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L.Ghadhab
Exercice N°4 :
Soit f la fonction définie sur IR par f (x) 



3 ex  1 et C sa représentation graphique dans le plan muni d’un
ex  2




repère orthonormé (O; i ; j ) unité : i  j =2 cm
Partie A
1) Montrer que pour tout réel x on a f '(x) 

7 ex

e

x

2



2

et Dresser le tableau de variation de f

2) a)Montrer que I  Log 2 ; 5  est un point d’inflexion




4

b) Vérifier que I est un centre de symétrie de C
3) On considère la fonction g définie sur IR par g(x)= f(x) –x
x

a) Verifier que pour tout reel x :  e 2 x  3 ex  4  0 (Indiction:On pose t= e )
b) Etudier les variations de g
c) En deduire que l’équation f(x) =x admet une unique solution  dans IR et vérifier que  

 2,5; 2,6 

d) Montrer que pour tout x ] –  , ] ;f(x)  x . Endeduire la position de C par rapport à la
droite  d’équation y = x
Partie B
1) Montrer que f réalise une bijection de IR sur J que l’on précisera.
2) Déterminer l’intersection de C avec l’axe des abscisses
3) Tracer  , C et C’ où C’ courbe représentative de la fonction f

1







dans (O; i ; j )

 1 
 2x  1 
4) Montrer que pour tout x   , 3  ; f 1  x   Log 

 3x 
 2 

 

7  ex  1

5) a)Montrer que pour tout réel x on a :f(x) = 
2  ex  2  2


 e  2  1
7

 
b) Montrer que 0 f (x)dx  Log 
 3  2
2


c) Calculer en fonction de , A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des ordonnées
,la droite  et la droite d’équation x= 

Partie C
 u0  0
Soit u la suite définie par : 
un 1  f  un  ,n IN
1) Montrer par récurrence que pour tout n  IN , un   (indiction : utiliser les variations de f )
2) Montrer que u est une suite croissante (indication : utiliser la question partie A 3) d) )En déduire
que la suite u est convergente et calculer sa limite

3
Chapitre : exponentielles + ln + intégrale