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17 TS cours Ecantillonnage .pdf


Nom original: 17-TS-cours-Ecantillonnage.pdf
Auteur: ANDRE

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Echantillonnage - Estimation
1. Introduction
L’échantillonnage et l’estimation sont deux domaines des statistiques qui ont de multiples
applications et qu’il faut savoir reconnaître.
On utilise un échantillon qui est un sous-ensemble de la population.

Exemple :
On considère deux urnes U1 et U2 contenant chacune un grand nombre de boules grises et noires.
Échantillonnage
Dans l’urne U1, on connaît la proportion p de
boules noires

Estimation
Dans l’urne U2, on ignore la proportion p de
boules noires

On effectue un tirage avec remise de n boules
et on calcule la fréquence f d’apparition des
boules noires. f appartient à un intervalle de
fluctuation de centre p

On effectue un tirage avec remise de n boules
pour essayer d’estimer la proportion p de
boules noires. On détermine un intervalle de
confiance.

2. Échantillonnage : intervalle de fluctuation asymptotique
Théorème :
Soit Xn une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n; p) et  0 ;1 .
Soit u l’unique réel tel que P  u  X  u   1   avec X une variable aléatoire suivant la loi
normale centrée réduite N(0 ; 1).

p 1  p 
p 1  p  
.
; p  u
Soit In l’intervalle I n   p  u
n
n


X
Soit la variable aléatoire Fn  n qui représente la fréquence du succès.
n
Alors lim P  Fn  I n   1  
n

Autrement dit, Fn prend ses valeurs dans In avec une probabilité qui s’approche de 1   quand n
devient grand.
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Démonstration : ROC

Définition :


p 1  p 
p 1  p  

 est un intervalle de fluctuation asymptotique
; p  u
L’intervalle I n  p  u
n
n


au seuil de confiance 1   de la variable aléatoire fréquence Fn.
Cas particulier : L’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est l’intervalle

I n  0, 6  1,96


p 1  p 
n

; 0, 6  1,96

p 1  p  

n


On pratique cette approximation dès que : n  30 , np  5 et n 1  p   5
Propriété : Prise de décision, avec un risque d’erreur de 5%
On prélève dans la population un échantillon de taille n sur lequel on calcule la fréquence observée f
du caractère. On utilise l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour savoir si
l’hypothèse est valable :
1) On vérifie que les critères d’approximation permettant d’utiliser In sont respectés.
2)  Si la fréquence observée f n’appartient pas à In, alors on rejette l’hypothèse selon laquelle
la proportion est p avec un risque d’erreur d’environ 5%.
 Si la fréquence observée f appartient à In, alors l’hypothèse n’est pas remise en cause.

3. Intervalle de confiance
On prélève un échantillon de taille n de cette population sur lequel on calcule la fréquence observée
f du caractère. On cherche alors à estimer cette proportion p à partir de la fréquence observée f.
Propriété :

1
1 

; f
L’intervalle  f 
 appelé intervalle de confiance, contient p avec une probabilité
n
n

d’au moins 0,95, avec p la proportion que l’on veut estimer et f la fréquence observée dans un
échantillon de taille n.
On pratique cette approximation dès que : n  30 , nf  5 et n 1  f   5
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