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Cours et Exercices TST2S .pdf



Nom original: Cours et Exercices TST2S.pdf
Auteur: Ilias Deliev

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BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

1. Les suites
Arithmétiques :
➢ Suite de nombres telle que chaque terme est obtenu en ajoutant, au terme précédent,
toujours le même nombre, appelé raison de la suite.
o

Si le terme initial est u0 alors on a : un = u0 + n x r

o

Si le terme initial est u1 alors on a : un = u1 + (n−1) x r

➢ Exemple 1 : On a u0 = 10 avec r = 3
o

Calculer u7


u7 = u0 + n x r



u7 = u0 + 7 x 3



u7 = 10 + 21



u7 = 31

➢ Exemple 2 : On a u1 = 10 avec r = 3
o

Calculer u7


u7 = u1 + (n − 1) x r



u7 = 10 + (7 – 1) x 3



u7 = 10 + (6) x 3



u7 = 10 + 18



u7 = 28

1|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

Géométriques :
➢ Suite de nombres telle que chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent
toujours par le même nombre, appelé raison de la suite.
o

Si le terme initial est v0 alors on a : vn = v0 x qn

o

Si le terme initial est v1 alors on a : vn = v1 x qn-1

➢ Exemple 1 : On a v0 = 5 avec q = 10
o

Calculer v6


v6 = v0 x qn



v6 = 5 x 106



v6 = 5 000 000

➢ Exemple 2 : On a v1 = 5 avec q = 10
o

Calculer v6


v6 = v1 x qn-1



v6 = 5 x 106-1



v6 = 5 x 105



v6 = 500 000

2|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

2. Exercice d’application
➢ Caroline est une retraitée de 60 ans. Le montant de sa retraite s’élève à 750€/mois en 2008.
Ce montant augmente chaque année de 2%. Elle a trouvé un petit appartement dont le loyer
lui revient à 250€/mois en 2008. Ce loyer augmente de 15€/an.

o

PARTIE A :


On note u0 le loyer mensuel en 2008, et un celui de l’année (2008 + n).
On a ainsi u0 = 250

o

Calculer u1.

o

Donner la nature de la suite un. Justifier.

o

Exprimer un en fonction de n.

o

Calculer u10.

o

PARTIE B :


On note v0 le montant mensuel de la retraite en 2008 et vn celui de l’année
(2008 + n).
On a ainsi v0 = 750

o

Calculer v1

o

Donner la nature de la suite vn. Justifier.

o

Exprimer vn en fonction de n.

o

Calculer v10.

3|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

3. Somme des termes consécutifs
Suites arithmétiques :
➢ Somme des termes = nombre de termes x

𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 + 𝑑𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒
2

Exemple :
Un contrat de travail prévoit un salaire de 1 700€ à l’embauche, suivi d’une augmentation de 12€ par
mois, chaque mois à partir du 2ème.
➢ Calculer le montant total des salaires perçus lors de la première année pour ce contrat.

o

Notons un le montant du salaire du nème mois.
On a donc u1 = 1700, et pour tout n, un+1 = un +12.
La suite un est donc arithmétique, de raison 12 et de terme initial 1 700.

o

On cherche à calculer u1 +u2 +...+u12.
D’après la propriété ci-dessus, cette somme vaut 12 ×




𝑢1+𝑢12
2

On connaît u1 mais on ne connait pas u12. Il faut alors le calculer :


u12 = u1 + (n-1) x r



u12 = 1 700 + (12-1) x 12



u12 = 1 700 + 11 x 12



u12 = 1 700 + 132



u12 = 1 832

Maintenant, on peut calculer la somme demandée :


12 ×

1 700 + 1 832
2

= 21 192

➢ Le montant total des salaires perçus la première année avec ce contrat est de 21 192€.

4|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

Suites géométriques :
➢ Somme des termes = terme initial ×

1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛

Exemple :
Un contrat de travail prévoit un salaire de 1 700€ à l’embauche, suivi d’une augmentation de 1,5
% par mois, chaque mois à partir du 2ème .
➢ Calculer le montant total des salaires perçus lors de la première année pour ce contrat.

o

Notons un le montant du salaire du nème mois.
On a donc u1 = 1700, et pour tout n, un+1 = un × 1,015.
La suite un est donc géométrique, de raison 1,015 et de terme initial 1 700.

o

On cherche à calculer u1 +u2 +...+u12.
D’après la propriété ci-dessus, cette somme vaut u1 ×
donc 1 700 ×

1− 1,01512
1−1,015

1− 1,01512
1−1,015

= 22 170

➢ Le montant total des salaires perçus la première année avec ce contrat est de 22 170€.

5|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

4. Exercice d’application
➢ La superficie de la forêt amazonienne brésilienne était estimée à 340 millions d’hectares en
2005. La déforestation entraîne une disparition moyenne de 2,4 millions d’hectares par an.
o

On note u0 = 340 et pour tout entier naturel n, un la superficie de la forêt brésilienne
en l’année (2005 + n).


Calculer u1 et u2.



Quelle est la nature de la suite un ? Justifier.



Exprimer un en fonction de n.



Calculer la superficie prévisible de la forêt brésilienne en 2020.

6|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

➢ Une barrière de corail ceinture un atoll, mais une algue brune prolifère au détriment du corail.
Des relevés annuels menés tous les 1ers janviers de 2007 à 2013 font ressortir les informations
suivantes :
o

Au 1er janvier 2007, la superficie d’algue est de 150 000 m² et elle augmente de 15%
par an ;

o

A la même date, la superficie du corail est de 350 000 m² et diminue de 15 000 m² par
an.

 PARTIE A :
o

Soit n un entier naturel, on note u0 la superficie d’algue au 1er janvier (2007
+n). On a ainsi u0 = 150 000.


Calculer la superficie d’algue au 1er janvier 2008.



Quelle est la nature de la suite un ? Justifier.



Exprimer un en fonction de n.



Calculer u5 arrondi à l’entier. Que représente cette valeur ?

7|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

 PARTIE B :
o

Soit n un entier naturel, on note vn la superficie du corail au 1er janvier 2008.
On a ainsi v0 = 350 000.


Calculer la superficie de corail au 1er janvier 2008.



Exprimer vn+1 en fonction de vn, et en déduire la nature de vn.
vn+1 = vn – 1500 : La suite est donc arithmétique puisque pour passer
d’un terme au suivant, on enlève 1500.



Exprimer vn en fonction de n.



Calculer v5. Que représente cette valeur ?

8|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

5. Exercices type bac
➢ On injecte à un malade par une intraveineuse une dose de 5 cm3 d’un produit donné.
On fait un relevé toutes les heures de la quantité, exprimée en cm3, de ce produit dans le sang,
qui diminue du fait de son élimination naturelle par l’organisme.
o

On note Vn le volume de produit, exprimé en cm3, dans le sang du malade n heures
après l’injection.

o

On a ainsi V0 = 5.

o

L’observation permet de conclure que 6 % du produit est éliminé toutes les heures par
rapport au relevé précédent.

 Rappel : Commence par trier les données. Repère le terme initial et la raison.
o

6

Ici, le terme initial est v0 = 5 et la raison est 0,4 ( 1 – 100 )

➢ Calculer les termes v1, v2 et v3 (les valeurs seront arrondies au millième).
➢ Écrire vn+1 en fonction de vn. Cette question t’aidera à répondre à la suivante.
➢ Quelle est la nature de la suite vn ? Préciser son premier terme et sa raison.
➢ En déduire l’écriture de vn en fonction de n.

9|Page

BAC ST2S EN POCHE

MATHEMATIQUES – LES SUITES

Le gérant d’un parc d’attractions note chaque année le nombre de visiteurs. Il obtient les résultats
suivants :
Année

2005

2006

2007

Nombre de visiteurs

400

460

529

o

On note u0 le nombre de visiteurs en 2005, u1 le nombre de visiteurs en 2006 et u2 le nombre
de visiteurs en 2007.

o

Le gérant du parc veut prévoir des installations supplémentaires pour répondre à la demande
croissante du nombre de visiteurs. Il estime que chaque année le nombre de visiteurs va
augmenter de 15 %. Soit un le nombre de clients en (2005+n).


Justifier que un est une suite géométrique de raison 1,15.



Exprimer un en fonction de n.



Calculer le nombre de visiteurs que l’on peut ainsi prévoir en 2010.



Si l’évolution se poursuit ainsi combien de personnes auront visité le parc d’attractions
entre le 1er janvier 2005 et le 31 décembre 2015 ?
 Rappel : si un est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q,
alors la somme des (n+1) premiers termes de la suite un est :
terme initial ×

1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠
1 − 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛

10 | P a g e


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