CoursAnalyseI version2018.pdf


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4.3.6

Fonctions hyperboliques - Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . 111
Fonction cosinus hyperbolique et fonction argument cosinus hyperbolique111
Fonction sinus hyperbolique et fonction argument sinus hyperbolique . . 111
Fonction tangente hyperbolique et fonction argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4

4.5

Dérivées des fonctions usuelles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.4.1

Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

4.4.2

Extremums d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.4.3

Théorème de Rolle - Théorème des accroissements finis

4.4.4

Sens de variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4.5

Formules de taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

. . . . . . . . . 118

Développents limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.5.1

Définition et propriètés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.5.2

Opération sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Somme et multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Développent limité d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Quotient de deux développents limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.5.3

Développents limités usuels au voisinage de 0 . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.5.4

Utilisation des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Recherche d’équivalent simple - Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . 136
Caractérisation d’extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Position d’une courbe par rapport à une tangente . . . . . . . . . . . . . 138

4.5.5

Développents limités généralisés

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Développents limités généralisés au voisinage d’un point de R . . . . . . 140
Développents limités généralisés au voisinage de l’infini

. . . . . . . . . 141

Recherche d’asymptotes obliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.6

Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.6.1

Définition de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.6.2

Continuité et dérivabilité des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . 146

4.6.3

Caractérisation de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.6.4

Quelques inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Inégalité de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Inégalités des moyennes arithmétique et géométrique . . . . . . . . . . . 152
Inégalité de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.7

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.7.1

Limites - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.7.2

Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.7.3

Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

4.7.4

Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.7.5

Formules de taylor - Développents lmités . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.7.6

Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

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Pr.Mohamed HOUIMDI