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La Théorie Relative de la Monnaie Revisitée
Vers une TRM Généralisée

Maxime du Denier

Cet article présente et analyse les performances d’un dispositif de création monétaire symmétrique (ou démocratie monétaire) dans une population utilisant cette monnaie pour les échanges
entre ses individus. Ce dispositif est identique à celui proposé par la Théorie Relative de la
Monnaie (TRM) dans le cas idéal d’une population caractérisée par une durée de vie fixe pour
chacun de ses individus (cas le plus simple possible, mais bien entendu non réaliste). La généralisation par rapport à la TRM est la possibilité de prendre en compte pour chaque individu de
la population, la spécificité de sa courbe statistique d’espérance de vie. Un avantage attendu de
cette approche par rapport celle uniforme de la TRM est de réduire la variance de la création
monétaire entre individus de même loi d’espérance de vie. Il s’agit donc d’améliorer tant les
symmétries spatiales que temporelles recherchées par la TRM.
On part de l’idée d’une masse monétaire initialement nulle, servant aux échanges au sein d’une population
qui est résultat d’un flux aléatoire dans le temps, de naissances et de décès . Cette masse monétaire est
augmentée/diminuée d’une somme fixe m0 à chaque arrivée/départ d’un individu dans la population. Entre
ces évènements discrets, la masse monétaire est soumise à un taux de croissance constant dans le temps dès
lors qu’il y a au moins un individu vivant dans la population. Si P désigne la population des participants au
i et T i sont les instants d’entrée
système monétaire, qu’ils soient décédés, vivants ou pas encore nés, si Tin
out
et de sortie du système pour le participant i et si k est le taux de croissance imposé de la masse monétaire,
on a :
ˆ

X
i
i
M (t) = m0
δ(t − Tin
) − δ(t − Tout
) + kM (t) dt
R

i∈P

Se pose ensuite la question de la stratégie de répartition entre individus de cet accroissement de la masse
monétaire (avant son possible emploi dans des échanges économiques), qui respecte des valeurs d’équité et
de démocratie entre les membres vivants de cette population. On appelle clé de répartition, toute fonction
Pr(i, t) positive qui satisfait à la condition :
X

Pr(i, t) = 1 et Pr(i, t) = 0 lorsque i n’est pas vivant à l’instant t.

i∈P

ˆ
M (t) =

m0
R

X



i
i
δ(t − Tin
) − δ(t − Tout
) +kM (t) dt =

i∈P

X
i∈P

ˆ



i
i
m0 δ(t − Tin
) − m0 δ(t − Tout
) + k Pr(i, t) M (t) dt

R

Chaque individu i reçoit un capital de création monétaire Mi initialement nul, tel que :
M (t) =

X

Mi (t)

i∈P

et
Mi (t) =

ˆ



i
i
m0 δ(t − Tin
) − m0 δ(t − Tout
) + k Pr(i, t) M (t) dt

R

1

(t)
On appelle élément différentiel du capital d’unité de comptes de l’individu i à l’instant t l’élément : PdMiM
(t)
j∈P

j

exprimé comme fraction infinitésimale de la masse monétaire globale qui a été crée au profit de l’individu i.
Une première clé de répartition est : Pr(i, t) = 0 si i n’est pas vivant à l’instant t et Pr(i, t) = N1(t) dans le cas
contraire, avec pour N (t) le nombre d’individus dans la population qui sont vivants à l’instant t. Appelons
i < t < T i ) et qui est nulle sinon. Alors :
i(t) la fonction qui est égale à 1 si i est vivant ( Tin
out
N (t) =

X

i(t)

i∈P

et
X

M (t) =

ˆ
m0 δ(t −

i
Tin
)

− m0 δ(t −

i
Tout
)

i∈P

ˆ

et

m0 δ(t −

Mi (t) =

i
Tin
)

− m0 δ(t −

i
Tout
)

i(t)
+k
M (t)
N (t)

i(t)
M (t)
+k
N (t)



dt



dt

Le dividende, exprimé en unité de compte, reçu par un individu est dans ce cas constant tout au long de
son existence. Cette façon de répartir la création monétaire est celle retenue par la TRM de Galuel. On
va voir qu’à moins d’avoir affaire à des individus qui meurent à un âge fixe, cette approche est loin d’être
optimale en ce qui concerne le contrôle du niveau de fluctuations du capital d’unité de compte accumulé par
des individus pourtant régis par la même loi de mortalité.
0

Evi (t)

Une autre clé de répartition possible est Pr(i, t) = i(t) X

0

Evj (t)

0

ou Evi (t) est la dérivée par rapport au

j∈P

temps de la fonction espérance de vie Evi (t) de l’individu i qui exprime la meilleure connaisssance que l’on
ait à l’instant t de la durée moyenne du temps qu’il lui reste à vivre. On a alors :


M (t) =

X
i∈P

et



ˆ 
R

0

Evi (t)


i
i
X
m
δ(t

T
)

m
δ(t

T
)
+
k
i(t)
M (t) dt
 0
0
0
in
out


Evj (t)

j∈P





ˆ 
0

Evi (t)


i
i
Mi (t) = m0 δ(t − Tin ) − m0 δ(t − Tout ) + k i(t) X 0
M (t) dt


Evj (t)
R

j∈P

Dans ce cas le dividende, exprimé en unité de compte, reçu par un individu peut varier le long de son
existence suivant la composition de la population.
Il est conjecturé que cette deuxième clé de répartition réduit par rapport à la première, l’écart type des
fluctuations du capital d’unité de compte accumulé sur une vie par des individus régis par une même loi
statistique d’espérance de vie. En effet c’est alors en fin de vie que le dividende le plus faible a toutes les
chances d’être distribué.
Une troisième clé de répartition est encore pire que la première pour l’écart type des fluctuations du capital
d’unité de compte accumulé sur une vie qu’elle entraine. Cette troisième clé est déduite de la seconde clé
0
0
(l’optimale) en substituant 1 − Evi (t) à Evi (t). En effet c’est alors en fin de vie que le dividende le plus
fort risque d’être distribué. On voit aussi que c’est dans ce cas que l’omission de déclarer un décès a le plus
d’effet sur la justesse de répartition de la croissance monétaire.

2

Quelques cas simples avec courbe d’espérance de vie
Population réduite à un seul individu
Si la population P est réduite à un seul individu a commencant à vivre à l’instant t = 0 dans le système
monétaire. Alors Pr(a, t) = 1 et :
dMa (t) = (m0 δ(t) + ka Ma (t)) dt
qui s’intègre en :
Ma (t) = ekt m0 Heaviside (t)
qui est nulle avant l’instant initial pour augmenter ensuite exponentiellement avant qu’on ne lui soustrait
m0 à sa sortie du système :


Ma (TOut ) = m0 ekTOut − 1



Il faut noter que dans ce cas élémentaire la forme de la courbe d’espérance de vie n’intervient pas dans le
résultat.

Population à 2 individus
Si la population P est réduite à deux individu a et b de même loi statistique d’espérance de vie et commencant
dEva (t)
dt
dEv (t)
a (t)
+ dtb
dt

tous deux à vivre à l’instant t = 0 dans le système monétaire. Alors Pr(a, t) = dEv
k
dMa (t) = m0 δ(t) + (Ma (t) + Mb (t))
2




= 1 et
2

k
dt et dMb (t) = m0 δ(t) + (Ma (t) + Mb (t))
2




dt

d’ou avant la sortie du système des deux individus :
n

o

Ma (t) = m0 ekt Heaviside (t) , Mb (t) = m0 ekt Heaviside (t)

Là aussi la forme de la courbe d’espérance de vie n’intervient pas dans le résultat.

Simulations numériques
On voit que pour prédire les statistiques d’évolution des Mi (t), on doit résoudre suffisament de fois un
grand système d’équations différentielles du premier ordre, nourries du tirage aléatoire des dates d’entrées
des individus dans le système et du tirage aléatoire de leurs durées de vie suivant des lois de mortalité
qui peuvent varier suivant les sous-populations auxquelles ils apppartiennent : hommes, femmes, ethnies
différentes . . .

3

Annexe : Éléments de modélisation démographique
En matière de sujets liés à la démographie et la TRM l’ est assuremment, l’approche probabiliste s’ impose
pour obtenir les valeurs moyennes, écarts types de valeurs intéressantes sur une population d’ individus dont
la durée de vie est aléatoire. Pour notre usage nous allons identifier le caractère mortel d’ un individu à
une variable aléatoire. Une densité de probabilité et une fonction de répartition caractérisent cette variable
aléatoire :
— p(t) densité de probabilité à valeurs dans R+ . La probabilité de mourir pendant la durée
´ ∞ infinitésimale dt à l’instant t est p(t) dt. L’assurance de mourir un jour ou l’autre s’exprime par : 0 p(t) dt = 1.
´t
— F (t) = 0 p(x) dx est la fonction de répartition qui donne la probabilité de mourir avant l’instant
t.
´∞
— S(t) = 1 − F (t) = t p(x) dx est la fonction de survie qui mesure la probabilité de vivre à l’instant
t.
´∞
— Ev(t) = t S(x)
S(t) dx est la courbe d’espérance de vie qui donne la durée moyenne de survie sachant
que l’on était vivant à l’instant t (S(t) n’est donc pas nul).
´t

— S(t) = e

0



0
Ev (x)+1
Ev(x)

dx

— L’âge moyen de mort après l’instant t est donné par l’expression :
´∞
x p(x) dx
As(t) = ´t ∞
t p(x) dx
la durée moyenne de survie après l’instant t est donnée alors par l’expression As(t) − t. On doit donc
avoir l’égalité (à démontrer) :
Ev(t) = As(t) − t
— Dérivée

dEv(t)
dt
0

= Ev 0 (t) de l’espérance de durée de vie Ev(t) = As(t) − t =

Ev (t) =

−t p(t)

´∞
t

´∞
x p(x) dx
´t ∞
t p(x) dx

−t :

´∞
´∞
(x − t) p(x) dx
p(x) dx − p(t) t x p(x) dx
´∞
− 1 = p(t) t ´ ∞
−1
2
( t p(x) dx)
( t p(x) dx)2

(0.1)

on constate que Ev 0 (t) est toujours plus grand que −1.
— Avant la naissance on considère que Ev(t) est constant et égal à l’espérance de vie au premier instant
de la vie. Après la mort on convient que Ev(t) = 0. Avec ces conventions on peut donc affirmer que
Ev(t) est définit sur R et que Ev 0 (t) = 0 avant la naissance et après la mort.
La création monétaire exprimée en unités de compte cumulées sur une vie va bien sûr dépendre de la durée
de cette vie entre le moment de l’entrée de l’individu dans le système TRM et celui de
´ t sa sortie. Pour un
individu, le capital C(t) de création monétaire ´accumulée jusqu’à l’instant t est égal à 0 r(u) du. La valeur

moyenne de C(t) sur la population est égale à 0 p(t) C(t) dt. On a alors les égalités :
ˆ∞

ˆ∞
p(t) C(t) dt =

C=
0

S(t) r(t) dt
0

´∞
La variance du capital de création monétaire accumulée est exprimée par V = 0 p(t) (C(t) − C)2 dt.
h
i∞
´∞
Une intégration par parties donne alors V = −S(t) (C(t) − C)2
+ 0 S(t) 2 (C(t) − C) r(t) dt ce qui
0

moyennant l’hypothèse très raisonnable que S(∞) (C(∞) − C)2 = 0 et le fait que S(0) = 1 donne :
ˆ∞
2

S(t) 2 (C(t) − C) r(t) dt

V =C +
0

et l’écart type E sur le capital de création monétaire accumulée est alors V 1/2 .

4


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