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COURS CONIQUES .pdf



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Lycée pilote Médenine

Les coniques

Bac Maths

Prof : HADJ SALEM Habib

Définition d’une conique et de ses éléments caractéristiques :
Définition : Soit F un point et D une droite tel que F Ï D et un réel e strictement positif .
A chaque point M du plan , on associe son projeté orthogonal H sur la droite D .
L’ensemble ( C ) des points M du plan tels que

MF
=e est appelé conique de foyer F et de
MH

directrice D et d’excentricité e.
La perpendiculaire à D menée de F est l’axe focal de la conique.
Caractérisation de l’ensemble ( C )
( C ) est
une …………………
Si et seulement si

Parabole
e=1

Ellipse
0< e<1

Hyperbole
e>1

Sommets d’une conique
·

Si e ¹ 1 , c'est-à-dire si la conique est une ellipse ou hyperbole l’axe focal rencontre la conique en
deux points distincts, ces points sont appelés les sommets de l’ellipse ou de l’hyperbole.

Pour l’ellipse ces sommets sont appelés sommets principaux. L’ellipse possède deux autres sommets
dits secondaires.
·

Si e=1 ,c'est-à-dire la conique est une parabole , l’axe focal rencontre la conique en un seul point
, appelé sommet de la parabole.

Equation non réduite d’une conique :

(

rr

)

Définition : Dans le plan muni d’un repère orthonormé O,i, j , l’ensemble des points M(x,y) du
plan tels que :
Ax2 +Bx2 +Cx +Dy+E=0 où A,B,C,D et E sont des réels est une courbe dont la nature est donnée par
le tableau suivant :
AB
AB=0
AB<0
AB>0

1

COURBE
Parabole ou deux droites parallèles ou une droite ou le vide
Hyperbole ou deux droites sécantes
Ellipse ou cercle ou un point ou le vide

Résumé de cours coniques

Bac MATHS

Prof :HADJ SALEM Habib

Lycée pilote Médenine

Les coniques

Bac Maths

Prof : HADJ SALEM Habib

Equation réduite d’une conique :

(

rr

Parabole dans S,i, j

)

Parabole d’équation x2=2ay ( a≠0)

Parabole d’équation y2=2bx ( b≠0)

Foyer : F(0 ; )

b
Foyer : F( ;0 )
2
Directrice D : x= -

Directrice D :y= r

( )

Axe focal S, j

r

( )

Axe focal S,i

K le point d’intersection de l’axe focal et de la directrice
S est le milieu de [FK]. On appelle paramètre d’une parabole la distance du foyer à la directrice .
On note p ce paramètre . p=FK , FS=

p
,p>0
2

Tangente à une parabole en un point M0(x0,y0) :
(T) : x0x= a(y+y0)

(T) : y0y= a(x+x0)

Tangente au sommet :
TS : y= 0

TS: x= 0

MF
ì
ü
G = í M ÎP telque
= 1ý avec H le projeté orthogonal de M sur D
MH þ
î

2

Résumé de cours coniques

Bac MATHS

Prof :HADJ SALEM Habib

Lycée pilote Médenine

(

rr

Hyperbole dans S,i, j

Les coniques

a 2 + b2

e=

x 2 y2
=1
a 2 b2

Hyperbole d’équation : -

c
a

C=

b
x
a
b
D': y = - x
a
A ( a, 0 ) üï
ý
A ' ( -a, 0 ) ïþ

a 2 + b2

e=

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

c
b

b2 ü
c ïï
ý
b2 ï Directrices
D' : y = c ïþ
F(0, c) ü
ý Les foyers
F '(0, -c) þ

ü
a2
ïï
c
Les directrices
2 ý
a ï
D' : x = c ïþ
F(c,0) ü
ý Les foyers
F'( -c,0)þ

D: y =

D:x =

D:y =

Prof : HADJ SALEM Habib

)

Hyperbole d’équation :
c=

Bac Maths

b
ü
x ï
ï
a
ý
b
les asymptotes
D': y = - x ï
a ïþ
A ( 0, b ) üï
ý sommets
A ' ( 0, -b ) ïþ

ü
ïï
ý
ï les asymptotes
ïþ

D:y =

sommets

Tangente à une Hyperbole en un point M0(x0,y0) :
(T) :

x 0 x y0 y
- 2 =1
a2
b

T1 : x= a
ì
î

et

H = í M ÎP tel que

(T) : -

Tangente au sommet :
T2 : x= -a
T1: y= b

et T2 :y= -b

MF
ü
= e ý avec H le projeté orthogonal de M sur D et e >1
MH
þ

Remarque : Une hyperbole est dit équilatère lorsque a=b ( e=

3

x0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b

Résumé de cours coniques

Bac MATHS

2)

Prof :HADJ SALEM Habib

Lycée pilote Médenine
rr

(

Ellipse dans W,i, j

a 2 - b2

e=

Bac Maths

Prof : HADJ SALEM Habib

)

Ellipse d’équation :
c=

Les coniques

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

Ellipse d’équation :

où a > b

c
a

C=

ü
a2
ïï
c
ý Les directrices
a2 ï
D' : x = c ïþ
F(c,0) ü
ý Les foyers
F'( -c,0)þ
D:x =

b2 - a 2

e=

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

où a < b

c
b

ü
ïï
ý
b2 ï Directrices
D' : y = c ïþ
F(0, c) ü
ý Les foyers
F '(0, -c) þ
D:y =

A ( a, 0 )

üï
ý
A ' ( -a, 0 ) ïþ sommets principaux

b2
c

B ( 0, b )

üï
ý
B' ( 0, - b ) ïþ sommets principaux
A ( a, 0 ) üï
ý
A ' ( -a, 0 ) ïþ sommets secondaires

B ( 0, b )

üï
ý
B' ( 0, - b ) ïþ sommets secondaires

Tangente à une Ellipse en un point M0(x0,y0) :
(T) :

x 0 x y0 y
+ 2 =1
a2
b

La tangente à une ellipse ( E) en son sommet
S(a,0) a pour équation x=a
La tangente à une ellipse ( E) en son sommet
L(0,b) a pour équation y=b

ì
î

E = í M ÎP tel que
4

MF
ü
= e ý avec H le projeté orthogonal de M sur D et 0<e<1
MH
þ

Résumé de cours coniques

Bac MATHS

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Lycée pilote Médenine

Les coniques

Bac Maths

Prof : HADJ SALEM Habib

Pour mémoriser ces résultats :
Pour l’hyperbole et l’ellipse, on peut retenir facilement les deux cas ci-dessous :
Ellipse : équation

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

Eléments de l’ellipse lorsque a>b
c

a -b
2

Excentricité

Foyer
F(c,0)

c
a

2

Directrice associée
Equation associée x =

a2
c

Hyperbole : équation

x 2 y2
=1
a 2 b2
Eléments de l’hyperbole :
c

Excentricité

Foyer
F(c,0)

c
a

a 2 + b2

Directrice associée
Equation associée x =

a2
c

Remarquez que dans les deux cas , ellipse , hyperbole :
1- Les foyers ont même coordonnées , et les directrices même équation.
2- Ensuite , dans ces cas –là , pour déterminer c , pensez que c2= a2+b2 ou c2= a2-b2
Et que « le signe à choisir est le signe contraire de celui de l’équation »:
-

L’équation de l’ellipse a un signe + (

x 2 y2
+
=1 )
a 2 b2

Alors c2 = a2-b2 ( signe moins )
-

L’équation de l’ellipse a un signe - (

x 2 y2
=1 )
a 2 b2

Alors c2 = a2+b2 ( signe plus )
( Retenez aussi que l’on ne peut pas prendre c2 = b2-a2 car a>b )
3- Dans les autres cas :

x 2 y2
+
= 1 avec
a 2 b2

a < b ,-

x 2 y2
+
=1
a 2 b2

Pensez que l’axe focal est l’axe des ordonnées . Les coordonnées de F sont alors (0,c) au lieu de
(c,0)

b2
a2
Et la directrice associé à F est y=
au lieu de x =
c
c

5

Résumé de cours coniques

Bac MATHS

, l'excentricité est alors

c
b

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