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Nom original: T_en_z.pdfTitre: EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE EN ZAuteur: Jean-Marie PALAU

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EXERCICES SUR LA TRANSFORMEE EN Z
Exercice 1
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4

0,55
0,44
0,33

Donner la transformée en z de la fonction
numérique discrète x(n) représentée par le
graphique ci-contre (elle est aussi nulle dans les
parties non représentées).

0,11

-0,25
-0,35
-5

0

5

10

X(z) = 0,55 + 0,44 z-1 + 0,33 z-2 +0,11 z-3 - 0,35 z-4 - 0,25 z-5

Exercice 2
Calculer la transformée en z de la fonction causale suivante et calculer ses zéros et/ou ses
pôles.
n

0

1

2

3

4

5...∞

x(n)

1

4

6

4

1

0...0

( z 4 + 4 z 3 + 6 z 2 + 4 z1 + 1)
4
X ( z )=z − 4 ( z + 1)( z 3+3z 2+3z +1) = z − 4 ( z + 1)( z + 1)( z 2+2 z+1) = z − 4 ( z + 1) 4 = (1 + z −1)
X ( z )=1 + 4z -1 + 6z -2 + 4z -3 + z -4 =z

−4

Zéros z=-1 quadruple, bien entendu pas de pôle.
Même question pour la fonction causale suivante.
n

0

1

2

3

4

5

6

7

8...∞

y(n)

0

0

0

1

4

6

4

1

0...0

(

Y ( z )=z − 3 1 + z −1

)4

Exercice 3
Calculer la transformée en z des fonctions discrètes suivantes. Vérifier que les théorèmes
de la valeur initiale et finale s'appliquent.

x( n) = 0,8 n u( n )

et

y( n) = n 0,8n u( n ) .

z
X ( z) =
z − 0.8 et

⎛ z ⎞
d⎜

⎝ z − 0.8 ⎠
− 0 ,8
0 ,8 z
Y( z) = − z
= −z
2 =
dz
( z − 0 ,8)
( z − 0 ,8) 2

z
=1
z →∞ z − 0.8

x( 0) = lim

z ( z − 1)
=0
z →1 z − 0.8

x( ∞) = lim

x ( 0) = lim

0 ,8 z
2
z →∞ ( z − 0 ,8)

x( ∞) = lim

=0

0 ,8 z ( z −1)

z →1

( z − 0 ,8) 2

=0

Exercice 4
Trouver la séquence y(n) qui a comme transformée en z :

Y( z) =

1
6− 5z −1 + z − 2

.

0,2

Y( z) =

0,15
0,1

1

6−5 z

−1

()

+z

−2

=

z2
= z − z =1 z −1 z
6 z − 5 z +1 2 z −1 3z −1 2 z − 12 3 z − 13
2

()

()

()

n
n
⎡ n +1 1 n +1 ⎤
y( n) = 12 12 u( n) − 13 13 u( n) = ⎢ 12
− 3
⎥⎦ u( n) .


0,05
0
0

5

10

15

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,1667 0,1389 0,0880 0,0502 0,0271 0,0143 0,0074 0,0038 0,0019 0,0010 0,0005

Exercice 5
2 2
z
2
X ( z) = 2
z − 0.8 2 z + 0,64 est la transformée en z ?
De quelle fonction x(n) la fonction

[

]

x( n ) = 0 ,8 n cos π4 ( n − 1) u( n)

Exercice 6
Quelles sont les transformées en z de :

()
n−2
n
x2 ( n) = ( 12 ) ( 13 ) u( n)
2)
n
x3( n) = n ( 13 ) u( n)
.
3)
1)

n
x1( n) = 13 u( n)

z

1)

3z
3z − 1

=

z − 13

4z

()

n
x ( n) = 4 16 u( n)
z − 16
2) 2
a pour transformée
1
3

3)

z

3z
=
2
( 3z − 1) 2
z − 13

( )

Exercice 7

[

)]

(

x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n)
1) Donner la transformée en z de la fonction discrète
.
En déduire les transformées en z de :

[

( )] u(n − 1)
y( n) = e −2 n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n)
3)
.
g( n) = n [1 − sin( n6π − π3 )] u( n)
4)
x ( n) = 1 + cos n6π
2) 1

[

X ( z) =

)]

(

x( n) = 1 − sin n6π − π3 u( n)
1)

2)

3)

[

z −
z −1

( )] u( n − 1) = x( n − 1)

[

(

y ( n) = e − 2 n 1 − sin n6π − π3

[

(

g( n) = n 1 − sin n6π − π3
4)

)] u(n) = (e )

)] u(n) = n x(n)

Formules développées :
X (z) =

1+

(

3⎞
3 ⎛
− ⎜1+ 3 ⎟ z −1 + 2 z − 2
2 ⎠
2 ⎝

)

(

)

1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3

π

z 2 − 2 cos z +1
6

=

3
z− z2
2
z −
z −1 z 2 − 3 z +1

X1( z ) = z −1 X ( z ) = z 1−1 −

x1( n) = 1 + cos n6π

−2 n

π
⎛π π⎞
− z 2 sin + z sin⎜ + ⎟
⎝ 6 3⎠
3

x( n)

3
z
2
z 2 − 3 z +1
1−

3 2
e− 2 z −
z
z
2
Y( z) =

z − e− 2 z 2 − 3 e− 2 z + e− 4

G( z ) = − z

z2
− 3 z +1
2

d X (z)
= z 2 +z
( z −1)
dz
( z 2 − 3 z +1)2

X1( z ) =



3⎞
3⎞
⎜1+ ⎟ z −1 − ⎜1+ 3 ⎟ z − 2 + 2 z − 3
2 ⎠
2 ⎠



(

1+

Y( z) =

)

(

)

1− 1+ 3 z −1 + 1+ 3 z − 2 + z − 3

(

3 ⎛
3⎞
− ⎜1+ 3 ⎟ e − 2 z −1 + 2 e − 4 z − 2
2 ⎝
2 ⎠

)

(

)

1− 1+ 3 e − 2 z −1 + 1+ 3 e − 4 z − 2 + e − 6 z − 3

G( z ) =

3 −1
⎛ 13

z − 1+ 3 3 z − 2 + ⎜ + 2 3⎟ z − 3 − 2 + 3 3 z − 4 + 2 z − 5
⎝2

2
−1
−2
1− 2 1+ 3 z + 2 3+ 2 3 z − 2 5+ 2 3 z − 3 + 2 3+ 2 3 z − 4 − 2 1+ 3 z − 5 + z −6

(

(

)

(

)

)

(

(
(

)

)
)

(

)

Exercice 8
X ( z) =
On considère la transformée

( r − jθ )
*
et donc z0 = e

z
z
+
( r + jθ )
z − z0 z − z*0
. Trouver x(n). On posera z0 = e

z

On sait que e u( n)
an

z − ea

(

)

x ( n) = e rn e jnθ + e − jnθ u( n) = 2 e rn cos nθ u( n )

(

)

z z − er cosθ
z
z
X ( z) =
+
=
z − z0 z − z*0 z 2 − 2er cosθ z + e2r

On remarquera que
z( z − c)
X (z) 2
z − 2c z + b
2
1,5
1
0,5
0

0

5

10

15

-0,5
-1

pour e =0,8 et θ=30°
r

Exercice 9

20

25

est de la forme

z −2 − 2 z − 1 + 1
H ( z) = 2 −2
a z − 2a z −1 + 1
Trouver h(n) correspondant à la transformée en z suivante :
2
z −1 − 1)
(
( z − 1)2
H ( z ) = 2 −2
=
=
a z − 2a z −1 + 1 a z −1 − 1 2 ( z − a )2
(
)

z − 2 − 2 z −1 + 1

az
On sait que n a x( n)

( z − a) 2

n

H ( z) =
h( n ) =

az
az
az ⎞
1⎛
−1


=
z

+
z
2
a ⎝ ( z − a)2
( z − a)2
( z − a)2 ⎠
( z − a)2

z 2 − 2z + 1

(

1
( n + 1)a ( n +1) u( n + 1) − 2na n u( n) + ( n − 1)a ( n −1) u( n − 1)
a

)

h( n) = ( n + 1)a nu( n + 1) − 2na ( n −1) u( n) + ( n − 1)a ( n − 2) u( n − 1)
1

1
0,5
0

0,5

0

5

10

15

20

-0,5
-1
0
0

5

10

15

( n + 1) a nu( n + 1)

20

-1,5

pour a=0,3

h( n)

Exercice 10
H(z) =

z − z0

0 (
0)
Quelle est la fonction discrète h(n) dont la transformée est
où z0 est
un réel. On utilisera la méthode basée sur la reconnaissance de fonctions connues et la

( z − p ) z − p*


méthode des résidus. On posera p0 = ρe . Quelle équation de récurrence correspond à H(z)?

Méthode classique
H (z) =

z − z0
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2

2

=

z − ρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2

2

+

ρ cos θ − z 0
z − 2 ρ cos θ z + ρ 2
2

H ( z ) = z −1
H ( z ) = z −1

z 2 − zρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2

+ z −1

2

+ kz −1

z 2 − zρ cos θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ
2

z ( ρ cos θ − z 0 )

2

z − 2 ρ cos θ z + ρ 2
2

zρ sin θ
z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 en posant
2

k ρ sin θ = ρ cosθ − z0 .

θ
0
k = cos
sin θ − ρ sin θ
z

h( n) = ρ n −1 cos[( n − 1)θ ]u( n − 1) + kρ n −1 sin[( n − 1)θ ]u( n − 1)
θ − z 0 ⎞⎟ sin ( n − 1)θ ⎫u( n − 1)
h( n ) = ρ n −1 ⎧⎨cos[( n − 1)θ ] + ⎛⎜⎝ cos
[
]⎬⎭
sin
θ
ρ sin θ ⎠

ρ n −1

{
{sin(nθ ) −

}

h( n ) = sin θ sin θ cos[( n − 1)θ ] + cosθ sin[( n − 1)θ ] − ρ0 sin[( n − 1)θ ] u( n − 1)
ρ n −1

h( n ) = sin θ

z

}

[

]

ρ sin ( n − 1)θ u( n − 1)

z0

z
z
ρ n −1
h( n) = sin θ ⎡⎢⎛⎜⎝1 − ρ0 cosθ ⎞⎟⎠ sin( nθ ) + ρ0 sin θ cos( nθ )⎤⎥u( n − 1)


n −1

[

]

ρ
A cos ϕ = 1 − ρ0 cosθ
A sin ϕ = ρ0 sin θ
h( n) = A sin θ sin( nθ + ϕ ) u( n − 1)
en posant
et
z

z2

z

z sin θ

A = 1 − 2 ρ0 cos θ + 02
ρ
soit

ρ=

on trouve
n
h(n)

tgϕ = ρ −0z cos θ
0

et

θ = 60°
k = -0,247 ϕ = 43,9°

Avec:
0
0

0,7

1
1

2
0,2

z

3
-0,35

z0 = 0,5
A=

0,892

4
5
6
-0,343 -0,069 0,120

7
0,118

8
9
10
0,024 -0,041 -0,040

1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2

0

5

10

15

20

-0,4

Méthode des résidus
R p0 = lim

z → p0

( z − p0 ) z n −1 H ( z ) = lim

z → p0

ρ e jθ − z

( z − p0 ) z n −1

R p* = − ρ
R p0 = ρ n −1e j ( n −1)θ 2 jρ sin θ0
0
et de même

z − z0

( z − p0 )(

z − p*0

)

p −z
= p0n −1 0 0*

− jθ
− z0
n −1 − j ( n −1)θ ρe
e
2 jρ sin θ

( p0 − p0 )

ρ n −1

[

(

)

(

h( n ) = R p0 + R p* = 2 jρ sin θ e j ( n −1)θ ρe jθ − z0 − e − j ( n −1)θ ρe − jθ − z0
0
ρ n −1

{

)]

}

h( n ) = 2 jρ sin θ ρ 2 j sin( nθ ) − z0 2 j sin[( n − 1)θ ]
etc...

Equation de récurrence

H(z) =

(

Y( z)
z − z0
z −1 − z 0 z −2
= 2
=
X ( z ) z − 2 ρ cos θ z + ρ 2 1− 2ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2

)

(

Y ( z ) 1 − 2 ρ cos θ z −1 + ρ 2 z − 2 = X ( z ) z −1 − z0 z − 2

)

y( n) = x( n − 1) − z0 x( n − 2) + 2ρ cosθ y( n − 1) − ρ 2 y( n − 2)
On peut vérifier que la réponse impulsionnelle à cette équation donne les mêmes
échantillons que ceux que l'on obtient avec h(n).


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