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L.Ghadhab

Exercice N°15 :
1) Résoudre dans ℂ l’équation (E  ) suivante : z 2  z (1  ei )  ei  0 ,   0,  
2) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O, u,v) .
Soit A le point d’affixe 1. On appelle f l’application du plan dans lui-même qui, a tout point M d’affixe z
associe le point M’ d’affixe z’ définie par : z’=1-z²

z ' 1
)
z 1
b) En déduire que les points A,M et M’ (A  M et A  M’) sont alignés si et seulement si z ²  R*
z 1
i
3) Dans cette question, on prend z = e ,   0,  
a) Pour z  0 et z  1, Donner une interprétation géométrique de Arg (

a) Montrer que M’appartient à un cercle de centre A dont on précisera le rayon.


i
b) Déterminer la forme exponentielle de z’,en déduire que z '  2 sin  e 2 .
z

c) Que peut-on dire du triangle OMM’ ?

d) Soit M un point du cercle (C) de centre O et de rayon 1 ; Expliquer comment obtenir géométriquement
le point M’ à partir de M. effectuer cette construction.
e) Pour quelle valeur de

 les points A,M et M’ sont alignés ?

Exercice N°16 :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct O, u, v .
Soient A et B les points d’affixes respectives i et  i et l’application f de P\ O vers P qui a pour tout point



M d’affixe z associe le point M ' d’affixe z ' tel que z ' 



z 2 1
.
2z

1) a – Déterminer les points fixes par f .
b – Montrer que z ' est imaginaire si et seulement si , M ' , A et B sont alignés.
2

z 'i  z  i 

 .
z 'i  z  i 
d – En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tel que z ' est imaginaire.
 
2) Soit    0, 
 2
a – Soit le point C d’affixe i sin  , déterminer, sous forme exponentielle, les affixes des points M1 et M 2
antécédents de C par f.
b – Montrer que A, B, M1 et M 2 sont situés sur un même cercle que l’on précisera.

c – Montrer que si z'  i alors





3) Soit l’équation E  : z 2  1  i m  1z  i m2  1  0 , m  ℂ.
a – Résoudre dans ℂ, l’équation E  .
b – On désigne par N1 m  i  et N 2 im  1 .

Montrer que I N1 N 2 est un triangle rectangle et isocèle en I. tel que I 1  i 

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Chapitre : Statistique- espace - complexes