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Montons en dimension (ça tourne autour du 1.4 de GF). Toujours avec la
multiplicativité, on a

C(cube de côté 1) = I + 3I2 + 3I + 1 .
Si on écrase ce cube de côté 1 (patate) en un parallélépipède rectangle P de
cotés 14 , 2, 2 de même volume, on obtient

C(P ) = I3 + 5I2 +

17
I+1.
4

Le "cardinal" de la patate écrasée est plus grand. Ca contredit le 1.17 de GF.
De manière générale, pour un parallépipède rectangle a × b × c, on obtient

(aI + 1)(bI + 1)(cI + 1) = abcI3 + (ab + bc + ca)I2 + (a + b + c)I + 1
comme valeur de C. on remarque que le coe cient de I3 est le volume, et celui
de I2 la moitié de la surface du parallélépipède.
Pour l'intérieur de la patate, on a avec ce qu'on a vu pour les intervalles
ouverts et la multiplicativité

C(cube ouvert de côté 1) = I − 3I2 + 3I − 1 ,


C(P ) = I3 − 5I2 +

17
I−1.
4

La patate ouverte écrasée est plus petite.
L'impression que ça donne c'est que le C fait comme si le cube compact était
couvert d'une couche de peinture. Quand on l'écrase, la peinture ne su t plus
pour recouvrir toute la surface...

2e épisode : Couche de peinture et formule de
Steiner-Minkowski
Reparlons de cette couche de peinture sur les polytopes (= polyèdre convexe
compact). Je m'appuie ici sur le passage 12.3.5-6 du livre "Géométrie" de Marcel
Berger, à qui j'ai emprunté la peinture.
Dans ce texte, M. Berger explique comment on calcule le volume obtenu en
passant une couche de peinture d'épaisseur r sur le polytope P dans Rd . Soit
B(P, r) l'ensemble des x ∈ Rd qui sont à une distance ≤ r de P (c'est P avec sa
couche de peinture). Notons λd la mesure de Lebesgue en dimension d (Berger
la note L). Sa proposition 12.3.6 dit :

Il existe des réels positifs Li,d (P ), ne dépendant que de P , tels que
pour tout réel positif r, on ait
λd (B(P, r)) =

d
X

Li,d (P ) ri

i=0

(formule de Steiner-Minkowski). Pour r = 0, on a L0,d (P ) = λd (P ),
le volume de P . Par ailleurs L1,d (P ) est la "surface" de P , c.-à-d.
la somme des volumes des faces de P pour la mesure de Lebesgue en
dimension d − 1. Et Ld,d (P ) est β(d), le volume de la boule unité de
dimension d.
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