CoursAnalyseI version2018.pdf


Aperçu du fichier PDF coursanalysei-version2018.pdf - page 2/178

Page 1 234178



Aperçu texte


Table des matières
1 Nombres réels
1.1

2

Rappels sur les relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Définitions et exemples

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Ensembles totalement ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Plus grand élément - Plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Borne supérieure - Borne inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Insuffisance des nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3

Corps commutatifs totalement ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1

Définitions et propriètés de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Valeur absolue dans un corps commutatif totalement ordonné . . . . . . 16

1.3.3

Corps commutatifs totalement ordonnés archimédiens . . . . . . . . . . 17
Proprièté d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Densité de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4

Corps commutatifs totalement ordonnés archimidiens complets . . . . . 20
Intervalles dans un corps totalement ordonné archimédien . . . . . . . . 20
Proprièté des intervalles emboités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Suites numériques
2.1

2.2

35

Définition et propriètés d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1

Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.2

Suites majorées, suites minorées et suites bornées . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.3

Croissance - Décroissance - Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1

Définition et propriètés de la limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.2

Extention de la notion de limite

2.2.3

Opération sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Multiplcation par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3

2.4

2.2.4

Lien entre suites réelles et suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.5

Ordre de R et suite réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1

Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2

Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3.3

Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Sous-suites - Valeurs d’adérence - Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . 54
2.4.1

Sous-suite ou suite extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2

Valeurs d’adhérence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.4.3

Théorème de Bolzano-Weierstrass
ii

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57