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Problème Scientifique Physique
Conduction de la chaleur
Noé Thorel
Branavan Subramaniam
Esilv A2 S4
19 février 2018

1

1. Partie 1
Enoncé :
Soit une barre cylindrique, homogène, de section S, de longueur L, de conductivité
thermique λ, dont les extrémités sont maintenues à des températues T1 et
T2 . Les parois latérales de cette barre sont parfaitement calorifugées et la
température T (x) dans la barre ne dépend que de l’abscisse x le long de
la barre avec T (0) = T1 et T (L) = T2 . Soit Q(x) la valeur algébrique de la
quantité de chaleur qui traverse la section de cette barre d’abscisse x pendant
l’intervalle de temps unité dans le sens des x positifs. Q(x) obéit à la loi de
Fourier, en régime permanent :
Q(x) = −λS

dT
dx

(a) Montrer que :
δQ(x)
d2 T
= λS 2
dx
dx
On s’interesse ici à une portion de la barre de longueur dx.

En effectuant un bilan de chaleur sur cette portion on a :
Flux reçu = Flux entrant - Flux sortant

2

δQ(x) = Qin − Qout
dT
⇒ δQ(x) = −λS dT
dx (x) + λS dx (x + dx)

Or on sait d’après Taylor que
f (x0 + h)∼f (x0 ) + hf 0 (x0 )
Donc

dT
dx (x

dT
d2 T
(x)
+
dx
dx
dx2 (x)
dT
d2 T
−λS dT
dx + λS dx + λSdx dx2

+ dx) =

⇒ δQ(x) =
2

= λSdx ddxT2


δQ(x)
dx

2

= λS ddxT2

(b) Quelle est l’équation vérifiée par T (x) en régime permanent ?
En régime permanent on sait que Flux entrant = Flux sortant Donc
Qin = Qout
⇒ δQ(x) = Qin − Qout = 0
2

⇒ λS ddxT2 = 0


d2 T
dx2

=0

(Equation de Laplace)

(c) En choisissant des valeurs numériques cohérentes avec le physique
du problème et en utillisant la fonction ode de Scilab, résoudre
cette dernière équation différentielle

(d) Résolution analytique
d2 T
dx2



=0
dT
dx

= C1

⇒ T (x) = C1 x + C2
Conditions aux limites :
T (0) = T1 ⇒ C2 = T1
⇒ T (x) = C1 x + T1
T (L) = T2
3

⇒ C1 L + T1 = T2
⇒ C1 =
⇒ T (x)

T2 −T 1
L
1
= T2 −T
L x

+ T1

(e) Tracer la courbe analytique comparer avc scilab
T2 −T1
On a Q(x) = −λS dT
dx = −λS L

Donc Q(x) ne dépend pas de l’abscisse x
1
Q(2) = −λS T2 −T
L

2. Partie 2
Enoncé :
La barre est placée dans des conditions identiques décrites au 1) en étant
maintenant parcourue par un courant électrique d’intensité I réparti uniformément
sur toute la section S. On appelle ρ la résistivité électrique du matériau de
la barre.

(a) Montrer que :
δU (x) = λS

d2 T
ρI 2
dx
+
dx
dx2
S

On a :
Energie Reçue = Flux reçu + terme source
2

δU (x) = δQ(x) + dP Or dP = dRI 2 = d ρLI
S =
⇒ δU (x) = δQ(x) +
2

= λS ddxT2 dx +

ρI 2
S dx

ρI 2
S dx

ρI 2
S dx

(b) Quelle est l’équation vérifiée par T (x) en régime permanent ?
4

En régime permanent, le flux entrant est égal au flux sortant et l’accumulation
de chaleur dans la barre est nulle donc :
δU (x)
dx

=0

ρI 2
S =
2
2
λS ddxT2 = − ρIS
ρI 2
d2 T
=

2
dx
λS 2
2

⇒ λS ddxT2 +



0
(Equation de Poisson)

(c) Faire Scilab
(d) Résolution analytique et calcul de Q(x)
On a :
d2 T
dx2



2

ρI
= − λS
2
dT
dx

2

ρI
= − λS
2 x + C3
2

ρI
2
⇒ T (x) = − 2λS
2 x + C3 x + C4

Conditions aux limites :
T (0) = T1 ⇒ C4 = T1
2

ρI
2
⇒ T (x) = − 2λS
2 x + C3 x + T 1
2

ρI
2
T (L) = T2 ⇒ T2 = − 2λS
2 L + C3 L + T1

⇒ C3 =

⇒ T (x) =
2

ρI 2
2λS 2 L
2
ρI
1
− 2λS
x2 + ( T2 −T
L
 2

T2 −T1
L

ρI
2
= − 2λS
2x +

+


T
 2






− T1 +
L

ρI 2
L)x +
2λS
2
ρI 2 L2 


2λS 2 
 x + T1




+

T1


2

ρI
Q(x) = −λS dT
dx = −λS(− λS 2 x −

=
=

2 2
(T2 −T1 )λS
L
ρI 2
+ ρI2SL
)
S x−(
L
2
ρI
L
λS
S (x − 2 ) − L (T2 − T1 )

TRACER T COMPARAISON

5


T
 2






2

− T1 +
L

2



ρI L 


2λS 2 





(e) CALCUL DE Q2 IDENTIFICATION DES TERMES

6



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