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Nom original: chapitre2.pdf
Titre: Géométrie affine et euclidienne - Deuxième chapitre : Applications affines-
Auteur: Abdelilah Lamrani Alaoui

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Applications affines

G´eom´etrie affine et euclidienne
- Deuxi`eme chapitre : Applications affinesAbdelilah Lamrani Alaoui
´partement de mathe
´matique
De
´gional des me
´tiers de l’e
´ducation et de formation - Fe
`s - Mekne
`s
Centre re
`ge principal-Sie

Premier semestre 2017/2018

A.Lamrani


eom´
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Applications affines

Principal directive !

Le symbole - signifie :
A vos stylos et papiers! pour des d´emonstrations, corrections
d’exercices ou des constructions.

A.Lamrani


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Applications affines

´

efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

I- D´efinitions et propri´et´es
D´efinition
Soient E et F deux espaces affines de vectorialis´es E~ et F~ . On dit qu’
une application f : E −→ F est affine s’il existe une application lin´eaire
l : E~ −→ F~ telle que :
−−−−−−−→
−−→
(∗) ∀M, N ∈ E , f (M)f (N) = l(MN).
l est dite partie lin´
eaire de f ou application lin´
eaire associ´
e`
a f et est
not´ee f~.
Remarque
(∗) est ´equivalente `a chacune des assertions suivantes:
−−→
1
∀M, N ∈ E , f (N) = f (M) + f~(MN).
−−−−−−−→
−−→
2
∃O ∈ E , ∀M ∈ E : f (O)f (M) = f~(OM).
−−→
3
∃O ∈ E , ∀M ∈ E : f (M) = f (O) + f~(OM).
A.Lamrani


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Applications affines

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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

I- D´efinitions et propri´et´es
D´efinition
Soient E et F deux espaces affines de vectorialis´es E~ et F~ . On dit qu’
une application f : E −→ F est affine s’il existe une application lin´eaire
l : E~ −→ F~ telle que :
−−−−−−−→
−−→
(∗) ∀M, N ∈ E , f (M)f (N) = l(MN).
l est dite partie lin´
eaire de f ou application lin´
eaire associ´
e`
a f et est
not´ee f~.
Remarque
(∗) est ´equivalente `a chacune des assertions suivantes:
−−→
1
∀M, N ∈ E , f (N) = f (M) + f~(MN).
−−−−−−−→
−−→
2
∃O ∈ E , ∀M ∈ E : f (O)f (M) = f~(OM).
−−→
3
∃O ∈ E , ∀M ∈ E : f (M) = f (O) + f~(OM).
A.Lamrani


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Applications affines

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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

Exemples

Exemples d’applications affines
Une application lin´eaire entre espaces vectoriels est une application
affine de partie lin´eaire elle mˆeme.
Une application f de R dans R est affine si et seulement si elle est
de la forme f (x) = ax + b ou (a, b) ∈ R2 . Dans ce cas la partie
lin´eaire de f est f~(x) = ax.

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Applications affines

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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

Exemples

Exemples d’applications affines
Une application lin´eaire entre espaces vectoriels est une application
affine de partie lin´eaire elle mˆeme.
Une application f de R dans R est affine si et seulement si elle est
de la forme f (x) = ax + b ou (a, b) ∈ R2 . Dans ce cas la partie
lin´eaire de f est f~(x) = ax.

A.Lamrani


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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

I- D´efinitions et propri´et´es

Th´eor`eme
Une application affine f sur E est d´efinie de fa¸con unique par :
sa partie lin´eaire et l’image d’un point de E .
les images des points composant une base affine de E .
En particulier, deux applications affines f et g sur un mˆeme espace affine
E sont ´egales si elles
ont la mˆeme partie lin´eaire et co¨ıncident en un point.
co¨ıncident sur chacun des points d’une base affine de E.

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Applications affines

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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

I- D´efinitions et propri´et´es

Th´eor`eme
Une application affine f sur E est d´efinie de fa¸con unique par :
sa partie lin´eaire et l’image d’un point de E .
les images des points composant une base affine de E .
En particulier, deux applications affines f et g sur un mˆeme espace affine
E sont ´egales si elles
ont la mˆeme partie lin´eaire et co¨ıncident en un point.
co¨ıncident sur chacun des points d’une base affine de E.

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

I- D´efinitions et propri´et´es
Th´eor`eme 1

2

Une application affine f : E −→ F est bijective (resp. surjective,
injective) si et seulement si sa partie lin´eaire f~ est bijective (resp.
surjective, injective)
Si f est affine bijective, alors f −1 est affine bijective et f ~−1 = f~−1 .

3

Si f : E −→ F et g : F −→ G sont deux applications affines, alors
−→
gof est une application affine et gof = ~g o f~.

4

L’ensemble des applications affines bijectives de E dans E muni de
la loi de composition est un groupe dit groupe affine de E et est
not´e GA(E ).

Remarque
L’application L : GA(E ) −→ GL(E~ ) d´efinie par L(f ) = f~ est un
´epimorphisme de groupe (homomorphisme surjectif).

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Applications affines

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efs et qlqs prpt´
es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

II- Sous espaces affines et applications affines
1- Applications affines et barycentre
Th´eor`eme Une application f : E −→ F est affine si et seulement s’elle conserve le
barycentre.
Corollaires L’image directe et l’image r´eciproque d’un convexe par une
application affine sont aussi des convexes.
L’image de l’enveloppe convexe d’une partie par une application
affine est ´egale `a l’enveloppe convexe de l’image de cette partie.
Question: Que peut on dire `a propos de l’image r´eciproque d’une
enveloppe convexe? -

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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

II- Sous espaces affines et applications affines
1- Applications affines et barycentre
Th´eor`eme Une application f : E −→ F est affine si et seulement s’elle conserve le
barycentre.
Corollaires L’image directe et l’image r´eciproque d’un convexe par une
application affine sont aussi des convexes.
L’image de l’enveloppe convexe d’une partie par une application
affine est ´egale `a l’enveloppe convexe de l’image de cette partie.
Question: Que peut on dire `a propos de l’image r´eciproque d’une
enveloppe convexe? -

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

II- Sous espaces affines et applications affines
1- Applications affines et barycentre
Th´eor`eme Une application f : E −→ F est affine si et seulement s’elle conserve le
barycentre.
Corollaires L’image directe et l’image r´eciproque d’un convexe par une
application affine sont aussi des convexes.
L’image de l’enveloppe convexe d’une partie par une application
affine est ´egale `a l’enveloppe convexe de l’image de cette partie.
Question: Que peut on dire `a propos de l’image r´eciproque d’une
enveloppe convexe? -

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II- Sous espaces affines et applications affines
1- Applications affines et barycentre
Th´eor`eme Une application f : E −→ F est affine si et seulement s’elle conserve le
barycentre.
Corollaires L’image directe et l’image r´eciproque d’un convexe par une
application affine sont aussi des convexes.
L’image de l’enveloppe convexe d’une partie par une application
affine est ´egale `a l’enveloppe convexe de l’image de cette partie.
Question: Que peut on dire `a propos de l’image r´eciproque d’une
enveloppe convexe? -

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II- Sous espaces affines et applications affines

2- Sous espaces affines et applications affines.
Corollaire 1 Si f : E −→ F est une application affine et si A est une partie non vide
de E , f (Aff (A)) = Aff (f (A)).
corollaire 2 Si f : E −→ F est une application affine, si A (resp. B) est un sous
espace affine de E (resp. de F ), alors f (A) (resp. f −1 (B))est un sous
espace affine de F (resp. de E ).

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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

II- Sous espaces affines et applications affines

2- Sous espaces affines et applications affines.
Corollaire 1 Si f : E −→ F est une application affine et si A est une partie non vide
de E , f (Aff (A)) = Aff (f (A)).
corollaire 2 Si f : E −→ F est une application affine, si A (resp. B) est un sous
espace affine de E (resp. de F ), alors f (A) (resp. f −1 (B))est un sous
espace affine de F (resp. de E ).

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es s e a et app aff Equs
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II- Sous espaces affines et applications affines

Th´eor`eme Soit f : E −→ E une application affine.
1
L’ensemble Inv (f ) des points invariants par f est soit vide, soit un
sous-espace affine de direction Inv (f~) = Ker (f~ − IdE~ ).
2
f~ − Id ~ surjective =⇒ Inv (f ) 6= ∅.
E

3
4

Inv (f ) est un singleton =⇒ f~ − IdE~ est injective.
Si E est de dimension finie, les propriet´es suivantes sont
´equivalentes:
Inv (f ) est un singleton.
f~ − IdE~ est injective.
f~ − IdE~ est bijective.
1 n’est pas une valeur propre de f~.

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II- Sous espaces affines et applications affines

Th´eor`eme Soit f : E −→ E une application affine.
1
L’ensemble Inv (f ) des points invariants par f est soit vide, soit un
sous-espace affine de direction Inv (f~) = Ker (f~ − IdE~ ).
2
f~ − Id ~ surjective =⇒ Inv (f ) 6= ∅.
E

3
4

Inv (f ) est un singleton =⇒ f~ − IdE~ est injective.
Si E est de dimension finie, les propriet´es suivantes sont
´equivalentes:
Inv (f ) est un singleton.
f~ − IdE~ est injective.
f~ − IdE~ est bijective.
1 n’est pas une valeur propre de f~.

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

Exercice 1
Soit E un espace affine.
1

Soit G un groupe fini d’applications affines de E dans E .
Montrer que :
(∃A ∈ E )(∀g ∈ G ) : g (A) = A.

2

Soit f : E −→ E une application affine telle que :
(∃n ∈ N∗ ) : f n = IdE .
Montrer qu’il existe A ∈ E tel que f (A) = A.

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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

´
III- Equations
cart´esienne d’un sous-espaces affine

Si H est un hyperplan affine d’un espace affine E de dimension finie n


passant par un point A et de direction H et R = (O, e~1 , ..., e~n ) est un
rep`ere cart´esien de E et (xA,1 , ..., xA,n ) les coordonn´ees de A dans ce
n
X


ai e~i∗ telle que H = Ker l, avec
rep`ere. Il existe une forme lin´eaire l =
i=1

(~
e1∗ , ..., e~n∗ ) est la base duale de (~
e1 , ..., e~n ). Si M(x1 , ..., xn ) ∈ E , alors
−−→
M ∈ H ⇐⇒ l(AM) = 0 ⇐⇒ a1 (x1 − xA,1 ) + ... + an (xn − xA,n ) = 0.
D´efinition
a1 (x1 − xA,1 ) + ... + an (xn − xA,n ) = 0 est une ´equation cart´esienne de
l’hyperplan H.

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cart d’un s e a Qlqs app. aff.

Remarques
La forme lin´eaire l est unique `a un coefficient multiplicatif pr`es et par
cons´equent, l’´equation cart´esienne de l’hyperplan affine l’est aussi.
Dans le cas g´en´eral, si F est un sous espace affine de dimension p
passant par un point A, F est l’intersection de n − p hyperplan
passant par A. F est ainsi d´efinie par n − p ´equations
Exemples
Une droite dans le plan affine Une droite dans l’espace affine Th´eor`eme (Droites concourantes dans un plan affine) Les trois droites
(D) : ax + by + c = 0
(D 0 ) : a0 x + b 0 y + c 0 = 0
(D”) : a”x + b”y + c” = 0

a
b

Sont parrall`eles ou concourantes ⇐⇒ ∆ = a0 b 0
a” b”
A.Lamrani


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c
c0
c”




= 0.



Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

IV- Quelques applications affines particuli`eres
1- Translations
Une translation du vecteur u~ est l’application tu~ : E −→ E d´efinie par

−−

tu~ (M) = M 0 ⇐⇒ MM 0 = u~.
L’ensemble des translations d’un espace affines E est not´e T (E ) et on a
(T (E ), o) ' (E~ , +).
Exercice Soit t une translation dans un espace affine E et soit X un sous espace
affine de E . Montrer que t(X )//X .
Exercice Montrer que pour toute application affine f : E −→ E et tout point
A ∈ E , il existe une unique d´ecomposition f = tog o`
u t est une
translation et g est une application affine laissant invariant le point A.

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
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IV- Quelques applications affines particuli`eres
2- Dilatations
Pour k ∈ R; l’endomorphisme hk = kIdE~ est appel´e homoth´etie
vectorielle de rapport k. On note par H(E~ ) l’ensemble des homoth´
eties

~
~
de rapport k ∈ R . (H(E ), o) est un sous groupe de GL(E ).
D´efinition
L−1 (H(E~ )) est appel´e groupe des dilatations, ou groupe des
homoth´eties-translations de E not´e D(E ) ou HT (E ).
On appelle homoth´
etie affine de centre Ω et de rapport k ∈ R∗
l’application hΩ,k : E −→ E d´efinie par
−−→
−−→
hΩ,k (M) = M 0 ⇐⇒ ΩM 0 = k ΩM.
On note H(E ) l’ensemble des homoth´etie de E (de rapport non nul).

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IV- Quelques applications affines particuli`eres
Th´eor`eme On a H(E ) ∪ T (E ) = HT (E ) et H(E ) ∩ T (E ) = {IdE }
Th´eor`eme On a
1
tu~ ot~v = t~v otu~ = tu~+~v .
(
−−→
tu~ avec u~ et ΩΩ0 colin´eaires
2
hΩ,k ohΩ0 ,k 0 =
hΩ00 ,kk 0 avec Ω00 ∈ (ΩΩ0 )

si kk 0 = 1,
si kk 0 =
6 1

Exercice Soit f : E −→ E une application affine. On suppose que f transforme
toute droite (D) de E en une droite parall`ele `a (D).
Montrer que f est une translation ou une homoth´etie.

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

IV- Quelques applications affines particuli`eres
Soient X et Y deux sous espaces affines suppl´ementaires d’un espace
~ ⊕Y
~ = E~ ).
affine E (C`ad : X
3- Projections
D´efinition
~ = ~0 est une
L’application f : E −→ E telle que : f /X = IdX et f~/Y
application affine dite projection affine de E sur X parall`element `a Y (ou
~ ) et est not´ee PX .
encore `a Y
(
M0 ∈ X

−−

On a : PX (M) = M 0 ⇐⇒
~
MM 0 ∈ Y
Th´eor`eme
p projection affine ⇐⇒

p application affine
p 2 = p( ie: idempotent ).

A.Lamrani


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IV- Quelques applications affines particuli`eres

Exercice D´eterminer l’expression analytique dans R3 rapport´e au rep`ere affine
canonique (O, I , J, K ) de la projection sur (P) : 2x + 4y + 2z − 4 = 0
parall`element `a X = O + vect(~
u ) avec u~(1, −1, 2).

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Applications affines

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IV- Quelques applications affines particuli`eres
4-Sym´
etries
D´efinition
1
L’application s telle que p = (IdE + s) soit une projection sur X
2
parall`element `a Y est dite sym´etrie affine par rapport `a X parall`element `a
~ ) et est not´e sX .
Y (ou encore `a Y
(

−−

~
MM 0 ∈ Y
0
On a sX (M) = M ⇐⇒
0
Le milieu de [MM ] est dans X .
Th´eor`eme
s sym´etrie affine ⇐⇒

s application affine
s 2 = IdE ( ie: involutive ).

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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

IV- Quelques applications affines particuli`eres
5-affinit´
e.
D´efinition
Soit P une projection affine sur X par rapport `a Y et k ∈ R∗ . On appelle
affinit´e par rapport `a X parall`element `a Y et de rapport k, l’application :
f = kIdE + (1 − k)p.
Remarques k = −1, on retrouve la sym´etrie affine associ´ee `a p.
Pour k = 1, f = IdE .
On a k 6= 0, f est bijective et sa r´eciproque est l’affinit´e par rapport
1
aux mˆemes sous espaces affines et de rapport
k
1
1
f −1 = IdE + (1 − )p.
k
k

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

IV- Quelques applications affines particuli`eres
5-affinit´
e.
D´efinition
Soit P une projection affine sur X par rapport `a Y et k ∈ R∗ . On appelle
affinit´e par rapport `a X parall`element `a Y et de rapport k, l’application :
f = kIdE + (1 − k)p.
Remarques k = −1, on retrouve la sym´etrie affine associ´ee `a p.
Pour k = 1, f = IdE .
On a k 6= 0, f est bijective et sa r´eciproque est l’affinit´e par rapport
1
aux mˆemes sous espaces affines et de rapport
k
1
1
f −1 = IdE + (1 − )p.
k
k

A.Lamrani


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Applications affines

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es s e a et app aff Equs
cart d’un s e a Qlqs app. aff.

IV- Quelques applications affines particuli`eres
Exercice ´
R3 ´etant rapport´e `a un rep`ere affine canonique (O, I , J, K ). Etudier
0
0
0
0
l’application f qui `a M(x, y , z) associe M (x , y , z ) avec :
 0

 x = 3x + 4y + 2z − 4
0
y = −2x − 3y − 2z + 4

 z 0 = 4x + 8y + 5z − 8
Exercice Soit f : E −→ E une application affine telle que :
(∀M ∈ E ) : f 2 (M) est le milieu de [Mf (M)].
Montrer que f est une affinit´e.

A.Lamrani


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