Corrigé serie N°01 math 2017 2018 .pdf



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Universit´e A/Mira de B´ejaia
Facult´e des Sciences ´economiques, commerciales et de gestion
D´epartement SEGC-LMD (1`ere ann´ee)

Ann´ee Universitaire 2017/2018
F´evrier 2018

Corrig´
e de la s´
erie de TD N˚ 01 ” Math´
ematiques II ”

Exercice N˚01 :
Soient les matrices suivantes :
…

A=

1 2
3 2
1 −1
‚

R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R

D=



‚

2 −5 2
−3 2 1

B=

1 2
2 0

Œ

‚

E=

Œ

‚

C=

…

Œ

−1 1
4 −3

F =

Œ

−1 2 −3
2 −1 4
11
8
12



B − A : Impossible car les deux matrices n’ont pas la mˆeme dimension.
‚

−2A +3B−4C =
…

Œ

−2 −6 −2
−4 −4 2

T

‚

+



6 −15 6
−9 6 3

…

‚
Œ
1 2
1+4
1 2
3 2
3+4
AD =
×
=
2 0
1 −1
1−2
D A : Impossible car le nombre de colonnes

Œ

‚





−4 8 −12
8 −4 16

…

Œ

‚

=

8 −29 16
−21 6 −11



2+0
5 2
6+0
7 6
=
.
2+0
−1 2
de D est diff´erent du nombre de lignes de A.

A F : Impossible car le nombre de colonnes de A est diff´erent du nombre de lignes de F.
F A : Impossible car le nombre de colonnes de F est diff´erent du nombre de lignes de A.
…



1 2
€
Š
€
3 2
F T A = 11 8 12 ×
= 11 + 24 + 12 , 22 + 16 − 12
1 −1
…

‚
Œ
‚
Œ
‚
Œ
11
2 −5 2
22 − 40 + 24
6
8
BF =
×
=
=
−3 2 1
−33 + 16 + 12
−5
12

Š

=

€

47 26

Š

.

A2 = A × A : Impossible car le nombre de colonnes de A est diff´erent du nombre de lignes de A
(A n’est pas carr´ee).
‚

DE =
‚

ED =

1 2
2 0

Œ

‚

×

−1 1
4 −3

−1 1
4 −3

Œ

‚

×

1 2
2 0

Œ

‚

=
Œ

‚

=
‚

3

2

D =D×D×D =D ×D =

−1 + 8 1 − 6
−2 + 0 2 + 0

Œ

−1 + 2 −2 + 0
4−6
8+0

5 2
2 4

Œ

‚

×
1

1 2
2 0

‚

=
Œ

‚

=

Œ

‚

=

Œ

7 −5
−2 2

1 −2
−2 8

9 10
10 4

Œ

.

Œ

.

Œ

.

R
R

…

FFT =

FTF =

€



11
8
12

…

×

€

11 8 12
…

11 8 12

Š

×

11
8
12

Š

=



11 × 11 11 × 8 11 × 12
8 × 11 8 × 8 8 × 12
12 × 11 12 × 8 12 × 12



…

=

121 88 132
88 64 96
132 96 144



= 121 + 64 + 144 = 329.

Exercice N˚02 :
Soient A et B deux matrices carr´ees d’ordre n. A et B commutent ⇔ AB = BA.


Si A et B ne commutent pas
(A + B)2
= (A + B) ×(A + B)
= A2 + AB + BA + B 2





(A − B)2

= (A - B) ×(A − B)
= A2 − AB − BA + B 2





(AB)2

= (A B) ×(AB)
=ABAB





(A + B)(A − B)

= A2 − AB + BA − B 2



Si A et B commutent
(A + B)
= (A + B) ×(A + B)
= A2 + AB + BA + B 2
= A2 + 2AB + B 2
2
(A − B)
= (A - B) ×(A − B)
= A2 − AB − BA + B 2
= A2 − 2AB + B 2
2
(AB)
= (A B) ×(AB)
=ABBA
= A2 B 2 = B 2 A2
(A + B)(A − B) = A2 − AB + BA − B 2
= A2 − AB + AB − B 2 = A2 − B 2
2

Exercice N˚03 :

R

‚

Soient A =

−1 −1
3
3

‚

AB = O(2,2) ⇔

Œ

‚

, et B =

−2 − x 2 − y
6 + 3x −6 + 3y

2 −2
x y

Œ

‚

=

Œ

.
8

0 0
0 0

>
>
<

Œ

⇔>
>
:

R

Alors AB = O(2,2) si et seulement si x = -2 et y = 2 .
‚
Œ
‚
Œ
5 2
1 2
Soient A =
, et B =
.
2 4
2 k
‚

AB = BA ⇔

9 10 + 2k
10 4 + 4k

Œ

‚

=

9
10
10 + 2k 4 + 4k

Œ

−2 − x
2−y
6 + 3x
−6 + 3y

8
>
>
<

⇔>
>
:

=
=
=
=

9
10 + 2k
10
4 + 4k

8

0
>
>
<
0
⇔>
0
>
:
0

=
=
=
=

x = −2
y=2
x = −2
y=2

Alors AB = BA si et seulement si k = 0 .

Exercice N˚04 :
• D´eveloppement par rapport a` la premi`ere ligne.
















1 2 1






2 3
2 1

1 3
= −2 + 8 + 0 = 6.
41 = 2 1 3 = 1
− 2
+ 1
1 1
2 1
2 1

2 1 1

2

8

9
>
>
<
10
⇔>
10 + 2 k
>
:
4+4k

9=9
k=0
k=0
k=0

• D´eveloppement par rapport a` la troisi`eme colonne qui contient le maximum d’´el´ements nuls.












2
3
0

3
2

0 = 0 + 0 − 2
= −2(−8 − 6) = 28.
42 = 2 −4
2 −4


9 11 −2

• D´eveloppement par rapport a` la deuxi`eme ligne qui contient le maximum d’´el´ements nuls.












1 −1 3

1 −1


0
0 4 = 0 + 0 − 4
= −4(−6 − 6) = 48.
43 =
−6 −6


−6 −6 2

• D´eveloppement par rapport a` la troisi`eme ligne qui contient le maximum d’´el´ements nuls.










1
2
44 =
0
2

0
1
0
1

0
1
0
3











1
0
= 0+0+0 −2
2
1




1 0 0

1 1

2 1 1 = −2 1
1 3

2 1 3

!





= −2(3 − 1) = −4.

Exercice N˚05 :
Propri´
et´
e 01 : On ne modifie pas la valeur d’un d´eterminant d’une matrice, si on ´ecrit une ligne (respectivement une colonne) comme combinaison lin´eaire d’autres lignes (respectivement d’autres colonnes)
de cette mˆeme matrice.
Propri´
et´
e 02 : Le d´eterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses ´el´ements diagonaux.










1 2 1
2 3 2
−4 1 2









L1
L2
L3









=

1
2 1
0 −1 0
0
9 6









(1)

L1 = L1
(1)
L2 = L2 − 2L1
(1)
L3 = L3 + 4L1

=









1
2 1
0 −1 0
0
0 6









(2)

L1 = L1
(1)
(2)
L2 = L2
(2)
(1)
(1)
L3 = L3 + 9L2

= 1 × −1 × 6 = − 6.











2 1
3
2 4
2
1 4 −5









L1
L2
L3

=









2
1
3
0
3
−1
0 7/2 −13/2









(1)

L1 = L1
(1)
L2 = L2 − L1
(1)
L3 = L3 − 12 L1

=









2 1
3
0 3
−1
0 0 −32/6

= 2×3×−

3









(2)

L1 = L1
(2)
(1)
L2 = L2
(2)
(1)
(1)
L3 = L3 − 67 L2

32
= − 32.
6













1
3
−1
2

2
1
2
1 −2
3
0
3
1
3
2 −2











L1
L2
L3
L4











=

=

=





















1
2
1
2
0 −5 −5 −3
0
2
4
3
0 −1
0 −6

1
2
1
2
0 −5 −5
−3
0
0
2
9/5
0
0
1 −27/5
1
2
1
2
0 −5 −5
−3
0
0
2
9/5
0
0
0 −63/5

1 × −5 × 2 × −











(1)

L1
(1)
L2
(1)
L3
(1)
L4




















= L1
= L2 − 3L1
= L3 + L1
= L4 − 2L1

L1
(2)
L2
(2)
L3
(2)
L4

(2)

= L1
(1)
= L2
(1)
(1)
= L3 + 25 L2
(1)
(1)
= L4 − 51 L2

(3)

= L1
(1)
= L2
(2)
= L3
(2)
(1)
= L4 − 12 L2

L1
(3)
L2
(3)
L3
(3)
L4

63
= 63.
10

Exercice N˚06 :
Soient les matrices suivantes :
‚

A=








−1 2
−2 3

Œ

‚

,B =

1 2 3
2 4 6







…

Œ

,C =

12
4 −4
−3 −1
1
−3
0
0



…

, et D =



1 0 3
3 0 2
1 2 3

−1 2
A est car´ee, et det(A) =
= 1 6= 0, alors
Rang(A) = 2
−2 3
‚
Œ
1 2 3
B=
, n’est pas carr´ee, alors Rang(B) ≤ min{2, 3} ⇔ Rang(B) ≤ 2
2 4 6











1 2
1 3
2 3
Rang(B) 6= 2 car
=
=
= 0, alors Rang(B) = 1
2 4 2 6 4 6



4 −4
12


C est carr´ee et det(C) = −3 −1 1 = 0, alors Rang(C) < 3 ⇔ Rang(C) ≤ 2


−3
0 0


−1
3
= −3 6= 0
Donc Rang(C) = 2 car
−3
0



3
1 0


D est car´ee, et det(D) = 3 0 2 = 14 6= 0, alors Rang(D) = 3


1 2
3

Exercice N˚07 :
Soient les matrices suivantes :
‚

R

A=

−1 0
2 2

…

Œ

,B =

3 0 6
1 1 2
3 0 6



…

, et C =

det(A) = −2 6= 0, alors la matrice A est inversible.
4

1 2 3
3 0 1
1 2 1





Calcul de A−1
Par la m´
ethode des cofacteurs :
A−1 =

(A, I2 ) → (I2 , A−1 )

1
(Com(A))T
det(A)
‚

2 −2
0 −1

Com(A) =

Œ

1
Com(A)T
det(A)
‚

−1

Alors A

=

=

−1 0 1 0
2 2 0 1

(A, I3 ) =
‚



Par la m´
ethode de GAUSS-JORDAN :

1
−2

−1 0
1 12

2
0
−2 −1

Œ

‚



‚

−1

Alors A

Calcul de C −1
Par la m´
ethode des cofacteurs :
C −1 =

1
det(C)

=

Com(C) =

…

0

Alors C −1 =

R
R

B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

=

Œ

(C, I3 ) → (I3 , C −1 )

−2 −2
6
4 −2
0
2
8 −6

1
Com(C)T
det(C)



!

Par la m´
ethode de GAUSS-JORDAN :



…

1 2 3 1 0 0
3 0 1 0 1 0
1 2 1 0 0 1

(C, I3 ) =
0



−1 0
1 12

(Com(C))T

…

0 −1 0
2
2 1

1
0

Œ

1 0 −1 0
1 12
0 1

Œ

!

1
12

−2
4
2
−2 −2
8
6
0 −6



1
6

1
3

1
6



1
1

6
6

2
3

1
2

1
2

0 −





B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

1 0

1
3

0

0 1

4
3

1
1

0
2
6

0 0

−2

1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

−1

0

Alors C −1 =

det(B) = 0, alors la matrice B n’est pas inversible.
det(C) = 12 6= 0, alors la matrice C est inversible.

5

B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

1
0
3





1

0

C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@



0 1



1
6

1
3

1
6



1
1

6
6

2
3

1
2

1
2

0 −

…

1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A

1
0
0

1 0 0
2
3
−6 −8 −3 1 0
0 −2 −1 0 1

1 0 0 −

1
6

1
3

1
6

0 1 0 −

1
1

6
6

2
3

0 0 1

1
2

1
2

0 −

1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
A



Exercice N˚08 :
…

Soit A =

R

1 0 0
0 0 1
0 −1 0



A3 − A2 + A − I3

…

=
…

=

R

1
0
0
0
0
0

0
0
1
0
0
0

A3 − A2 + A − I3 = O(3,3)



…

0
1 0
0
−1
0 −1 0


0 0 −1
0
0
= O(3,3) .
0



…

+

1 0 0
0 0 1
0 −1 0

⇒ A3 − A2 + A = I3
⇒ A3€− A2 + AI3 Š= I3
⇒ A A2 − A + I3 = I3
{z

|

}

A−1

De plus
A3 − A2 + A − I3 = O(3,3)





A3 − A2 + A = I3
3
A
− A2 + I3 A
= I3
Š
€
2
A − A + I3 A = I3
|

{z

}

A−1

La matrice A est alors inversible, et A−1 = A2 − A + I3 ) =

6

…

1 0 0
0 0 −1
0 1 0



.



…



1 0 0
0 1 0
0 0 1




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