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TRM Revisited issue0 .pdf



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La Théorie Relative de la Monnaie Revisitée
Vers une TRM Généralisée

Maxime du Denier

Cet article a pour but de présenter et de développer à terme, le principe et les études de
performances d’un dispositif de création monétaire symmétrique (ou démocratie monétaire) dans
une population utilisant cette monnaie pour les échanges entre ses individus. Ce dispositif est
identique à celui proposé par la Théorie Relative de la Monnaie (TRM) dans le cas idéal d’une
population caractérisée par une durée de vie fixe pour chacun de ses individus (cas le plus
simple possible, mais bien entendu non réaliste). La généralisation par rapport à la TRM est
la possibilité de prendre en compte pour chaque individu de la population, la spécificité de la
courbe statistique d’espérance de vie dont il relève. Un avantage de cette approche par rapport
celle uniforme de la TRM est de trouver le moyen de réduire la variance de la création monétaire
cumulée sur une vie, entre individus de même loi d’espérance de vie. Il s’agit donc d’améliorer
tant les symmétries spatiales que temporelles telles que définies et recherchées par la TRM.
Cet emploi d’un principe extrémal, par minimisation d’une variance, associé à celui d’un
principe de relativité des valeurs, mesurées dans le référentiel de chacun, donne à cette théorie
de la monnaie un fondement proche dans sa forme de celui employé dans les théories physiques
(formulations Lagrangiennes)
On part de l’idée d’une masse monétaire, initialement nulle, servant aux échanges au sein d’une population
qui est le résultat d’un flux aléatoire dans le temps, de naissances et de décès. Cette masse monétaire est
augmentée/diminuée d’une somme fixe m0 à chaque arrivée/départ d’un individu dans la population. Entre
ces évènements discrets, la masse monétaire est soumise à un taux de croissance constant dans le temps dès
lors qu’il y a au moins un individu vivant dans la population. Si P désigne la population des participants au
i et T i sont les instants d’entrée
système monétaire, qu’ils soient décédés, vivants ou pas encore nés, si Tin
out
et de sortie du système pour le participant i et si k est le taux de croissance imposé de la masse monétaire,
on a :
ˆ

X
i
i
M (t) = m0
δ(t − Tin
) − δ(t − Tout
) + kM (t) dt
R

i∈P

Se pose ensuite la question de la stratégie de répartition entre individus de cet accroissement de la masse
monétaire (avant son possible emploi dans des échanges économiques), qui respecte des valeurs d’équité et
de démocratie entre les membres vivants de cette population. On appelle clé de répartition, toute fonction
Pr(i, t) positive dépendant de l’individu i et du temps t, qui satisfait à la condition :
X

Pr(i, t) = 1 et Pr(i, t) = 0 lorsque i n’est pas vivant à l’instant t.

i∈P

On a alors :
ˆ
M (t) =

m0
R

X

δ(t −

i
Tin
)

− δ(t −



i
Tout
)

+kM (t) dt =

i∈P

X
i∈P

ˆ
R

On associe à chaque individu i un capital de création monétaire Mi (t), dépendant du temps et initialement
nul, tel que :

1



i
i
m0 δ(t − Tin
) − m0 δ(t − Tout
) + k Pr(i, t) M (t) dt

M (t) =

X

Mi (t)

i∈P

avec
Mi (t) =

ˆ



i
i
m0 δ(t − Tin
) − m0 δ(t − Tout
) + k Pr(i, t) M (t) dt

R
(t)
On appelle élément différentiel du capital d’unité de comptes de l’individu i à l’instant t l’élément : PdMiM
(t)
j∈P

j

exprimé comme fraction infinitésimale de la masse monétaire globale qui a été crée au profit de l’individu i.
Une première clé de répartition est : Pr(i, t) = 0 si i n’est pas vivant à l’instant t et Pr(i, t) = N1(t) dans le cas
contraire, avec pour N (t) le nombre d’individus dans la population qui sont vivants à l’instant t. Appelons
i < t < T i ) et qui est nulle sinon. Alors :
i(t) la fonction qui est égale à 1 si i est vivant à l’instant t ( Tin
out
N (t) =

X

i(t)

i∈P

et
X

M (t) =

ˆ

i
i
m0 δ(t − Tin
) − m0 δ(t − Tout
)+k

i∈P

ˆ

et

m0 δ(t −

Mi (t) =

i
Tin
)

− m0 δ(t −

i
Tout
)

i(t)
M (t)
N (t)

i(t)
+k
M (t)
N (t)



dt



dt

Le dividende, exprimé en unité de compte, reçu par un individu est dans ce cas constant tout au long de
son existence. Cette façon de répartir la création monétaire est celle retenue par la TRM de Galuel. On
va voir qu’à moins d’avoir affaire à des individus qui meurent à un âge fixe, cette approche est loin d’être
optimale en ce qui concerne le contrôle du niveau de fluctuations du capital d’unité de compte accumulé par
des individus pourtant régis par la même loi de mortalité.
0

i(t)Evi (t)
Une autre clé de répartition possible est Pr(i, t) = X
ou Evi (t) est la dérivée par rapport au
0
j(t)Evj (t)
0

j∈P

temps de la fonction espérance de vie Evi (t) de l’individu i qui exprime la meilleure connaisssance que l’on
ait à l’instant t de la durée moyenne du temps qu’il lui reste à vivre. On a alors :




ˆ
0

X 
i(t)Evi (t)


i
i
M (t) =
) − m0 δ(t − Tout
)+k X
M
(t)
m0 δ(t − Tin
 dt
0


j(t)Evj (t)
i∈P
R

et

j∈P





ˆ 
0

i(t)Evi (t)


i
i
X
Mi (t) = m0 δ(t − Tin ) − m0 δ(t − Tout ) + k
M (t) dt
0


j(t)Evj (t)
R

j∈P

Dans ce cas le dividende, exprimé en unité de compte, reçu par un individu peut varier le long de son
existence suivant la composition de la population.
Il est conjecturé et démontré sur des cas réalistes que cette deuxième clé de répartition produit la même
valeur moyenne mais réduit par rapport à la première, l’écart type des fluctuations du capital d’unité de
compte accumulé sur une vie par des individus régis par une même loi statistique d’espérance de vie. En
effet, c’est alors en fin de vie que le dividende le plus faible a toutes les chances d’être distribué.

2

Une troisième clé de répartition conserve’elle aussi la valeur moyenne du capital d’unités de compte accumulé
mais est pire que la première pour l’écart type des fluctuations du capital d’unité de compte accumulé sur une
0
vie qu’elle entraine. Cette troisième clé est déduite de la seconde clé (l’optimale) en substituant −1 − Evi (t)
0
à Evi (t). En effet, c’est alors en fin de vie que le dividende le plus fort risque d’être distribué. On voit aussi
que c’est dans ce cas que l’omission de déclarer un décès a le plus d’effet sur la justesse de répartition de la
croissance monétaire.

Quelques cas simples avec courbe d’espérance de vie
Population réduite à un seul individu
Si la population P est réduite à un seul individu a commencant à vivre à l’instant t = 0 dans le système
monétaire. Alors Pr(a, t) = 1 et :
dMa (t) = (m0 δ(t) + ka Ma (t)) dt
qui s’intègre en :
Ma (t) = ekt m0 Heaviside (t)
qui est nulle avant l’instant initial pour augmenter ensuite exponentiellement avant qu’on ne lui soustrait
m0 à sa sortie du système :


Ma (TOut ) = m0 ekTOut − 1



Il faut noter que dans ce cas élémentaire la forme de la courbe d’espérance de vie n’intervient pas dans le
résultat.

Population à 2 individus
Si la population P est réduite à deux individu a et b de même loi statistique d’espérance de vie et commencant
dEva (t)
dt
dEv (t)
a (t)
+ dtb
dt

tous deux à vivre à l’instant t = 0 dans le système monétaire. Alors Pr(a, t) = dEv


k
(Ma (t) + Mb (t))
2



dMa (t) = m0 δ(t) +



dt et dMb (t) = m0 δ(t) +

= 1 et
2

k
(Ma (t) + Mb (t))
2



dt

d’ou avant la sortie du système des deux individus :
n

o

Ma (t) = m0 ekt Heaviside (t) , Mb (t) = m0 ekt Heaviside (t)

Là aussi la forme de la courbe d’espérance de vie n’intervient pas dans le résultat.

Population fixe dans le temps avec une seule loi d’espérance de vie
Mettons nous dans le cas d’une population vivante stable en nombre et en composition dans le temps qui
est composée de N individus ayant la même loi d’espérance de vie Ev(t). Appelons τ le taux de naissance
fixe dans cette population. Alors pendant le temps d t vont naitre et entrer dans le système monétaire τ N d t
nouveaux nés. Dans le même intervalle infinitésimal autour de l’âge t vivront donc τ N S(t)d t individus et
la population vivante totale sera obtenue en intégrant sur tous les âges possibles :
ˆ
N = τ N S(t)d t
R+

d’où
τ=´
R+

3

1
S(t)d t

On en déduit aussi (w désignant une égalité en moyenne) :
ˆ
ˆ
0
X
S(t)Ev (t)
0
0
´
τ N S(t)Ev (t)d t = N
j(t)Evj (t) w
dt
R+ S(x)d x
j∈P
R+

R+

X

0



ˆ



j(t) 1 + Evj (t) w

j∈P

ˆ


0





τ N S(t) 1 + Ev (t) d t = N 1 +


R+

R+

0



S(t)Ev (t) 
´
d t
R+ S(x)d x

Capital moyen d’unité de compte accumulé pour la 1ère clé de répartition
Le revenu cumulé sur un temps d t est d C1 (t) = r1 (t)d t avec
k
N
d C(t) est à intégrer en étant pondéré´par la probabilité S(t) de vivre à l’instant t, pour obtenir l’espérance

C1 de C1 (t) sur la population : C1 = 0 S(t) r1 (t) dt soit :
r1 (t) =

ˆ∞
C1 =

ˆ

k
k
S(t) dt =
N
N

0

S(x)d x
R+

Capital moyen d’unité de compte accumulé pour la 2ème clé de répartition
Le revenu cumulé sur un temps d t est d C2 (t) = r2 (t)d t avec
0

0

i(t)Ev (t)

r2 (t) = k X

=k

0

j(t)Evj (t)

N

Ev (t)

´

j∈P

R+

0
´S(t)Ev (t) d t
S(x)d
x
+
R

d C2 (t) est à intégrer en étant pondéré´ par la probabilité S(t) de vivre à l’instant t, pour obtenir l’espérance

C2 de C2 (t) sur la population : C2 = 0 S(t) r2 (t) dt soit :
ˆ∞
C2 =

0

k
N

0

Evi (t)

´
R+

0
´S(t)Ev (t)
R+ S(x)d x

k
S(t) dt =
N
dt

ˆ
S(x)d x
R+

On voit donc que C1 = C2 c’est à dire que le capital moyen accumulé est le même pour les 2 premières clés
de répartition.
Capital moyen d’unité de compte accumulé pour la 3ème clé de répartition
Le revenu cumulé sur un temps d t est d C3 (t) = r3 (t)d t avec


0

i(t) 1 + Ev (t)





0



i(t) 1 + Ev (t)




r3 (t) = k X
=
k
0
0
´
(t)
j(t) 1 + Evj (t)
N 1 + R+ ´S(t)Ev
d
t
+ S(x)d x
j∈P

R

d C3 (t) est à intégrer en étant pondéré´ par la probabilité S(t) de vivre à l’instant t, pour obtenir l’espérance

C3 de C3 (t) sur la population : C3 = 0 S(t) r3 (t) dt soit :





0
ˆ∞
ˆ∞ ´ + S(x)d x S(t) + S(t)Ev 0 (t)
ˆ
1 + Ev (t)
R
k
k
´
S(t) dt =
C3 = k
dt ==
S(x)d x
0
´
N
N
S(t)Ev 0 (t)
+ (S(x) + S(x)Ev (x)) d x
´
R
N
1
+
d
t
0
0
R+
R+
+ S(x)d x
R

On voit donc que C3 = C1 = C2 c’est à dire que le capital moyen accumulé est le même pour les 3 clés de
répartition considérées. Par contre nous allons voir que la variance de ce capital accumulé différe selon la
clé de répartition utilisée.

4

Étude des variances et écarts types
ˆ∞
2

S(t) 2 (C(t) − C) r(t) dt

V =C +
0

k
C1 (t) =
N

ˆt
1 dx =

kt
N

0

k
C2 (t) =
N

ˆt

0

Ev (t)

´
0

R+

C3 (t) =

0
´S(t)Ev (t)
S(x)d
x
R+

k
N

ˆt

0




0

´
ˆt
k
C
0
R+ S(x)d x
´
dt =
Ev (t) dt = ´
(Ev(t) − Ev(0))
0
0
N
S(t)Ev
(t)d
t
S(t)Ev
(t)d t
dt
R+
R+

1+

0

1 + Ev (t)

´
R+



0

´S(t)Ev (t) d t
R+ S(x)d x

C
(t + Ev(t) − Ev(0))
0
R+ S(x)(1 + Ev (x))d x

dt = ´

r1 (t) = 1
0

r2 (t) = ´

C Ev (t)
0
R+ S(x)Ev (x)d x


0

C 1 + Ev (t)

r3 (t) = ´
R+



S(x) (1 + Ev 0 (x)) d x

Le calcul numérique sur la courbe typique d’espérance de vie humaine donnée en annexe. conduit pour un
capital statistiquement moyen d’unités de compte accumulées de 100, à des écarts types de :
1. 16.44889 pour la première clé de répartition (approche de la TRM standard de Galuel).
2. 11.78444 pour la deuxième clé de répartition, ce qui correspond à une diminution de 28.5% de l’écart
type de la première clé (revenu identique tout au long de la vie).
3. 53.92591 pour la troisième clé de répartition, ce qui correspond à une augmentation de 227.04% de
l’écart type de la première clé (revenu identique tout au long de la vie). On comprendra facilement
que cette clé de répartition n’est pas à utiliser.

Population fixe dans le temps avec deux lois d’espérance de vie
Mettons nous dans le cas d’une population P = Pa ∪ Pb composée de 2 sous-populations disjointes Pa et
Pb (femmes et hommes par exemple) ayant respectivement les lois d’espérance de vie Eva(t) et Evb(t).
Supposons qu’à chaque instant vivent un nombre constant N = Na + Nb d’individus répartis de façon stable
en Na = λN individus de Pa et Nb = µN individus de Pb . Appelons τa et τb les taux de naissance fixes respectifs dans ces sous-populations. Alors pendant le temps d t vont naitre et entrer dans le système monétaire
τa Na d t nouveaux nés de type a et τb Nb d t nouveaux nés de type b. Dans le même intervalle infinitésimal
autour de l’âge t il y aura donc τa N Sa (t)d t individus vivants de type a et τb N Sb (t)d t individus vivants de
type b. Les sous-populations vivante totales seront obtenues en intégrant sur tous les âges possibles :
ˆ
ˆ
Na = (τa Na Sa (t)) d t et Nb = (τb Nb Sb (t)) d t
R+

R+

d’où
τa = ´
R+

1
1
et τb = ´
Sa (t)d t
R+ Sb (t)d t

5

ˆ

et

(τa Na Sa (t) + τb Nb Sb (t)) d t

N = Na + Nb =
R+

On en déduit aussi :
X

0

j(t)Evj (t) =

j∈P

X

0

j(t)Eva (t) +

j∈Pa

X

ˆ

0

τa Na Sa (t)Eva (t)d t +

j(t)Evb (t) w

j∈Pb

ˆ

0

0

τb Nb Sb (t)Evb (t)d t

R+

R+

et
ˆ


X

0

0

j(t)Evj (t) w N λ


j∈P

R+

Sa (t)Eva (t)
´
dt + µ
R+ Sa (x)d x

ˆ

R+

0



S (t)Evb (t) 
´b
d t
R+ Sb (x)d x

Population variable et une loi d’espérance de vie
Soit N (t) le nombre d’individus vivants à l’instant t. En décomposant cette population vivante en tranches
d’âge infinitésimales T (t, k) dk on a :
ˆ∞
N (t) = T (t, k) dk
0

où les individus d’âge k sont les survivants des individus nés à l’époque t − k. Appelons τ (t) le taux de
natalité de la population, il y a donc eu N (t − k) τ (t − k) dk individus nés pendant le temps dk autour
de l’instant t − k, dont statistiquement N (t − k) τ (t − k) S(k) dk = T (t, k) dk ont survécu à l’instant t et
constituent la tranche d’âge T (k) dk.
ˆ∞
N (t − k) τ (t − k) S(k) dk

N (t) =
0

Entre t et t + dt la tranche d’âge k composée de T (t, k) dk individus va voir mourir T (t, k) dk p(k) dt de ses
membres. Un fois intégré sur tous les âges on obtient le nombre de morts total entre t et t + dt :
ˆ∞
D(t) dt =

T (t, k) dk p(k) dt
k=0

Le solde net entre les naissances et les décès entre t et t + dt est donc :
ˆ∞



N (t)τ (t) −



T (t, k) dk p(k) dt


k=0

c’est à dire :

ˆ∞



N (t)τ (t) −



N (t − k) τ (t − k) S(k) dk p(k) dt


k=0

et donc le solde de création/destruction monétaire lié aux évènements naissance/décès entre t et t + dt est :
ˆ∞



m0 N (t)τ (t) −




N (t − k) τ (t − k) S(k) p(k) dk  dt


k=0

L’équation de la masse monétaire globale devient donc :

6

ˆ∞



M (t + dt) = m0 N (t)τ (t) −



N (t − k) τ (t − k) S(k) p(k) dk  dt + k M (t) dt





k=0

ou :

ˆ∞





M (t + dt) = m0 N (t)τ (t) −



N (t − k) τ (t − k) S(k) p(k) dk  + k M (t) dt










k=0

Évaluation de

0

P

j∈P j(t)Evj (t)

X

ˆ∞

0

0

N (t − k) τ (t − k) S(k) Ev (k) dk

T (t, k) Ev (k) dk =

j(t)Evj (t) =

j∈P

ˆ∞

0

0

0

On en déduit l’équation du capital accumulé par un individu i :


Mi (t) =



ˆ 
R

0

i(t)Evi (t)


i
i
) − m0 δ(t − Tout
)+k X
M
(t)
m0 δ(t − Tin
 dt
0


j(t)Evj (t)

j∈P





ˆ 


i
i
) − m0 δ(t − Tout
) + k ˆ∞
Mi (t) = m0 δ(t − Tin



R







i(t)Ev (t −

M (t) dt


0

N (t − l) τ (t − l) S(l) Ev (l) dl
0

i )
Tin

0

Modèle complété avec Émigration, Imigration, Période de fertilité
Un modèle est construit dans cette section qui illustre certains des résultats de base des mathématiques de
la population. Dans ce modèle, la dynamique d’une population unisexe est décrite au moyen d’une fonction
de distribution d’âge T (t, a). Cette fonction spécifie la densité de population ayant l’âge a à l’instant t. En
particulier, le nombre de personnes dans la tranche d’âge (a1, a2) à l’instant t est donné par l’intégrale :
ˆa2
N (t, a1 , a2 ) =

T (t, a) da
a1

On posera N (t) = N (t, 0, ∞) le nombre de personnes de la population totale.
On peut aussi poser qu’à l’instant 0 la distribution de la population est connue :
T (0, a) = T0 (a)
La probabilité de mourir lorsqu’on à l’âge a à l’instant t sera notée p(t, a). L’assurance pour tout individu
né à l’instant t0 de mourir un jour ou l’autre se traduit par la relation :
ˆ∞
p(t0 + a, a)da = 1
0

Le solde d’entrées versus sorties survenues dans la population à l’âge a pendant un temps infinitésimal dt
est donné par la différence T (t + dt, a + dt) − T (t, a).
Les entrées sont constituées par les naissances, les adoptions d’enfants étrangers qui sont liés tous deux au
désir de maternité ou de paternité. et l’immigration.
Les sorties sont constituées par les décès et l’émigration.

7

1. On suppose que les flux d’imigration et d’émigration sont proportionnels à dt à travers les coefficients
Im(t, a) et Em(t, a).
2. On suppose que les décès à l’âge a sont proportionnels à dt et à la valeur T (t, a) de la distribution de la
population à travers le coefficient p(t, a) qui est le taux de mortalité à une date donnée pour un certain âge
(lorsque ce taux ne dépend que de l’âge alors il est égal à p(a)).
3. On suppose que naissances et adoptions d’enfants étrangers sont proportionnels à λ(t, θ, a), taux de
fertilité et d’adoption à l’instant t d’un parent d’âge θ pour un enfant d’âge a (0 forcemment pour une
naissance).
Ce solde se traduit par l’égalité :
ˆ∞



T (t + dt, a + dt) − T (t, a) = 



λ(t, θ, a)T (t, θ) dθ dt + (Im(t, a) − Em(t, a)) dt − p(t, a) T (t, a) dt





0

ou

ˆ∞





λ(t, θ, a)T (t, θ) dθ + Im(t, a) − Em(t, a) − p(t, a) T (t, a) dt

T (t + dt, a + dt) − T (t, a) = 




0

d’ou en utilisant la notation des dérivées partielles :
∂T
∂T
+
=
∂a
∂t

ˆ∞
λ(t, θ, a)T (t, θ) dθ + Im(t, a) − Em(t, a) − p(t, a) T (t, a)
0

Le solde total d’entrées versus sorties, tous âges confondus pendant le temps dt est donc :


a=∞
ˆ

ˆ∞








λ(t, θ, a)T (t, θ) dθ + Im(t, a) − Em(t, a) − p(t, a) T (t, a) da dt




a=0






0

L’impact sur la masse monétaire est donc :


a=∞
ˆ

m0 

a=0



ˆ∞





λ(t, θ, a)T (t, θ) dθ + Im(t, a) − Em(t, a) − p(t, a) T (t, a) da dt








0

Simulations numériques
On voit que pour prédire les statistiques d’évolution des Mi (t), on doit résoudre suffisament de fois un
grand système d’équations différentielles du premier ordre, nourries du tirage aléatoire des dates d’entrées
des individus dans le système et du tirage aléatoire de leurs durées de vie suivant des lois de mortalité
qui peuvent varier suivant les sous-populations auxquelles ils apppartiennent : hommes, femmes, ethnies
différentes . . .

8

Annexe : Éléments de modélisation démographique
En matière de sujets liés à la démographie et la TRM l’ est assuremment, l’approche probabiliste s’ impose
pour obtenir les valeurs moyennes, écarts types de valeurs intéressantes sur une population d’ individus dont
la durée de vie est aléatoire. Pour notre usage nous allons identifier le caractère mortel d’ un individu à
une variable aléatoire. Une densité de probabilité et une fonction de répartition caractérisent cette variable
aléatoire :
— p(t) densité de probabilité à valeurs dans R+ . La probabilité de mourir pendant la durée
´ ∞ infinitésimale dt à l’instant t est p(t) dt. L’assurance de mourir un jour ou l’autre s’exprime par : 0 p(t) dt = 1.
´t
— F (t) = 0 p(x) dx est la fonction de répartition qui donne la probabilité de mourir avant l’instant
t.
´∞
— S(t) = 1 − F (t) = t p(x) dx est la fonction de survie qui mesure la probabilité de vivre à l’instant
t.
´∞
— Ev(t) = t S(x)
S(t) dx est la courbe d’espérance de vie qui donne la durée moyenne de survie sachant
que l’on était vivant à l’instant t (S(t) n’est donc pas nul).
´t



0
Ev (x)+1
Ev(x)

dx

— S(t) = e
— L’âge moyen de mort après l’instant t est donné par l’expression :
´∞
x p(x) dx
As(t) = ´t ∞
t p(x) dx
0

la durée moyenne de survie après l’instant t est donnée alors par l’expression As(t) − t. On doit donc
avoir l’égalité (à démontrer) :
Ev(t) = As(t) − t
— Dérivée

´∞

dEv(t)
dt

x p(x) dx

= Ev 0 (t) de l’espérance de durée de vie Ev(t) = As(t) − t = ´t ∞ p(x) dx − t :
t
´∞
´∞
´∞
(x − t) p(x) dx
−t p(t) t p(x) dx − p(t) t x p(x) dx
´∞
− 1 = p(t) t ´ ∞
−1
Ev 0 (t) =
2
( t p(x) dx)
( t p(x) dx)2

(0.1)

on constate que Ev 0 (t) est toujours plus grand que −1.
— Avant la naissance on considère que Ev(t) est constant et égal à l’espérance de vie au premier instant
de la vie. Après la mort on convient que Ev(t) = 0. Avec ces conventions on peut donc affirmer que
Ev(t) est définit sur R et que Ev 0 (t) = 0 avant la naissance et après la mort.
La création monétaire exprimée en unités de compte cumulées sur une vie va bien sûr dépendre de la durée
de cette vie entre le moment de l’entrée de l’individu dans le système TRM et celui de
´ t sa sortie. Pour un
individu, le capital C(t) de création monétaire ´accumulée jusqu’à l’instant t est égal à 0 r(u) du. La valeur

moyenne de C(t) sur la population est égale à 0 p(t) C(t) dt. On a alors les égalités :
ˆ∞

ˆ∞
C=

p(t) C(t) dt =
0

S(t) r(t) dt
0

´∞
La variance du capital de création monétaire accumulée est exprimée par V = 0 p(t) (C(t) − C)2 dt.
h
i∞
´∞
Une intégration par parties donne alors V = −S(t) (C(t) − C)2
+ 0 S(t) 2 (C(t) − C) r(t) dt ce qui
0

moyennant l’hypothèse très raisonnable que S(∞) (C(∞) − C)2 = 0 et le fait que S(0) = 1 donne :
ˆ∞
2

S(t) 2 (C(t) − C) r(t) dt

V =C +
0

et l’écart type E sur le capital de création monétaire accumulée est alors V 1/2 .

9

Modèle probabiliste de durée de vie
Un modèle réaliste pour notre époque de probabilité S(t) d’être vivant à l’ âge t est donné par la courbe :

On en déduit par différentiation la courbe p(t) de densité de probabilité de mourir en fonction de l’ âge.

10

L’ espérance de vie Ev(t) en fonction de l’ âge est alors donnée par la courbe :

Et la dérivée de l’espérance de vie Ev 0 (t) en fonction de l’âge par la courbe :

Comme anticipé l’approche de Maxime permet de réduire par rapport à celle de Galuel les inégalités d’ accès
à la création monétaire le long d’une vie. L’approche de Maxime a réduit la variance.

11

Les taux de création monétaire d’unités de compte en fonction de l’ âge pour les approches Galuel et Maxime
sont représentés par les deux courbes suivantes (bleue pour Galuel, rouge pour Maxime). On voit que jusqu’
à 53.05 ans le dividende de création monétaire de Maxime est plus grand que celui de Galuel puis qu’ il
devient plus petit que celui-ci pour tendre vers 0. Dans les deux cas les deux approches effectuent en moyenne
la même création monétaire en unité de compte pour chaque individu. Cette création monétaire moyenne
ne varie pas suivant le temps car elle ne dépend que des propriétés statistiques de la mortalité des individus.

12


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