Introduction à la relativité générale.pdf


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fondamentales c, G et ~. 1 L’´energie de Planck est donn´ee par
r
~ c5
' 1.3 1019 GeV .
EP =
G

(1.1)

Une telle ´energie serait atteinte dans les premiers instants apr`es le Big-Bang, lorsque l’age
de l’Univers ´etait ´egai au temps de Planck TP ' 5.4 10−44 s, et le rayon de l’univers avait la
longueur de Planck LP ' 1.6 10−35 m.
La force gravitationnelle se distingue des autres forces par le fait que son intensit´e est de
loin la plus faible de celles des quatres interactions connues. Soit l’atome d’hydrog`ene form´e
d’un proton de masse mp et de charge e, et d’un ´electron de masse me et de charge −e. Il
s’exerce entre le proton et l’´electron une force ´electrostatique attractive donn´ee par la loi de
Coulomb (nous faisons un raisonnement de physique classique)
Fe =

e2
,
4πε0 r2

(1.2)

ainsi qu’un force gravitationnelle attractive donn´ee par la loi de Newton
Fg =

G mp me
.
r2

(1.3)

Ces deux forces sont des forces en 1/r2 ; leur rapport ne d´epend pas de la distance entre le
proton et l’´electron et a la valeur extr`emement petite
Fg
4πε0 G mp me
' 4 10−40 .
=
2
Fe
e

(1.4)

Cependant, malgr´e son extrˆeme faiblesse, la force gravitationnelle domine l’Univers `
a
grande ´echelle. Il y a pour cela deux raisons:
1. Le potentiel gravitationnel, comme le potentiel ´electromagn´etique, est a` longue port´ee,
U (r) =

G m m0
.
r

(1.5)

Il n’y a pas de facteur de Yukawa ∝ exp[−r/λg ] ce qui s’interpr`ete en disant que
le graviton, qui serait la particule m´ediatrice de l’interaction gravitationnelle, a une
masse nulle,
~
µg =
=0.
(1.6)
λg c
La longueur de Compton du graviton λg est infinie.
2. Mais, au contraire des charges ´electriques, les charges gravitationnelles ou masses sont
toujours positives. En effet la masse est en fait reli´ee a` l’´energie totale du corps, ce
que l’on exprime par le principe d’´equivalence d’Einstein
mg = mi =
1

E
>0.
c2

(1.7)

La constante gravitationnelle vaut environ G ' 6.67 10−11 m3 /kg/s2 . Sa valeur n’est connue qu’avec quatre
chiffres significatifs ce qui en fait la constante fondamentale la moins bien d´etermin´ee exp´erimentalement.

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