Travail Energie EXO Enoncés .pdf



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214

Travail et énergie

**

EXERCICES
Exercice 6.1
Une particule est soumise à une force définie par ses
coordonnées cartésiennes :

1.6

F = ( x + 2 y + z) i + ( x 3y z) j +

( 4x +

F = ( x + 2y + z)i + (

y + 2z ) k

, ,



sont des constantes.

( 4x +

x, y, z sont en

, ,

!

pour que F dérive

(

& /1
.!
& /2

, , %

'

)

. E p ( 0, 0, 0 ) = 2 !& .) F

E p ( 0, 0, 0 ) = 2 .

Exercice 6.2
On considère dans un repère cartésien un champ de

2.6
:2

) F/ . 0

%. 1
1
F = X ( x, z ) i + yzj + x 2 + y 2 k
2

forces F d’expression :

F = X ( x, z ) i + yzj + x 2 +

F !

, ,

*" + ( ,- E p ( x, y, z ) !

2/ Trouver l’expression du potentiel E p ( x, y, z )

dont dérive la force sachant qe

y + 2z ) k
x, y , z

.! " F

mètre et F en newton.
1/ Trouver les valeurs de
d’un potentiel.

:
x 3y z) j +

1 2
y k
2

1

"

Ep "
4 ! F + ( 1 X ( x, z ) !3) /1
!& .) 2 " 1
énergie potentielle E p que l’on calculera, sachant que - 5 " . O 1
."
4. 6
Oxy /
la force est nulle en O . On prendra le plan Oxy comme
! .
4 '.) ! 7.
! 4 8 & /2
origine des énergies potentielles.
:
4
9
,2. Calculer alors, par deux méthodes différentes le
long
de
l’hélice
d’équations
x = R cos , y = R sin , z = h
paramétriques x = R cos , y = R sin
, z=h ,
4 " ' 6 M1 ( = 0 ) 4 " ! F
)
le
travail
de F du
point
M 1 ( = 0 ) au
. M2 ( = )
point M 2 ( = ) .
'.)
"
7.
" '.) : " ; /3
1. Déterminer

X ( x, z ) pour que F

dérive d’une

3. Obtiendrait-on un résultat différent en calculant le
travail le long d’une autre courbe ?

<

Exercice 6.3
Une particule matérielle de masse m se déplace
sous l’action de la force :

(

:
>
m 2.
2
2
F = ( x + y ) u x + xzu y + xyu z

)

C ( 2, 4, 1) ,
d/

la

ABCD où B ( 2, 2, 1) et

courbe

paramétriques : x = t

A.FIZAZI

définie

par

les

, y = t2 , z = t ,

"

. D ( 2, 4, 2 ) 4 " ' 6 A(1, 2, 1) 4 " !

1) au point D ( 2, 4, 2 ) .

Calculer le travail de la force F suivant chacun des
trajets suivants :
a/ la droite AD ,
b/ la ligne brisée

4

3.6

F = x 2 + y 2 u x + xzu y + xyu z
Du point A(1, 2,

= '" "

:

?

B ( 2, 2, 1)

équations
sachant

Univ-BECHAR

! ?.

+
ABCD

F

)8
AD %
"
4

: 4
9
A
2
x=t , y =t , z =t

&
/
/8

C ( 2, 4, 1)
'" " /@

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215

Travail et énergie
que la particule quitte le point A à l’instant t A
et atteint le point D à l’instant t D

=0

tA = 0 B . 1 A !
.4"
4 " !& .)
. t D = 2s B . 1 D 4" ' 6 :

= 2s .

Exercice 6.4
Une particule de masse

4.6

m se déplace sous l’action
k
d’une force attractive F =
u . La trajectoire est
r2
.

m

un cercle de rayon . Montrer que :
a/ l’énergie totale est E

=

k
,
2

k
&
2
k
'v =
&
m
. L = mkr &

'E =

k
b/ la vitesse est v =
,
m
c/ le moment cinétique est

L = mkr .

Exercice 6.5
Une particule se déplace depuis l’origine O jusqu’au
point A défini par
l’action de la force

k
u
r2
:!" ! #

.F =

r = 3u x + 4u y + 16u z sous

F = 7u x + 6u y . Calculer :

a/ le travail effectué. Est-il nécessaire de spécifier le
chemin suivi par la particule ? justifier.
b/ la puissance moyenne s’il faut 0, 6s pour aller
d’un endroit à un autre.
c/ la variation de l’énergie cinétique sachant que la
masse de la particule est 1kg .
e/ la vitesse finale si on considère la vitesse initiale
nulle.
f/ la différence d’énergie potentielle entre les deux
points. Que remarquez-vous ? Déterminer l’énergie
potentielle
au
point B
défini
par
r ' = 7u x + 16u y 42u z .

/
(

/

*+, /)

5.6
A 4" '
>

?.
!

.
<B
C

O 6
! 04"
?
r = 3u x + 4u y + 16u z C

& . F = 7u x + 6u y
D
; . "
/
. .) <
!
"9 ! -6 4
)4
/8
. 0, 6s 8.4
= '6
. !& .)
4 1 E /@
. 1kg 1;
F 9 )
" ) -6 F 2" )
/
0 - .! 4 " ! "
4 1 E /G
B 4" 1
"
4
. r ' = 7u x + 16u y 42u z

Exercice 6.6
Une grenade lancée horizontalement avec la

:8
% 0 !

6.6
7"
v = 8ms )
&
." '
1
vitesse v = 8ms , explose en trois fragments à masse
..
B( 0 ' 6 4("
égale.
&
"9
:
' H
4
Le premier fragment continue à se déplacer
1
1
: "
4
v = 16ms )
horizontalement à v = 16ms , un autre est lancé vers '.)H ' 6
le haut suivant un angle de 45° et le troisième est
4
4
+H
45° ":
projeté suivant le même angle vers le bas.
. 7 H "!
I7"
Trouver la grandeur des vitesses des fragments deux
.
" ! B( 1 ) !
(8 &
1

et trois.

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216

Travail et énergie

Exercice 6.7
Une masse M = 100 g est attachée à l’extrémité
d’un ressort disposé horizontalement, comme indiqué
sur la figure ci-dessous, et dont la constante de raideur

7.6

*"
J " 2" 1 M = 100 g .
1 > .(+
( )
& K
k = 20 Nm 1
1
1
est k = 20 Nm . Une masse m = 50 g se déplaçant % 4: v0 = 0.5ms
)
m = 50 g .
1
.
.
J 7" . 7
M .
à la vitesse v0 = 0.5ms vient heurter la masse M
initialement au repos. On suppose le système isolé.
M . . x0 1 B)H
"9
v )
8 & /1
1/ Calculer la vitesse v et le déplacement
M 1) J
!
% :
1 %:
maximal x0 de la masse M après le choc, en
.% :
!
m
considérant le choc comme étant élastique, et en
4 E "9
( M + m ) . . v ' ) 8 & /2
supposant que les vitesses de M et m sont parallèles
après le choc.
.! . % :
1 J ". x0' 1 B)H
2/ Calculer la vitesse v ' du système ( M + m ) et la J ". 1 B)H 4 E "0 A :
8 & /3
compression maximale subie par le ressort dans le cas
.! . % :
1
du choc mou.
3/ Calculer le travail dépensé pour la compression
maximale du ressort toujours dans le cas du choc mou.

M

k

v0

Exercice 6.8
Un corps M de masse m est soumis à un champ de
forces à symétrie sphérique, et d’ énergie potentielle
de la forme : E p ( M ) = Kr e
2

r 2 / a2

, où K et

a

sont des constantes positives et r = OM la distance
entre le corps M et l’origine O d’un repère inertiel.
1/ Représenter graphiquement E p ( r ) en fonction

de , sachant que la dérivée seconde de l’énergie est
positive pour r = 0 , négative pour r = a et tend vers
zéro en valeurs positives quand r
.
2/Trouver l’expression de la valeur maximale de
l’énergie E p .
3/ Trouver les positions d’équilibre sur l’axe X ' OX
où X est l’abscisse du corps:
X + .
4/ Quelles sont les positions d’équilibre stable ?
justifier votre réponse.

m

8.6
,

m*.

B" * /

M %

E p ( M ) = Kr 2e r / a : ( !
"
* 4
M%
r = OM !
!
a K
.1 4) %. O 6
!)
( !& .)
9 E p ( r ) '" " % & /1
r = a ")
r = 0 ")
4. "
.r
&!
%
7:
" N
. E p 4. ' B
)
/2
2

X ' OX

.?

2

'.) !
.
X + :%
6 .) <
!
. F (M )

/3
.: X
1; /4
)

/5

5/ Trouver l’expression de la force F ( M ) .

Exercice 6.9
Une particule de masse m est lâchée en A sans
vitesse initiale. (Figure ci-dessous). On cherche à
savoir quelle doit être la hauteur H pour que la
particule atteigne le point S sommet de la gouttière.
1/ Appliquer le théorème de l’énergie mécanique
pour calculer la vitesse vB au point B .

A.FIZAZI

9.6
. F
)
!
A! m 2 .
?
HK7 9 ;
A "
" .( 7 H 1
( )
./
S 4"
O. 1 % 0
vB )
8
"
4
B" + 4 /1
.B 4 " 1

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217

Travail et énergie

2/ Exprimer h en fonction de et .
3/ Appliquer le théorème de l’énergie mécanique
pour calculer la vitesse vC au point C en fonction de

h et vB .
4/ En appliquant le théorème fondamental de la
dynamique, déduire la valeur de la réaction R en
fonction de m, r , , vB et g .
5/ Démontrer que la vitesse minimale que doit
acquérir la particule au point B pour atteindre le
point S est

vB ,min = 2 gr .

9 h !) ) /2
vC )
8
4
B" + 4 /3
. vB h 9 C 4 " 1
P" 6 ? .
H
B" + 4 /4
. g m, r , , vB 9 R 7
'.) 8 1
E:H )
!& !; /5
S 4"
O.
B
4"
1
2
. vB ,min = 2 gr 1;
.
"

8 & B 4" 1 )
vB ,min 6/ En prenant vB ,min la vitesse au point B , calculer
4 " ,& 1 <Q.
- .S B! 4 "
< 7
la réaction aux points B et S . Que conclure ? En quel
point la réaction s’annule-t-elle ?
2 .)
!& 8 1 v0,B )
1;
7/ Quelle est la vitesse v0,B que doit avoir la particule
!& ! S 4 " ' 6 : 1 B 4 " 1
au point B pour atteindre le point S sans que la
< " H
1; < G
7
7
% "

réaction ne change de signe ? Quelle est la valeur
de H correspondante ?

/6
1
/7
E

A
S

H

O

C

h

B

Exercice 6.10
Trois billes de masses m1 , m2 , m3 reposent dans une

10.6

1 &/
1 m1 , m2 , m3 2.
0
G
1 F
)
m1
. .
est poussée avec une vitesse initiale dans la direction
@
m1
%:
;
1
m2
de la bille m2 qui à son tour, et après le choc
' H ! :
) .2 :
m3 G
1
avec m1 , roule dans la direction de m3 et l’heurte. En
1
1;
"
1 .4
"
considérant les premier et deuxième chocs !& 8
parfaitement élastiques, quelle doit être la vitesse que % :
m3
) ! ' m2
;- >
doit prendre la bille m2 pour que la vitesse de la
. B)&
bille m3 soit maximale ?
gouttière horizontale parfaitement lisse. La bille m1

Exercice 6.11
Le corps de la figure ci-dessous a une
masse m = 5kg . Partant du repos, il glisse sur un plan

11.6

m = 5kg 1; . *.7 & ( '.) !
%
F
/
'.) + "
!
! +.4"
incliné d’un angle = 60° par rapport à
,- J " O. '
+R
"
= 60°
l’horizontale, jusqu’à ce qu’il atteigne le ressort R de
1
k = 5000 N .m * "
l0 = 40cm * 4
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218

Travail et énergie

= 40cm , de constante de

S * 4
I
?
1
raideur k = 5000 N .m , et dont l’autre extrémité C
AB = a
est fixée au bout du plan. On suppose qu’une force de
1 '.) % " % µ = 0, 2 ,
frottement s’oppose au mouvement du corps sur le
segment AB = a , le coefficient de frottement
4 '.) ? 9
8 & /1
cinétique étant µ = 0, 2 , puis elle s’annule sur le reste
!
)
8 & /2
du trajet BC = 2a .
2 %: 1 v )
% B 4"
1/ Calculer la force de frottement sur le segment AB .
<J " 4 E "
; /3
2/ Calculer la vitesse acquise par le corps au point B ,
*
"
F /
'.) %
: % /4
puis la vitesse v avec laquelle le corps heurte le
% 4:9 4 " ! T
'.)H ' 6
! J "
ressort.
<
! %
: !& J
H
3/ De combien le ressort se déforme-t-il ?
2
4/ De combien le corps remonte-t-il sur le plan incliné
. g = 9,8ms - >"
longueur

à

vide l0

J 7" ./
4
'.)
1
?
. BC = 2a ?.
. AB
1 %
A 4
.J " %

2" 1

%
9

lorsqu’il est repoussé par le ressort vers le haut à partir
du point où a eu lieu le premier choc, en supposant
que la remontée se fait sans frottement ?
On prend g

= 9,8ms 2 .

A

m

a

2a
B

l0

C
Exercice 6.12
On abandonne sans vitesse initiale à l’instant

t=0

m en un point M 0 de la
face convexe d’une sphère de centre O et de rayon R ,
un point matériel de masse

sur laquelle il est susceptible de glisser sans
frottement. (Figure ci-dessous).
1/ En n’appliquant que le théorème de la
conservation de l’énergie trouver la vitesse
angulaire en fonction de R, g , et .
2/ En appliquant le principe fondamentale de la
dynamique trouver la réaction du support en fonction
de , , m et g .
3/ Pour quel angle

0

le point matériel quitte-t-il la

sphère ? Discuter le résultat.

A.FIZAZI

12.6
F
) ! m 2.
4" ? "
! + " M0 4 " ! t = 0 B . 1
O ;
8
*
'.)
.( 7 H 1 ( ) . R ; 4 A:"
& 4
4 B7 "
B" + 4 /1
.
R, g ,
9
)
& ?
. 1 H 6
+ 4 /2
.g
, ,m 9
4"
E 0
,& & ! /3
. " U "<

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219

Travail et énergie

M0
M

R

O

Exercice 6.13
Un corps de masse m se déplace sur l’axe x ' Ox .
Son
énergie
potentielle
est
donnée
par
l’expression E p

=K

constantes positives.
1/
Représenter

= f ( x) .

courbe E p

x
, où K et a sont des
x + a2
2

l’allure

générale

de

13.6
K

Soit un référentiel

(

2"

)

extrémité est fixée en O ' ( OO ' = a ) . Le fil possède
une raideur k et une longueur à vide l0 . Le point P
est repéré par l’angle ( Ox, OP ) =

.

O ' P en fonction de a,

dans la base polaire ur =

OP
,u
a

. En déduire

l’expression du module O ' P .
b/ Exprimer la tension T du fil en fonction
de a, k , l0 et dans cette même base.
2. a/ Déterminer l’expression du vecteur vitesse v
dans la base polaire.
b/ On note F la résultante des forces exercées sur la
bille P . Donner l’expression de la puissance F .v en
fonction de a et .
(c) En déduire l’énergie potentielle E p dont dérive
la force F .
3. (a) On suppose vérifiées les relations suivantes
entre les paramètres :

a=

A.FIZAZI

2mg
mg
, l0 = 3 a
k
k

"0
A:"

4
F

k "

4

"

a
( % & /1
& /2
.
E

.!

!

,-

!

P 4"
4 '.) ?
!
.( 7 H 1 ( ). a ; 4
14 4 4 ' 6 4
P 4"
4 . . ( OO ' = a ) O ' 1
S A 4

. l0

1 a,
)

?

m 2.
A:"

P 4"

)

%

14.6

. ( O, u x , u y , u z ) %.

de repère O, u x , u y , u z .

Une bille assimilée à un point P , de masse m , est
astreinte à se déplacer sans frottements le long d’un
demi-cercle de rayon a .(Figure ci-dessous).
Le point P est attaché à un fil élastique dont l’autre

1. a/ Exprimer le vecteur

. E p = f ( x ) '" " . %
!

la

2/ Trouver les positions d’équilibre en précisant
celles qui sont stables et celle qui sont instables.
Exercice 6.14

'.) m *".
x
Ep = K 2
:
x + a2

* 4 . x ' Ox

9

P" 6

V

;

. ( Ox, OP ) =

O ' P K ( !)
. ur =

OP
,u
a

4

) / .1
4

.O'P (
a, k , l0 9 4 . T
!) ) /8
. ) I7" 1
)
1 v )
K (
)
/ .2
. 4
'.)
4 /
.:
FC
" /8
.
a 9 F .v ) 4 9
) 4)6 . P
. F 2" + ( 1 E p "
4 P " 6 /@
:
!
0 J 7" / .3
2mg
mg
, l0 = 3 a
a=
k
k
& !
!
1
;
2
1

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220

Travail et énergie
Quelles sont les positions d’équilibre
pour 0

2

et

1

<0

2

?

. 2 .) :

!"

I & /8

2

(b) Étudier la stabilité des équilibres obtenus.

O'

O

y

P
x
Exercice 6.15
Deux pendules simples de même longueur l , sont
suspendus au même point

O . Les billes B1 et B2 qui

m1 et m2 , et
seront supposées ponctuelles. Au départ, B1 et B2
sont en équilibre. On écarte B1 d’un angle 0 , puis
les constituent possèdent les masses

on l’abandonne sans vitesse initiale.
1/ Déterminer les vitesses v1 et v2 de
le choc, en fonction de

B1 et B2 après

, l , g et du rapport des

x = m1 / m2 ; ainsi que les angles d’écart
maximum 1 et 2 de B1 et B2 après le choc, en
fonction de et x dans les deux cas :
masses

a/ en supposant la collision parfaitement élastique
(que se passe-t-il pour x 1 ; x = 1 ; x 1 ?) ;
b/ si on enduit

B1 et B2 de glu, de manière à rester

collées après la collision (choc mou).
2/ Application numérique : 0 = 60° .
a/ On se place dans le cas1/a/ :
pour quelle valeur de x les pendules remontent-ils
en sens contraires, du même angle que l’on
déterminera ?
b/ Pour x = 2 , déterminer les angles d’écart dans les
cas 1/ a / et 1/ b / .

A.FIZAZI

15.6
I7" 2 ! 4 ! " O 4 " I7" 1 +.
2 2. ( ! . B2
B1 !
.l 4
1 .! 4 " 2
7"
m2
m1 ! .
%
B1 D " .!
1 m2
m1
0
. F
) !
2 "
m2
m1 C v2
v1 ! )
/1
W x = m1 / m2 ! .
" g, l,
9 %:
m1 C 2
"9 1
1 1 B)H A
:!
1 x
9 %:
m2
,) "
% 4:9 J
/
W(< x 1 H x = 1 H x 1 & !
!
T E
m2
m1 " .4
/8
.(! . % : ) % :
! :.
. 0 = 60° :, ) + 4 /2
:/ /1
- "/
!;
1 ! " : xC
,& & !
< 2" 8
I7" !
1 A "9 1
x=2
& ! /8
./8/1 / /1!

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