+
Sphériques : V = V ( r , ,

2
1 Vr
V
1
+ 2r + 2
r r
r
r

( r,

) ,V

2

Vr
2

1
r2

2

1
+ 2
r

2

+

= V ( r, ,

1
+ 2 2
r sin

V
2

V
2

)

2

Vr

1
r 2 sin 2

2

1
+ 2 2
r sin

2

+

ur

2

V
2

V
2

u
u

Gradient d’un vecteur (matrice 3*3) :

V = V ( x, y, z ) , Vx = Vx ( x, y, z ) ,Vy = Vy ( x, y, z ) ,Vz = Vz ( x, y, z )

Ahmed FIZAZI

Vx
x
Vy

Vx
y
Vy

Vx
z
Vy

x
Vz
x

y
Vz
y

z
Vz
z

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

257

ANNEXES

ANNEXE 3
FORMULES DE DERIVATION
1/ Principales règles pour le calcul des dérivées :
Si c est une constante et u = ( x ) , v = ( x ) deux fonctions dérivables, alors :

1/ ( c ) ' = 0

2 / ( x)' = 1

4 / ( cu ) ' = cu '

5/ ( uv ) ' = u ' v + v ' u
7/

3/ ( u ± v ) ' = u '± v '
6/

u
vu ' v ' u
'=
v
v2

c
cv
'= 2
v
v

2/ Table des dérivées des principales fonctions:

( )

1/ x n ' = nx n

1

2/

4 / ( cos x ) ' = sin x

5 / ( tan x ) ' =

1

7 / ( arcsin x ) =
'

1 - x2
1
'
9 / ( arctan x ) =
1 + x2

( )

( x )' = 2 1 x
(x

1)

'

1
x

(x

0)

19 /

'

1 - x2
-1
'
10 / ( arc cot x ) =
1 + x2

1
sin 2 x

(x

1)

'

log a e
1
=
x ln a
x

(x

0, a

0)

16 / ( chx ) = shx
'

1
ch 2 x

( Arshx )' =

-1

8/ ( arccos xx ) =

14 / ( log a x ) =

'

'

6 / ( cot x ) ' =

12 / e x = e x

15 / ( shx ) = chx
17 / ( thx ) =

1
cos 2 x

( )

'

11/ a x = a x ln x

13/ ( ln x ) =

3/ ( sin x ) ' = cos x

18 / ( cthx ) =
'

1

1 + x2
1
'
21/ ( Arthx ) =
(x
1 x2

20 /

1)

1
sh 2 x

( Archx )' =

1

x2 1
1
'
22 / ( Arcthx ) = 2
x 1

(x

1)

(x

1)

3/ Règles de dérivation des fonctions composées :
Si y = f ( u ) et u = ( x ) c'est-à-dire y = f
( x ) , telles que y et u sont dérivables,
alors :

Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

ANNEXES

258

y x' = yu' u x' , ou e utilisant la notation de Leibnitz

Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

dy dy du
= .
dx du dx

LMD1/SM_ST

259

ANNEXES

ANNEXE 4
FORMULES D’INTEGRATION
1/ Principales règles d’intégration :

( x ) = f ( x ) , alors f ( x ) dx = F ( x ) + C où C est une constante arbitraire.
b/ Af ( x ) dx = A f ( x ) dx où A est une constante.
c/
f1 ( x ) ± f 2 ( x ) dx = f1 ( x ) dx ± f 2 ( x )dx
d/ Si f ( x ) dx = F ( x ) + C et u = ( x ) , alors f ( u ) du = F ( u ) + C
a/ Si F

'

En particulier,

f ( ax + b ) dx =

1
F ( ax + b ) + C , sachant que ( a
a

0)

2/ Table d’intégrales types :

I/ x n dx =

xn 1
+ C, n
n +1

1

dx
= ln x
x
dx
x
x
1
1
III /
= arctan + C =
arccot + C
2
2
a
a
a
a
x +a
1
dx
x a
= ln
+ C (a 0)
V/
2
2
2a x + a
x a
II /

dx

0)

1
x+a
ln
+C
2a a x

(a 0)
a2 x2
dx
= ln x + x 2 + a + C ( a 0 )
VI/
2
x +a
dx
x
x
VI /
= arcsin + C = arccos
+C
2
2
a
a
a x
=

(a

ax
+ C (a 0) ;
VII / a dx =
ln a
VIII / sinxdx = cosx + C
x

(a

0)

e x dx = e x + C

IX / cosxdx = sin x + C
XIII /

dx
x
= ln tan +
+ C = ln tan x + sec x + C
cos x
2 4

XIV / shxdx = chx + C
XV / chxdx = shx + C

Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

260

ANNEXES

dx
= thx + C
ch 2 x
dx
XVII /
= cthx + C
sh 2 x

XVI /

3/ Méthode de substitution
a/ Changement de variable dans une intégrale indéfinie
En posant x = ( t ) où t est une nouvelle variable et
dérivable, on a :

f ( x ) dx = f

(t )

'

( t ) dt

une fonction continue

(1)

On doit veiller à bien choisir la fonction de manière que le deuxième membre de la
formule (1) ait une forme commode pour l’intégration.
b/ La substitution trigonométrique :
-Si l’intégrale contient le radical a

a2

x 2 , on pose en général x = a sin t , d’où

2

x 2 = a cos t .
- Si l’intégrale contient le radical x

x2

2

a 2 , on pose alors x = a sec t , d’où

a 2 = a tan t .
-Si l’intégrale contient le radical

x 2 + a 2 , on pose alors x = a tan t d’où

a 2 + x 2 = a sec t
4/ Intégration par partie
Si u = ( x ) et v = ( x ) sont deux fonctions dérivables, on a :

udv = uv

Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

vdu

LMD1/SM_ST

261

ANNEXES

ANNEXE 5
QUELQUES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Soit l’équation différentielle du second ordre : y "+ ay '+ by = c

a , b et c sont des constantes.
y "+ by = 0
Premier cas : a = 0, c = 0
Si b = 0 , la solution est y = C1 x + C2

C1 et C2 sont deux constantes d’intégration déterminées par les conditions initiales.

0 , la solution est y = C1 sin bx + C2 cos bx
C1 et C2 sont deux constantes d’intégration..

Si b

Si b

0 , la solution est y = C1 exp

(

)

bx + C2 exp

(

bx

)

C1 et C2 sont deux constantes d’intégration.
Deuxième cas : a

0, c = 0

y "+ ay '+ by = 0
2

= a2

L’équation caractéristique est r + ar + b = 0 , son déterminant est
deux radicaux sont 1 et 2 :
Si

C1
Si

C1
Si

4b , ses

0 , la solution est y = C1 exp ( r1 x ) + C2 exp ( r2 x ) :
et C2 sont deux constantes d’intégration.
= 0 , alors r1 = r2 = r0 , la solution est y = ( C1 x + C2 ) exp ( r0 x )
et C2 sont deux constantes d’intégration.
0 , alors r1,2 sont deux nombres imaginaires r1,2 = + i , et la solution

est y = exp ( x ) [C1 sin

x + C2 cos x ]

C1 et C2 sont deux constantes d’intégration.
Troisième cas : y " = 0, c = 0

ay '+ by = 0

L’équation devient du premier ordre et la solution est y = C exp

b
x
a

C est une constante d’intégration déterminées par les conditions initiales.
Quatrième cas : y " = 0

ay '+ by = c

L’équation devient du premier ordre et la solution est y = C exp

b
c
x +
a
b

C est une constante d’intégration déterminées par les conditions initiales.
Quatrième cas : y ' = 0

y "+ by = c

La solution est
Ahmed FIZAZI

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST

262

ANNEXES

y = C1 exp

Ahmed FIZAZI

b
x + C2 exp
c

Univ-BECHAR

b
c
x +
c
b

LMD1/SM_ST

263

ANNEXES

ANNEXE 6
FORMULAIRE TRIGONOMETRIQUE
+ sin 2

cos 2
tan
cot

=1

sin
cos
cos
=
sin
=

cos 2
sin 2

1
1 + tan 2
tan 2
=
1 + tan 2
=

cos (

) = cos

cos (

)=

sin (

)=

sin

sin (

) = sin

tan (

)=

tan

tan (

)=

tan

cot (

)=

cot

cot (

)=

cot

= sin

cos

= cos

sin

= cot

tan

= tan

cot

cos ( +

)=

cos

sin ( +

)=

sin

tan ( +

) = tan

tan

cot ( +

) = cot

cot

cos ( a + b ) = cos a cos b sin a sin b

cos ( a b ) = cos a cos b + sin a sin b

sin ( a + b ) = sin a cos b + cos a sin b
sin ( a b ) = sin a cos b cos a sin b
tan a + tan b
1 tan a tan b
tan a tan b
tan ( a b ) =
1 + tan a tan b
tan ( a + b ) =

Ahmed FIZAZI

cos
sin

2
2
2
2

cos 2a = cos 2 a sin 2 a
cos 2a = 2 cos 2 a 1
cos 2a = 1 2sin 2 a
sin 2a = 2sin a cos a
2 tan a
tan 2a =
1 tan 2 a
1 + cos 2a
cos 2 a =
2
1 cos 2a
sin 2 a =
2
1 cos 2a
tan 2 a =
1 + cos 2a

Univ-BECHAR

2
2
2
2

cos

+

= sin

+

= cos

+

= cot

+

= tan

a
2
a
1 cos a = 2sin 2
2
a
a
sin a = 2sin cos
2
2
2
a
1 t
cos a =
t = tan
2
1+ t
2
2t
sin a =
1+ t2
2t
tan a =
1 t2
1 + cos a = 2 cos 2

LMD1/SM_ST

ANNEXES

264

p+q
p q
cos
2
2
p+q
p q
cos p cos q = 2 sin
sin
2
2
p+q
p q
sin p + sin q = 2 sin
cos
2
2
p q
p+q
sin p sin q = 2 cos
cos
2
2

1
cos ( a + b ) + cos ( a b )
2
1
sin a sin b = cos ( a b ) cos ( a + b )
2
1
sin a cos b = sin ( a + b ) + sin ( a b )
2
cos a cos b =

tan p + tan q =
tan p tan q =

Ahmed FIZAZI

cos p + cos q = 2 cos

sin ( p + q )
cos p cos q
sin ( p q )
cos p cos q

Univ-BECHAR

LMD1/SM_ST


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