Mouv Espace EXO Corrigés .pdf



Nom original: Mouv Espace_EXO_Corrigés.pdf
Titre: (Microsoft Word - Mouv Espace_EXO_Corrig\351s.doc)
Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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Mouvement dans l’espace

102

Corrigés des exercices 4.22 à 4.27

27.4

22.4

Exercice 4.22 :
1/ Le vecteur vitesse :
1 2
3
bt .i + ct. j + bt 2 .k
2
2
Pour obtenir le vecteur vitesse on doit dériver le vecteur position par rapport au
Ecrivons l’expression du vecteur position : r =

temps :
x = vx = bt , y = v y = c , z = vz = 3bt
v = bt.i + c. j + 3bt.k

;

v = 10 ( bt ) + c 2
2

Dérivons le vecteur vitesse pour obtenir le vecteur accélération :
x = ax = b , y = a y = 0 , z = az = 3b
a = b.i + 3b.k ; a = 2b
2/ Equation de la trajectoire du point m : éliminons le temps entre les deux équations
horaires x ( t ) et y ( t ) :
x=

1 2
bt
2

t=

2x
2x
, y=c
b
b

Exercice 4.23 :
d
,
dt
vitesse

1/ Le vecteur tangentiel à la trajectoire est le vecteur vitesse v =

En
coordonnées
cartésiennes
le
vecteur
est
dr
v=
= i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k
dt
Son module est égal à : v = 36 + 64
v = 10m.s 2
Le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire C est porté par le vecteur v :
T=

2/ Si

v
=
v

3
3
4
sin 2t.i + cos 2t. j + .k
5
5
5

est le vecteur position du point M au temps t , alors v =

dr
= i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k
dt
3
3
4
sin 2t.i + cos 2t. j + .k
v = 10
5
5
5

v=

v = 10.uT = 10T

donc :

d
:
dt

v = i .6sin 2t + j .6 cos 2t + 8.k

v = v.T

Exercice 4.24 :
1/ Nous savons que le vecteur position en coordonnées cylindriques s’écrit :
OM = r = .u + z.u z
Nous en déduisons le vecteur vitesse par dérivation :
dOM
v=
= .u + .u + z.u z
dt

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Mouvement dans l’espace

103

=R

=0

u = u

v = R u + h uz

z=h
Le vecteur accélération est à son tour :
d 2 OM
a=
= v = R. .u + R. .u + h. .u z
dt 2
=0
a = R. 2 .u + R. .u + h. .u z
u = .u
2/ Le vecteur u est parallèle au plan OXY , donc l’angle que forme le vecteur vitesse
avec le plan OXY est égal à l’angle que fait le vecteur u avec le plan OXY , comme il est
indiqué sur la figure ci-dessous, en plus du fait que u
uz .
v

Z

v

uz

=R

z

u

vz
uz

M

u

r

uv
M

y

O

x

Y

M'

u

X

(

tan v, u

) = vv

z

=

h
R

(

tan v, u

) = Rh = Cte

3/ Le mouvement est rotationnel uniforme, cela veut dire que
a = R. 2 .u .

=

= Cte et

Le vecteur accélération a est parallèle à u , c'est-à-dire centripète, ce qui confirme qu’il
passe par l’axe du cylindre. u appartient au plan OXY , et a est parallèle à u , ce qui
montre que l’accélération est parallèle au plan OXY .
Nous venons de démontrer que l’accélération est centripète, donc :
v2 v2
=
r=
aN
a
R2 2 + h2 2
R2 + h2
=
v2 = R2 . 2 + h2 . 2
r=
r
,
,
2
R
R
a = R2 . 2

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Mouvement dans l’espace

104

Exercice 4.25 :
1/ a/ Le mouvement du point m s’effectue dans le plan XOY . Afin d’obtenir l’équation
de la trajectoire de ce point, on élimine le temps entre les équations horaires x ( t ) et y ( t ) .
Nous obtenons x 2 + y 2 = R 2 qui est l’équation d’un cercle de centre ( 0, 0 ) et de rayon R .

b/ Suivant l’axe OZ , l’équation de la trajectoire z = .t nous indique que le mouvement
est rectiligne uniforme verticalement.
c/ La trajectoire du mobile est la composition du mouvement plan et du mouvement
vertical, il en résulte un mouvement hélicoïdal.
2/ Dans le système de coordonnées cylindriques :
a/ Le vecteur position est : r = OM = .u + z.u z
r = OM = R.u + z.u z
b/ La vitesse et l’accélération du point M sont donc :
v = r = .u + .u + z.u z
v = R .u + b.u z , v = R 2 2 + b 2
u = .u = R .u

a = R .u
u =

a= R

.u = R .u

2

.u z

,

a=R

2

L’angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur u , d’après la figure ci-dessous, est :

=

tan

vz
b
=
v
R

Quant à l’accélération elle est centripète c'est-à-dire qu’elle est dirigée vers le centre
de la trajectoire circulaire.
c/ Le rayon de courbure est :
v2
r=
aN
R2 . 2 + b2
aN2 = a 2 aT2
aN2 = R 2 . 4 R 2 . 2 + b 2
r=
R 2 . 2 2 1 b2
2
2
2
2
aT = R . + b

(

)

(

v

Z

v

uz

=R

z

u

vz
uz

M

u

r
O

x
X

)

uv
M

y
Y

M'

u

Exercice 4.26 :
1/ Les expressions des vecteurs unitaires de la base ( ur , u , u

)

en coordonnées

cartésiennes sont :

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Mouvement dans l’espace

105
ur = sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k
u = cos .cos .i + cos .sin . j

sin .k

u = sin .i + cos . j

Expression de la dérivée u :
ur = cos .cos .i
ur =

.sin .sin .i + cos .sin . j + .sin .cos . j

cos .cos .i + cos .sin . j

sin .k

.sin .

sin .k

sin .i + .cos . j

u

u

ur = .u + .sin .u
Expression de la dérivée u :
u = sin .cos .i
u =

sin .sin . j + .cos .cos . j

.cos .sin .i

sin .cos .i + sin .sin . j + cos .k + .cos .

cos .k

sin .i + .cos . j

ur

u

u =

.ur + .cos .u

Expression de la dérivée u :
u =

.cos .i

.sin . j

u =

. cos .i + .sin . j

(1)

Cette expression n’est pas définitive…
Retournons aux expressions de u et u . Multiplions la première par sin et la seconde par
cos , nous obtenons :
ur .sin = sin 2 .cos .i + sin 2 .sin . j + sin .cos .k
( 2)
u .cos = cos 2 .cos .i + cos 2 .sin . j cos .sin .k
Additionnons les deux expressions pour obtenir :
ur .sin + u .cos = cos .i + sin . j

( 3)

Remplaçons maintenant dans l’expression (1) de u , elle devient :

u =

.[sin .ur + cos .u

]

2/ Démonstration de l’expression de l’accélération en coordonnées sphériques :
Nous partant de l’expression de la vitesse :
v = r.ur + r. .u + r. .sin .u
Dérivons la par rapport au temps :
a = r .ur + r.ur + r. .u + r. .u + r. .u + r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .u
Remplaçons par leurs expressions trouvées en 1/ :
a = r .ur + r. .u + .sin .u + r. .u + r. .u + r. .
.ur + .cos .u +
r. .sin .u + r. .sin .u + r. . .cos .u + r. .sin .

.[sin .ur + cos .u

]

Développons puis ordonnons :

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106

a= r

2

r.

r. 2 .sin 2

.ur + r.

.u + .sin .u

+

r. .sin + 2r. .sin + 2r. . .cos .u .u +
r. + 2r.

r. 2 .sin cos

.u

Exercice 4.27 :
1/ En coordonnées sphériques le vecteur position s’écrit : r = OM = r.u

a/ Dans le même système de coordonnées le vecteur vitesse s’écrit : v = r.ur + r.u
r = R = Cte

r =0

ur = .u + .sin .u
= Cte

v = R t.u

=0

= t2
=2 t
Le vecteur accélération avec les mêmes coordonnées s’écrit :
v = R t.u
a = R .u + R t. (

a = v = R .u + R t.u
u =
a=

.[sin .ur + cos .u

]

.R t sin .ur R .u

.[sin .ur + cos .u

a= R

.R t cos .u

2 2

t .ur

])

t .u + R .u

2 2

3.R

b/ Module du vecteur vitesse : v = R t
Module du vecteur accélération :
a=

(

2 2

R

t

) +(
2

a=R

3.R
4

2 2

t

)

2

+ (R

)

2

t +1

2 4

c/ L’accélération tangentielle :
aN2 = a 2

aT2

dv
=R
dt
a2 = R2 2 4
aT =

aN = 2 R

2 2

t

t +1

2 4

2/ En coordonnées cartésiennes le vecteur position est:
OM = x.i + y. j + z.k
1
R cos t
2
1
y = R sin sin = R sin t
2
3
z = R cos =
R
2

x = R sin cos

=

OM = r =

1
1
R cos t 2 .i + R sin
2
2

(

2

t. j +

3
R.k
2

)

a/ Les vecteurs vitesse et accélération dans la base i , j , k sont :
v = r = R t sin t 2 .i + R t cos t 2 . j
a=v =

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R sin t 2

2R

t cos t 2 .i + R cos t 2

2 2

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2R

2 2

t sin t 2 . j

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Mouvement dans l’espace

107

Les modules de la vitesse et de l’accélération sont :
v=R t

a=R

;

1+ 4

2 4

t

Les deux modules de la vitesse et de l’accélération sont compatibles avec le résultat
de la question 1/b
3/ Trajectoire du point mobile :
x2 + y 2 + z 2 = R2
1
x2 + y2 = R2
3
4
z=
R
2
R
Nous en concluons que ce point matériel M décrit un cercle de rayon et de
2

centre 0, 0,

3
R . Quant au vecteur position, il décrit un cône de sommet O et dont le bord
2

est le cercle décrit.
4/ Nature du mouvement du point M : la trajectoire est un cercle, le module de la
vitesse est constant et l’accélération tangentielle est constante, donc le mouvement est
circulaire uniformément accéléré.
Z

3 O' R/2
.R
2

O

Y
R

X

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