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dm ts equations differentielles lineaires .pdf


Nom original: dm_ts_equations_differentielles_lineaires.pdf

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Devoir terminale S : ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier
ordre
Valentin Vinoles
6 novembre 2010
Le but de ce devoir est d’´etudier les ´equations diff´erentielles de la forme
y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x)
o`
u y est la fonction inconnue, et o`
u a et b sont des fonctions donn´ees que l’on prendra assez r´eguli`eres (par
exemple d´erivables `
a d´eriv´ees continues).

´
Equation
homog`
ene

1

On s’int´eresse pour l’instant `
a l’´equation diff´erentielle homog`ene (H) : y 0 (x) + a(x)y(x) = 0 sur un intervalle
I. Posons A une primitive de a sur I.
1. Montrer que la fonction y(x) = λe−A(x) est une solution de (H) sur I pour tout λ ∈ R.
2. R´eciproquement, montrer que toute solution y de (H) sur I s’´ecrit y(x) = λe−A(x) avec λ ∈ R (on
pourra consid´erer la fonction z(x) = y(x)eA(x) ).
3. Retrouver le r´esultat du cours sur les solutions de l’´equation diff´erentielle y 0 (x) = αy(x) sur R o`
u α est
une constante.
4. On suppose de plus que y(x0 ) = y0 avec x0 ∈ I et y0 ∈ R. Montrer que (H) admet une unique solution
sur I sous la forme
y(x) = y0 eA(x0 )−A(x) .
5. Trouver les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :
(a) y 0 (x) + (2x + 1)y(x) = 0 sur I = R avec y(0) = 1 ;

(b) y 0 (x) = xy(x) sur I = R+ avec y(1) = 2 ;
(c) sin(x)y 0 (x) + cos(x)y(x) = 0 sur I =] − π/2, π, 2[ avec y(−1) = 3.

´
Equation
avec avec second membre

2
2.1

´
Etude
th´
eorique

On consid`ere maintenant l’´equation diff´erentielle (E) : y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x) sur un intervalle I. On exige
´egalement que y(x0 ) = y0 avec x0 ∈ I et y0 ∈ R. On pose yH l’unique solution de l’´equation diff´erentielle
homog`ene (H) associ´ee `
a (E). D’apr`es la partie pr´ec´edente, on a yH (x) = y0 eA(x0 )−A(x) .
Soit y une fonction d´erivable sur I. Posons λ(x) = y(x)eA(x) .
1. Montrer que y est une solution de (E) sur I si et seulement si λ est une primitive de beA sur I telle
que λ(x0 ) = y0 eA(x0 ) .
2. En d´eduire que y est solution de (E) sur I si et seulement si λ s’´ecrit sous la forme
Z x
λ(x) = y0 eA(x0 ) +
b(t)eA(t) dt.
x0

1

3. En d´eduire que l’unique solution y de (E) existe et s’´ecrit y(x) = yH (x) + yP (x) o`
u
Z x
b(t)eA(t)−A(x) dt.
yp (x) =
x0

4. Retrouver le r´esultat du cours sur les solutions de l’´equation diff´erentielle y 0 (x) = αy(x) + β sur R o`
u
α et β sont des constantes.

2.2


ethode de la variation de la constante

D’apr`es ce qui pr´ec`ede, pour r´esoudre (E) avec une condition de la forme y(x0 ) = y0 , il suffit de calculer la
solution yH de l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee (H) et de trouver une solution particuli`ere yP de
(E) sous la forme yP (x) = a(x)λ(x) avec λ une fonction `a calculer. Toute solution de (E) s’´ecrit alors sous
la forme y = yH + yP .
1. On s’int´eresse `
a l’´equation diff´erentielle
(E1 )

:

y 0 (x) +

1
y(x) = x2
x


sur I = R+
avec y(1) = 0.

(a) Calculer la solution yH de l’´equation diff´erentielle homog`ene associ´ee `a (E1 ).
(b) On va rechercher une solution particuli`ere yP sous la forme yP (x) = a(x)λ(x). Montrer que yP est
une solution de (E1 ) si et seulement si λ0 (x) = x3 .
(c) En d´eduire une solution particuli`ere de (E1 ).
(d) Trouver alors la solution de (E1 ).
2. En s’insipirant de cette d´emarche, calculer les solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :
(a) y 0 (x) + xy(x) = 5 sur I = R avec y(0) = 1 ;
(b) y 0 (x) = y(x) + cos(x) sur I = R avec y(1) = 2 ;
(c) sin(x)y 0 (x) + cos(x)y(x) = 2xex sur I =] − π/2, π, 2[ avec y(−1) = 3.

2


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