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On voit facilement par récurrence en utilisant la règle d'additivité que le
"cardinal" d'une telle réunion de carreaux est toujours donné par
aire × I2 +
et à la limite on obtient

1
périmètre × I + 1 ,
2

π I2 + 4 I + 1 .

En e et vu que le bord d'une réunion de carreaux est formé de segments parallèles aux axes, son demi-périmètre est toujours la somme de sa hauteur et de sa
largeur.
Une autre manière de faire est d'approcher le cercle par des polygones
convexes avec des côtés de plus en plus petits, comme sur le dessin suivant.

Ici la limite pour le "cardinal" est

π I2 + π I + 1 ,

6