Devoir Régionale 4 tech .pdf


Nom original: Devoir Régionale 4 tech.pdfTitre: Modèle mathématique.Auteur: poste

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COMMISSARIAT REGINAL DE L’EDUCATION ZAGHOUAN
Section : 4ème Sciences Techniques
Date : 16 / 05 / 2011
Durée : 3 heures

Devoir de synthèse N° 3
en mathématiques
EXERCICE N°1

(4 points)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une et une seule est exacte.
On demande de recopier le tableau ci-dessous et de le compléter par la lettre correspondant
à la réponse choisie.
Question
1
2
3
4
Réponse
1) Soient A et B deux points de l’espace. L’ensemble des points M de l’espace tel que
a) Une droite
b) Un plan
c) Une sphère
AM . BM est :
 5
2) Soit (Un) la suite définie sur  par :
U  - 
 2
a) lim Un  - 
b) lim Un  0
c) n’admet pas de limite
n

n

n   

n   

3) La valeur moyenne de la fonction f(x) = e – x sur [0 ; 2] est égal à :
1 
1
1 1 
1
a) 1 – 2
b)  2 – 1
c) 1 – 2
2 
e
2 e
e

4) Le réel



1
1
e

(t - 1)ln 2 (t) dt est :

a) positif
EXERCICE N°2

b) négatif

c) nul

(5 points)

Dans l’espace munie d’un repère orthonormée direct (O;Erreur !;Erreur !;Erreur !) on donne les
points :
A(0, 1 , 3) ; B(4 , 3 , 1 ) ; C(6 , 1 , – 3) et D ( 4 , – 3 , 1)
1)a) Donner les coordonnées du vecteur Erreur !  Erreur !. Déduire que les points A ;B et C
ne sont pas alignes.
b) Déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
2)a) Trouver un système d’équations paramétriques de la droite (Δ) passant par D et
perpendiculaire au plan (ABC).
b) Déterminer les coordonnées du point M intersection de la droite (Δ) et du plan (ABC).
c) Déduire la distance du point D au plan (ABC).
3) Soit (S) = { M(x,y;z) de l’espace tel que x2 + y2 + z2 – 2x + 4z – 22 = 0 }.
a) Montrer que (S) est une sphère dont on déterminera le centre I et le rayon R.
b) Montrer que la sphère (S) est circonscrite au tétraèdre ABCD.
c) Déterminer l’intersection de la sphère (S) et du plan (ABC).

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EXERCICE N°3

(5 points)

Soit (Un) la suite définie sur  par :

 U0  2

2

U
n
Un  1  2
Un - 1




U - 1
2 U -1

2

1)a) Montrer que : Un  1

-1

n

n

b) Montrer par récurrence que pour tout n  IN ; on a : Un > 1.
2) a) Montrer que la suite (Un) est décroissante.
b) Déduire que (Un) est convergente et calculer sa limite.
1
3) Soient les suites (Vn) et (Wn) définies sur IN par : Vn = 1 –
et Wn = ln(Vn) .
Un
2
a) Montrer que pour tout entier n on a : Vn  1  Vn 
b) Déduire que (Wn) est une suite géométrique de raison q = 2 et de 1er terme w0 = – ln(2)
c) Exprimer alors Wn en fonction de n
4)a) Déduire que
b) Retrouver

U

n

1



-

1- e
lim U

n

2

ln(2)

n

n   

EXERCICE N°4

(6 points)

Soit « f » la fonction définie sur IR par f(x) = e2x – 2ex ; on désigne par (ζ) sa courbe
représentative dans un repère orthonormée (O ;Erreur ! ;Erreur !). (unité graphique = 2
cm)
1) a) Montrer que pour tout réel x on a : f ’(x) = 2ex (ex – 1)
b) Dresser le tableau de variation de « f »
2) a) Résoudre dans IR l’équation : x2 – 2x = 0
b) En déduire l’intersection de la courbe (ζ) avec l’axe des abscisses.
c) Ecrire une équation de la tangente (T) à la courbe (ζ) au point d’abscisse x0 = ln(2).
3)a/ Calculer

lim

x
  

 f(x) 


 x  . Interpréter graphiquement.

b) Tracer (T) et ( ζ )
ln(2)
4)a) Calculer  0 f(t) dt
b) Déduire en cm2 l’aire de la partie du plan limité par :
L’axe des ordonnées
La droite d’équation x = ln(2)
L’axe des abscisses
La courbe ()

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