Mouv Espace EXO Enoncés .pdf


Nom original: Mouv Espace_EXO_Enoncés.pdfTitre: (Microsoft Word - Mouv Espace_EXO_Enonc\351s.doc)Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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Mouvement dans l’espace

99

**

EXERCICES
Exercice 4.22
On donne les équations du mouvement d’un point

(

M dans un repère O, i , j , k

:22.4
M

):

1
3
x = bt 2 , y = ct , z = bt 2
2
2
Où b, c sont des constantes positives.
1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs
modules.
2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m
qui représente la projection verticale du point mobile
M sur le plan XOY .

(

: O, i , j , k

1 2
3
bt , y = ct , z = bt 2
2
2
.
c, b
. !
" #
$ #
% /1
# '
m
#
&
/2
. XOY ) #
$
M
(
x=

Exercice 4.23
Soit la trajectoire définie par :

:* +,

r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )

1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la
trajectoire.
2/ Si
est le vecteur position d’un point se
déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas

x = R cos

; y = R sin

, z=h

R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel
est tracé l’hélice, h est une constante et
l’angle que
fait avec OX la projection OM ' de OM
sur XOY .
1/ Donner en coordonnées cylindriques les
expressions de la vitesse et de l’accélération.
2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan
XOY un angle constant.
3/ Montrer que le mouvement de rotation est
uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe
du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le
rayon de courbure.

. #
$
4/&

#
12
% 5

T .
" " - &
6 t 3

% /1
/0 /2
C #
. v = v.T

:24.4
1 OZ
'
8
7
#
#
: &
7 9
x = R cos ; y = R sin , z = h
#
#:
; +< ' R
! <
7
h 6 7
! $
. XOY $ OM * OM ' # OX
$ #
$
#:
=
$0 /1
." #
1
7 1 < $ # " - % , /2
. XOY ) #
" - %
6 3
% , /3
) # (7
#:
, " #
.>
; +< ?# % . XOY

Exercice 4.25
Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi :

x = R cos t ; y = R sin t , z = t
Où ,
, R sont des constantes positives.
1/ soit m la projection de M dans le plan XOY :

A.FIZAZI

:23.4
C #

r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 )

v = v.T .
Exercice 4.24
Un point M décrit une hélice circulaire d’axe
OZ .
Ses équations horaires sont :

)

Univ-BECHAR

:25.4
:
5 > 2@
A,
'
x = R cos t ; y = R sin t , z = t
.
, , R 9:;

LMD1/SM_ST

Mouvement dans l’espace

100

a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans
le plan XOY ?
b/ Quelle est la nature du mouvement de m
suivant l’axe OZ ?
c/ En déduire la nature de la trajectoire du
mobile M .
2/ dans le système des coordonnés cylindriques :

OM et
représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de

: XOY ) #
M
B XOY
m
B OZ
5 m
.M A
#
:
#:
'E
OM 12
" .> 2@
M

.$

a/ écrire l’expression du vecteur position

l’espace.
b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi
que leurs modules. Déterminer leurs directions puis
les représenter en un point de l’espace.
d/ en déduire le rayon de courbure.
Exercice 4.26
1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de
la base

(u , u

)

,u

r

en coordonnées cartésienne,

6M * " #
$ #
.> 2@
$ !

. !

.>

(u , u

,u

r

2/

Montrer

( ur , u , u

)

(

a= r

r

(
+(r

que

.ur + cos .u

l’accélération

)

dans

+ r + 2r

r

2

sin
2

r

2

)u

r

la

base

sin + 2r .sin + 2r

r

) , un point

,u

)u

)u

d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées
sphériques sont:

(

)

6

rad ,

(
+(r

+

cos

= t2 ,

(u , u
r

&

(u , u
r

,u

2

r

2

)u

r

/2

% &

+

)u

sin .cos

sin + 2r .sin + 2r

+

cos

)u

:27.4

)

=
H #

(

=

" #

sin 2

r

)

.ur + cos .u

) .$

)

6 = OZ , OM =
12
4/!

,u ) ,

b/ calculer les modules de la vitesse et de
l’accélération,
c/ en déduire l’accélération normale.
2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur
position en coordonnées cartésiennes :
a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la

A.FIZAZI

2

; +< .

Avec
constante positive.
1/ Partant de l’expression du vecteur position en
coordonnées sphériques :
a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile
dans la base

r

,u

+ r + 2r

M se déplace sur la surface

= OZ , OM =

r

(

Exercice 4.27
Dans le système des coordonnées sphériques

(u , u

(u , u

:?
a= r

+

sin .cos

( sin

u =

s’écrit :
2

) >?@ABCD >?;DE FGHI JDKAL@ MN AOPQRD /1

ur = .u + .sin .u

ur = .u + .sin .u

( sin

; +< D #0 /C

;F
E G 6 FST:UKAVCD JA:WD?;XAY
u = .ur + .cos .u

:

.ur + .cos .u

u =

% /?
! ! ,

:26.4

s’assurer des expressions suivantes :

u =

# m
/1
# & /
" & /?
$ D #0 /C
=
/2
. $ ? % /
$ (u , u , uz )

$ M
: &
6

&

A
0 .R

= t2

rad ,

.?
" - . $

1

;F
/1
:
$ #
% /
6 ( ur , u , u ) . $

" #

6" #

12

$ #
?# % /?
. 3 " # D #0 /C
" - . $
.
4/& ;F
/2
:
I=

(i , j, k ) . $

Univ-BECHAR

" #

$ #

%/

LMD1/SM_ST

Mouvement dans l’espace
base

101

( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules

D8

et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la
question 1/b,
3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la
représenter qualitativement,
b/ Quelle est la nature du mouvement du
point M ?

A.FIZAZI

Univ-BECHAR

1

!
. @

G
#

' BM
BM

!

?#
6?/1 ' J#
# & / /3
/?

LMD1/SM_ST


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