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Vecteurs cours .pdf



Nom original: Vecteurs_cours.pdf
Titre: Microsoft Word - Vecteurs_cours.doc
Auteur: FIZAZI@PRIVEE-EBB6C4AF

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17

Rappel sur le calcul vectoriel

II/ RAPPEL SUR LE CALCUL VECTORIEL
$ $ $ $ !$ $ $

1/ GRANDEUR SCALAIRE(

$ $%&$

)

Une grandeur scalaire est toujours exprimée par une valeur numérique suivie de l’unité
correspondante.
Exemple : le volume, la masse, la température, la charge électrique, l’énergie…
)
2/ GRANDEUR VECTORIELLE(
On appelle grandeur vectorielle toute grandeur qui nécessite un sens, une direction, un
point d’application en plus de sa valeur numérique appelée intensité ou module.
Exemple : le déplacement, la vitesse, la force, le champ électrique…

3/ REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UN VECTEUR (
Un vecteur est représenté par un segment orienté (figure2.1).

):

V : représente le vecteur (avec ses quatre caractéristiques).
V = V = V : représente le module ou l’intensité du vecteur.

V
O
Fig 2.1: représentation d’un vecteur

): c’est un vecteur de module égal à l’unité (le
4/ LE VECTEUR UNITAIRE (
nombre un).
On peut exprimer un vecteur parallèle au vecteur unitaire sous la forme :

V = uV = V u

(2.1)

u

V

O

Fig 2.2: vecteur unitaire

:

5/LA SOMME GEOMETRIQUE DES VECTEURS (
)
Cette opération fait appel au dessin, c’est pour cette raison qu’on la qualifie de
géométrique.
La somme de deux vecteurs : c’est une opération commutative.
On calcule le module du vecteur résultant à partir de la loi des cosinus (
que nous démontrerons plus tard :

D = V12 + V2 2

A.FIZAZI

2VV
cos
1 2

Univ-BECHAR

!

" #)

(2.2)

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18

Rappel sur le calcul vectoriel

V2

V2

V

V

V = V1 + V2
V = V2 + V1

V1

V1

Pour déterminer la direction de V , il suffit de chercher la valeur de l’angle
(figure 2.4). Raisonnons à partir du triangle ACD de la figure 2.5 :
sin

sin

=

=

CD CD
=
AC
V

V
V
= 2
sin
sin

CD CD
=
BC V2

(2.3)

= V 2 .sin

V .sin

C

V2

V

E

0
A

V1

B

D

De même dans le triangle BEC nous avons :

sin
sin

A.FIZAZI

BE
BC
BE
=
AB
=

V2
V
= 1
sin
sin

Univ-BECHAR

V2 .sin

= V1.sin

(2.4)

LMD1/SM_ST

19

Rappel sur le calcul vectoriel

De (2.3) et (2.4) nous pouvons en déduire la formule générale (2.5), appelée loi des sinus
" #):

(!

V
V
V
= 1 = 2
sin
sin
sin

(2.5)

V2
V1
La somme géométrique de plusieurs vecteurs : (voir figure2.5)

Cas particulier : Si

2

=

2

alors V = V1 + V2

2

et tan

=

V = V1 + V2 + V3 + V4 + V5

V

V3
V2

V4
V5

V1

O

Fig 2.5: Somme de plusieurs vecteurs

La soustraction de deux vecteurs : ("
' ( ) figure 2.6
Géométriquement, le vecteur D représente le résultat de la soustraction entre les deux
vecteurs V2 et V1 . Nous pouvons écrire : D = V2 V1
Cette équation peut aussi s’écrire : D = V2 + ( V1 )
La soustraction de vecteurs est anticommutative, c’est ce qui ressort de la figure 2.6 :

D'=

D
Le module du vecteur D :

D = V12 + V2 2

A.FIZAZI

2VV
cos
1 2

Univ-BECHAR

(2.6)

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20

Rappel sur le calcul vectoriel

6/ COMPOSANTES D’UN VECTEUR (
) % ):
Chaque vecteur peut être considéré comme étant la somme de deux vecteurs ou plus (le
nombre de possibilités est illimité).
Dans le plan, soit le repère R (O; i , j ) :
En coordonnées rectangulaires : on décompose le vecteur V suivant l’axe des X et
l’axe des Y, comme indiqué sur la figure2.7.
Y
V

Vy

V = Vx + Vy
V x = V cos
V y = V sin

u

j
O

i

X

Vx

Fig 2.7: Composantes d’un vecteur

En désignant les deux vecteurs unitaires i et j , respectivement dans les directions des
deux axes OX et OY, nous pouvons écrire :

Vx = i .Vx , Vy = j .Vy

;

V = Vx + Vy ; V = i .Vx + j .Vy ;
V = i .V cos + j .V sin

(2.7)

V = V (i .cos + j .sin )

Or V = u .V , d’où :

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Rappel sur le calcul vectoriel

u = i .cos + j .sin
2

Quant à la norme du vecteur V , elle vaut : V = V x + V y

(2.8)
2

En utilisant les coordonnées x et y nous pouvons aussi écrire : V = x 2 + y 2
Exemple 2.1 : Trouver la résultante des deux vecteurs V1

x1
x
; V2 2
y1
y2

dans le repère

R (O ; i , j ) .
Réponse :

; V = i ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 ) D V = ( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 ) 2

V = V1 + V2

Exemple 2.2 : Trouver la différence des deux vecteurs V1

x1
x
; V2 2
y1
y2

dans le repère

R (O ; i , j ) .
Réponse :
V = V1 V2

; V = i (x 1

x 2 ) + j ( y1

V = ( x1

y2 )

x2 )2 + ( y1

y2 ) 2

Dans l’espace : dans le repère R (O; i , j , k ) (base orthonormée), nous remarquons

que V = V x + V y + V z

V = i .Vx + j .V y + k .Vz . (figure 2.8)

Z

Vz

r

k

i

V

j

Vy

Y

Vx
X
Fig 2.8: composantes d’un vecteur

Nous pouvons nous assurer géométriquement que :

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22

Rappel sur le calcul vectoriel

cos =
sin =
cos =
sin =

Vz
r

Vz = r.cos
= r.sin ;

r
Vx
Vy

Vx = .cos

Vx = r.sin .cos

Vy = .sin

Vy = r sin .sin

En résumé :
V x = V sin . cos

(2.9)

V y = V . sin . sin
V z = V . cos

Quant au module du vecteur V il est égal à : V = Vx 2 + V y 2 + Vz 2
Ou en coordonnées cartésiennes : V =

x2 + y2 + z 2

Remarque : En notant par et
les angles respectifs formés par le vecteur V
avec les axes OX et OY , et de la même façon que nous avons obtenu l’équation
2.9, il vient :
Vx = V .cos

, Vy = V .cos

(2.10)

, Vz = V .cos

Nous pouvons en déduire l’expression :
cos 2

+ cos 2

+ cos 2

(2.11)

=1

Exemple 2.3 : Trouver la distance qui sépare les deux points A (10, 4, 4 ) u

et

B (10,6,8 ) u , représentés dans le repère rectangulaire R (O ; i , j , k ) , avec u = unité .

Réponse :
En représentant les deux points dans le repère, on se rend compte que la distance
demandée n’est autre que le module du vecteur D , qui est la différence entre les deux
vecteurs : D = V2 V1
Soit :
D = i ( x2

x1 ) + j ( y 2

y1 ) + k ( z 2

z1 )

D = ( x2

D = i (0) + j (10) + k (4)

A.FIZAZI

x1 ) 2 + ( y 2

y1 ) 2 + ( z 2

z1 ) 2

D = 116 = 10.77u

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23

Rappel sur le calcul vectoriel

Exemple 2.4 : Trouver la résultante des cinq vecteurs suivants :

V1 = (4i

3 j ) u;V2 = ( 3i + 2 j ) u; V3 = (2i

Réponse :
V = (4 3 + 2 + 7 + 9)i + ( 3 + 2 6 8 + 1) j

6 j )u;V4 = (7i

8 j )u;V5 = (9i + j )u

V = 19i 14 j

V = 361 + 196 = 23.60u
Vy
Pour trouver la direction du vecteur V , nous partons de l’expression tan =
,
est
Vx

l’angle formé par le vecteur V et l’axe OX :

= 14

tan

36,38°

0,737

19

7/ LE PRODUIT SCALAIRE (
*
):
Définition : On appelle produit scalaire de deux vecteurs V1 et V2 le nombre réel
V1 .V2

: V1.V2 = V1.V2 .cos(V1.V2 )

Ou V1.V2 =

1
V 1 + V2
2

2

V1

2

(2.12)
V2

2

(2.13)

Cas particulier :
Si V1 = 0 ou V2 = 0 , alors V1 .V2 = 0
Si V1

0 et V2

0 , alors :
V1

V2

V1 // V2

(V1 , V2 ) =

cos = 0 V1.V2 = 0
2
2
(V1 ,V2 ) = 0 cos 0 = 1 V1.V = V1V2

Exemple:

Le travail de la force F qui provoque un déplacement AB est donné par la
formule W = F . AB. cos tel que = ( F ; AB) (on lit W est le produit scalaire de
F par AB ), on écrit :

W = F . AB

W=F.AB.cos

Démontrons à présent la relation (2.2) comme nous l’avons promise :
2

2

2

2

V = V1 + V2 ; V = V1 + V2 + 2V1V2 ; V 1 = V1.V 1 = V1V1 cos(V 1V 1 ) = V12 ;
V 2 = V12 + V2 2 + 2VV
1 2 cos(V 1V 2 )

V = V12 + V2 2 + 2V1V2 cos(V 1V 2 )

Expression analytique du produit scalaire ( LM N OPM QRMRM S TU )
Dans le plan(+
, ) : Soit les deux vecteurs V1 et V2 contenus
dans le plan, tel que :
x
x
V1 1 ; V2 2
y1
y2

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Rappel sur le calcul vectoriel

Dans le repère

R (O ; i , j )

V1.V2 = ( x1.i + y1. j ) .( x2 .i + y2 . j ) = x1.x2 .i .i + x1. y2 .i . j + x2 . y1. j .i + y1. y2 . j . j
i

j .i = i . j = 0

j

V1.V2 = x1.x2 + y1. y2 .

(2.14)

i .i = j . j = i 2 = j 2 = 1
Dans l’espace (* -.

,) :

Soit les deux vecteurs V1 et V2 dans le repère R (O ; i , j ; k )

i . j = i .k = j .k = 0
i = j = k =1

x1

x2

V1 y1
z1

; V2 y2
z2

V1 .V2 = x1 .x2 + y1 . y2 + z1 .z2

(

(2.15)

/0 12) :

Propriétés du produit scalaire (
*
Commutatif (
) V 1 .V 2 = V 2 .V 1
Non associatif (

:

)

3): V1. V2 .V3 n’existe pas car le résultat serait un vecteur.

Distributif ( XYZ ) par rapport à la somme vectorielle :

(

)

V1. V2 + .V3 = V1.V2 + V1.V3
Exemple 2.5 : Calculer l’angle compris entre les deux vecteurs : V 1 = 3i + 2 j

k

et V 2 = i + 2 j + 3k .
Réponse :
Partant de l’expression du produit scalaire, on peut écrire :

cos(V 1V 2 ) =

V1 .V 1
V1V2

Donc :

V1.V 1 = 3 + 4 3 = 2 ; V1 = 9 + 4 + 1 = 3,74 ; V2 = 1 + 4 + 9 = 3,74
cos(V 1V 2 ) =

2
V1.V 1
=
= 0,143
V1V2 14

= (V 1V 2 ) = 96,2°

8/ LE PRODUIT VECTORIEL (
*
):
Définition : On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V1 et V2 le vecteur W
perpendiculaire au plan qu’ils constituent.
Nous écrivons par convention : W = V1 V2 = V1 × V2

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Rappel sur le calcul vectoriel

W
V1

O
V2

W
Fig 2.9: produit vectoriel

caractéristiques du vecteur W (
)4 )
W est perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs, son sens est déterminé
par la règle de la main droite (l’index indiquant W ), son module est donné par la
formule 2.16 :

W = W = V1.V2 .sin(V1.V2 )

Important :

i

i = j

j =k

i

j =k ;i

i

j = i

(2.16)

k =0

k = j ;j
k = j

k =i

k =1

Remarque : la grandeur W = W = V1 .V2 .sin(V1 ;V2 ) représente l’aire du parallélogramme

formé par les deux vecteurs, ce qui laisse sous entendre la possibilité de lier un vecteur à une
certaine surface.
Méthode utilisée pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs :
x1
x2

V1 y1 ; V2 y 2
z1
z2
En utilisant les coordonnées cartésiennes dans le repère R (O ; i , j , k ) , on peut écrire :

+i

j

W = x1

y1

z1 = i

x2

y2

z2

W = ( y1 z2

+k

y2 z1 ) i

y1

z1

y2

z2

(x z

1 2

j

x1

z1

x2

z2

x2 z1 ) j + ( x1 y2

+k

x1

y1

x2

y2

x2 y1 ) k

Le module du vecteur est donné par l’expression :

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Rappel sur le calcul vectoriel

(y z

W=

y2 z1 ) + ( x1 z2
2

1 2

x2 z1 ) + ( x1 y2

x2 y1 ) = V1 .V2 .sin(V1 ,V2 )

2

2

Propriétés du produit vectoriel (
N OP ]^ _`)
Anticommutatif ( ) V1 V 2 = V 2 V1
Non associatif (
Distributif (

(V

3): V1

2

V3

) (V

1

V2

)

(2.17)

V3

4 ) par rapport à la somme vectorielle :

(V + V ) = (V

V1

2

3

1

) (

V2 + V1 V3

)

Exemple 2.6 : Calculer le vecteur W , produit des deux vecteurs : V1 = (2,1, 1) et

V2 = (1, 0, 2) , en déduire l’angle
Réponse :
W = [ (1 × 2 ) (0 × 1)].i

(2 ×

compris entre eux.

2) (1 × 1) . j +

( 2 × 0)

(1 × 1) .k

W = 2i + 3 j

k

V1 = 22 + 12 + 12 = 6

V2 = 12 + 0 + 2 2 = 5
W = 22 + 32 + 12 = 14 = 3,74
3,74
W
sin =
= 0,683
W = V1.V2 .sin = 3,74 sin =
V1.V2
30

9/ LE PRODUIT MIXTE (( 2

= 43,06°

):

*

Le produit mixte de trois vecteurs V 1 , V 2 et V 3 est la quantité scalaire définie par :

(

V1. V2

x1
V3 = x2
x3

)

y1
y2
y3

z1
z2 = ( y2 z3
z3

y3 z2 ) x1

( x2 z3

x3 z2 ) y1 + ( x2 y3

x3 y2 ) z1

(2.18)

10/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT DE L’ESPACE
(* -. " (
4 )
Définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est le
vecteur défini par :

! O = OA V

(2.19)

Remarque :
! O = au double de l’aire du triangle AOB . (Figure2.10-a-)
11/ MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN AXE
(UZ

L Q b c d ef )

Première définition : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est égal à la
projection de ce vecteur par rapport à un point quelconque de cet axe.

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Rappel sur le calcul vectoriel

Deuxième définition : Le moment du vecteur V par rapport à un axe " ,
d’origine O et de vecteur unitaire u , est égal au produit mixte :

(

)

! " = ! O .u = OA V .u

(2.20)

Remarque : Le moment d’un vecteur par rapport à un axe est une grandeur
scalaire, par contre le moment d’un vecteur par rapport à un point de l’espace est
un vecteur (Figure2.10-b-)

!"

!O

!O

u
O

!"

O
B

! O'

B

O'

(")

V
A

V
A

12/GRADIENT, DIVERGENCE ET ROTATIONNEL (i UjO j O

S klUOS ) :

Définitions :
On dit que la fonction f ( x, y, z ) est un champ scalaire si la fonction f ( x, y, z )
est un scalaire.
On dit que la fonction V ( x, y, z ) est un champ vectoriel si la fonction est
vectorielle.
On définit l’opérateur ( mnL ) différentiel vectoriel #(nabla ) par :

#=

$
$
$
i +
j+ k
$x
$y
$z

(2.21)

Où :
$ $
$
,
et
sont respectivement les dérivées partielles par rapport à x, y et z .
$x $y
$z
Nous allons définir le gradient, la divergence et le rotationnel à l’aide de cet
opérateur.

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Rappel sur le calcul vectoriel

LE GRADIENT (lUOS ):
Si f ( x, y, z ) est une fonction scalaire, son gradient est un vecteur défini comme
étant :
$f
$f
$f
grad f = #( f ) =
i+
j+ k
(2.22)
$x
$y
$z
Exemple 2.7 : Calculer le gradient de la fonction f ( x, y, z ) = f = 3 x y z .
2

3

Réponse : grad f = 6 xy 3 z.i + 9 x 2 y 2 z. j + 3x 2 y 3 .k
LA DIVERGENCE (O S ):
Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, sa divergence est un scalaire défini
comme étant :

divV = #.V =

$Vx $Vy $Vz
+
+
$x
$y
$z

(2.23)

Exemple 2.7 : Calculer la divergence de la fonction vectorielle

V ( x, y, z ) = 2 xyi
Réponse : divV = 2 y

3 yz 2 j + 9 xy 3 k

3z 2 + 0 = 2 y 3z 2

LE ROTATIONNEL (i UjO ):
Si V = (V x ,V y ,V z ) est une fonction vectorielle, son rotationnel est un vecteur
défini comme étant :

rot (V ) = # V =

$Vz
$y

$Vy
$z

.i

$Vy
$Vx
.j +
$z
$x

$Vz
$x

$Vx
.k
$y

(2.24)

Démarche à suivre :
a/ Etablir la matrice suivante :

rotV =

+i

j

$
$x
Vx

$
$y
Vy

+k
$
= A+ B +C
$z
Vz

b/ Pour calculer A, B, C il suffit de se rappeler de la règle du produit vectoriel :

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Rappel sur le calcul vectoriel

+i
$
$y
Vy

A=

$
$Vz
= +i
$z
$y
Vz

$Vy
$z

-j
B=

$
$x
Vx

$
$Vz
= -j
$z
$x
Vz

$Vx
$z

k
C=

$
$x
Vx

$
$y
Vy

$Vy
$x

= +k

$Vx
$y

c/ On arrive à l’expression finale (2.24) :

+i

j

$
$x
Vx

$
$y
Vy

+k
$Vz
$
= +i
$z
$y
Vz

$Vy
$z

-j

$Vz
$x

$Vx
$Vz
+k
$z
$x

$Vx
$z

Exemple 2.7 : Calculer le rotationnel du vecteur :
V ( x, y, z ) = 2 xyi 3 yz 2 j + 9 xy 3 k
Réponse :

(
rot (V ) = ( 27 xy

rot (V ) = 27 xy 2
2

)
6 yz ) .i
6 yz .i

(9 y 3

0). j + (0 2 x).k

9 y3 j

2 xk

13/ LE LAPLACIEN (" 5 6) :
Définitions :
En coordonnées cartésiennes :
Le Laplacien d’une fonction scalaire est égal à la divergence de son
gradient :
#.# ( f ) = # 2 ( f ) =

A.FIZAZI

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$2 f $2 f $2 f
+
+
$x 2 $y 2 $z 2

(2.25)

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30

Rappel sur le calcul vectoriel

Le Laplacien d’une fonction vectorielle est égal à la divergence de son
gradient :
$ 2Vy
$ 2 Vx
$ 2Vz
i+
j+ 2 k
#.# V = # (V ) =
$x 2
$y 2
$z

( )

2

(2.26)

REMARQUE
Vous trouverez, à la fin de ce document en annexe, un formulaire regroupant le
gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien dans les différentes coordonnées :
cartésiennes, cylindriques et sphériques.

A.FIZAZI

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