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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Analyse2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 1
(21 Janvier 2018)
Exercise 1 Utilisez la dé…nition pour calculer les dérivées des fonctions suivantes aux points donnés :
f (x) = x3 en x = 2;
g(x) = x + 2 en x = a;
3x+4
h(x) = x2 cos x en x = 0; r(x) = 2x
1 en x = 1:
Exercise 2 Soit f (x) = x2 sin x1 pour x = 0 et f (0) = 0.
(a) Montrez que f est di¤ érentiable en chaque a 6= 0 et calculez f 0 (a).
(b) Utilisez la dé…nition pour montrer que f est di¤ érentiable en x = 0 et que
f 0 (0) = 0.
(c) Montrez que f 0 n’est pas continue en x = 0. (Astuce : pensez à la suite
xn = 1n )
(d) Soit g (x) = x; expliquez pourquoi limx!0

g(f (x)) g(f (0))
f (x) f (0)

n’a pas de sens.

Exercise 3 Soit f (x) = x2 sin x12 pour x = 0 et f (0) = 0.
(a) Montrez que f est di¤ érentiable sur tout R et calculez f 0 (a).
(b) Montrer que f 0 n’est pas bornée sur l’intervalle [ 1; 1].
Exercise 4 Soit f (x) = x2 pour x rationnel et f (x) = 0 pour x irrationnel.
(a) Montrez que f est continue en x = 0.
(b) Montrez que f est discontinue en tout x 6= 0.
(c) Montrez que f 0 est di¤ érentiable en x = 0.(Astuce : utilisez la dé…nition)
Exercise 5 Soit h(x) = (x4 + 13x)7 .
(a) Calculez h0 (x).
(b) Montrez comment la règle de la chaîne justi…e votre calcul dans la partie
(a) en écrivant h = g f pour de convenables fonctions f et g.
1

Exercise 6 Utilisez le théorème de la valeur moyenne pour établir que
p
p
(a) 18 < 51 7 < 17 (Astuce : utilisez la fonction f (x) = 49 + x sur [0; 2])
(b) j cos x

cos yj

jx

yj pour x; y 2 R:

Exercise 7 (a) Montrez que si f et g sont di¤ érentiables sur R, si f (0) = g(0),
et si f 0 (x) g 0 (x) pour tout x 2 R, alors f (x) g(x) pour x > 0:
(b) Conclure que si f est di¤ érentiable sur R, 1
f 0 (x)
f (0) = 0, alors x f (x) 2x pour tout x > 0.

2 pour x 2 R, et

Exercise 8 Soit f une fonction di¤ érentiable sur R avec a = supfjf 0 (x)j : x 2
Rg < 1.
(a) Soit s0 2 R et dé…nissez sn = f (sn 1 ) pour n 1. Donc s1 = f (s0 ); s2 =
f (s1 ); etc. Montrez que (sn ) est une suite convergente.
Astuce: Pour montrer que (sn ) est une suite de Cauchy, à voir que jsn+1 sn j
ajsn sn 1 j pour n 1.
(b) Montrez que f admet un point …xe, c’est-à-dire, f (s) = s pour certains s
dans R.

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