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L.Ghadhab
F (x )
x 
x

b) En déduire : lim F (x) et lim
x 

c) Montrer que F est dérivable sur [1, + ∞ [ et que x  1 on a : F ' x  
d) En déduire que : x  1 on a : F  x   

1
x  ln x

dt
t  ln t
e) Soit (Г) la courbe de F dans un autre repère orthonormé
Ecrire une équation de la demi tangente (T) à (Г) au point d’abscisse 1, puis étudier la
Position de (T) et (Г)
x

1

Exercice N°7:
 x 1
Soit la fonction h définie sur 0, , par h( x)  ln
.
 x 
1-/ a) Montrer que h est strictement décroissante 0, .

b) Montrer que h admet une réciproque g définie sur 0, et pour tout x  0 , g ( x) 

1
x

e 1

.

c) Montrer que l’équation g ( x)  x admet dans 0, une solution unique  et que : ln 2    1 .
2-/ Soit la fonction f définie sur IR* , par f ( x)  x 

1
x

e 1

.

Soit ( f ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
a) Dresser le tableau de variation de f .
b) Montrer que la courbe ( f ) admet deux asymptotes obliques D et D’ d’équations respectives
y  x et y  x  1
1
c) Montrer que I  0,  est un centre de symétrie pour la courbe ( f ) .


2

d)  étant le réel définie au 1-/c), montrer que f ' ()  1     2 et écrire une équation de la tangente ( T )
à ( f ) au point A d’abscisse  .
e) Tracer D, D’ ,( T ) et ( f ) . ( on prendra   0,8 ).
x2
 ln1  e  x  est une primitive de f sur 0, .
3-/ a) Montrer que la fonction F : x 
2

 et dresser le tableau de variation de F.
0
,

b) Préciser le signe de f (x) sur
F ( x)
x   x

c) chercher lim

et donner l’allure de la courbe () de la fonction F. ( nouvelle figure)

5
Chapitre : exponentielles + ln + intégrale