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Lycée Louis le Grand
1:l1lrecen c!,L')sespréparatoires MPSI
Duree de l'épreuve: 4 heures JO minutes
Les calculatrices ne son t pas autorisées
Problènle 1
Montrer que pour tout réel a et pour tout réel x on dispose des inégalités:
a - a2 :::: '1.,

et

a ( 1-)\

. 2
) +(I-a

.2

) x ~a-a

2

Problème 2
Soit l'équation:
Z5 = 1
1) Résoudre dans C celte équation et réprésenter les imtl,ges de ses solutions dans le
plan c()mple::;e
2) Montrer:
cos 21[/5 + ~os 41[/5 = -1/2
3) Montrer que cos Zn /5 est solution de 1"éq uation : 4X2 + 2x -1 = 0 : en déduire la
valeur de cos Zn /5
Pro blème 3

Dans le plan on se donne deux cercles sécants et on désigne par M et N les points
d'intersection de ces deux cercles. Une tangente commune à ces deux cercles les touche

respectivementen Pet Q. Montrerque lestrianglesMN? et MNQont mêmeaire.
Problème 4
1) Soit n un entier naturel congru à 3 modula 4. Montrer que n admet un di\iseur
premier congru à 3 modulo 4

2) Montrerqu'il existeune infinitéde nombrespremierscongrusà 3 modulo 4,
Problème 5
Trois urnes contiennent des billes et chaque urne est suffisammenr grande pour
contenir la totalité des billes. On autorise l'opération suivante: doubler le nombre de billes
~dans une urne en prélev~t les billes nécessaires dans une des autres urnes.
,
.'Montrer
qu'il est possible, par une succession d'opérations, d'obtenir, quelle que soit
la configuration initiale, une situation dans
laquelle
une des urnes est vide.
.
.


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