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Université Abdelhamid Ben Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et Informatique
1ere Année Licence MIAS
Matière : Analyse2
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Feuille d’exercices N 2
(04 F evrier 2018)
Exercise 1 Supposons i) f continue pour x 0, (ii) f 0 (x) existe pour x > 0,
(iii) f (0) = 0, (iv) f 0 croissante. Soit g (x) = f (x)
x ; x > 0: Montrez que g est
croissante. (Indice: Calculez d’abord g 0 (x), ensuite appliquez TVM sur f .)
Exercise 2 Soit f dé…nie sur un intervalle I. Supposons qu’il existe M > 0 et
> 0 tels que jf (x) f (y)j
M jx yj pour tout x; y 2 I. (On dit qu’une
telle fonction satisfait une condition de Lipschitz d’ordre sur I.)
a) Montrez que f est uniformément continue sur I.
b) Si

> 1, prouvez que f est constante sur I. (Indice: Montrez d’abord que
f est di¤ érentiable sur I.)

c) Montrer par un exemple que si
tiable sur I.

= 1, alors f n’est pas forcément di¤ éren-

d) Soit = 1. Montrer que si g est di¤ érentiable sur un intervalle I et si g0
est bornée sur I, alors g véri…e une condition de Lipschitz d’ordre 1 sur
I. (Indice : TVM sur g).
Exercise 3 Évaluez les limites suivantes.
a) limx!1

ln x
x 1

b) limx!1 1 +
c) limx!0

1 x
x

tan x x
x3

Exercise 4 Si f (x) = jxj3 , calculez f 0 (x); f 00 (x) pour tout x réel et montrez
que f (3) (x) n’existe pas.
Exercise 5 Une fonction f : D ! R admet un maximum local (minimum) en
un point x0 2 D s’il existe un voisinage U de x0 tel que f (x) f (x0 )(f (x)
f (x0 )) pour tout x 2 U \D. Supposons pour n 2 que les dérivées f 0 ; f 00 ; f 000 ; ::f (n)
existent et soient continues sur un intervalle ouvert I contenant x0 et que
f 0(x0 )
= f (n 1) (x0 ) = 0, mais f (n) (x0 ) 6= 0. Utiliser le Théorème de Taylor
pour prouver :
1

a) Si n est pair et f (n) < 0 alors f a un maximum local en x0
b) Si n est pair et f (n) > 0 alors f a un minimum local en x0
c) Si n est impair et f n’a ni maximum local ni minimum local en x0 .

2


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