Fonctions Expo et Loga Decimal .pdf


Nom original: Fonctions Expo et Loga Decimal.pdf
Titre: FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME DECIMAL
Auteur: BAC ST2S EN POCHE

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BAC ST2S EN POCHE
2018
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME DECIMAL

Résoudre une équation de la forme ax = b

Enoncé
Un capital C0 = 1 000€ est placé au taux annuel de 4% avec intérêts composés.
Au bout de combien d’années aura-t-il doublé ?

Solution
1. Repérer la suite : géométrique ou arithmétique ?
✓ Une augmentation de 4% donne : 1 +

4
100

= 1,04. Donc pour passer d’un terme au suivant, on

multiplie le terme initial par 1,04. C’est donc une suite géométrique de raison q = 1,04.

2. Exprimer la suite.
✓ Cn = C0 x qn
Cn = 1 000 x 1,04n

3. Regarder ce qu’on nous demande : on nous demande au bout de combien d’années le capital
initial, (C0), aura doublé. Concrètement, on nous demande au bout de combien d’années on aura
2 000€. Au niveau du calcul, on nous demande alors de résoudre 1 000 x 1,04n = 2 000.

4. Résoudre l’équation :
✓ 1 000 x 1,04n = 2 000
✓ 1,04n =

2 000
1 000

✓ 1,04n = 2

1

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2018
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME DECIMAL

✓ n log (2) = log (1,04)
log(2)
log (1,04)



n=



On aura donc 2 000€ au bout de 18 ans.

= 17,67

Exercice d’application rapide :
Données :


v0 = 1,5 et q = 1,04

Enoncé :


Résoudre vn = 2,5

Solution :
✓ Grâce aux données, on peut exprimer la suite suivante : vn = 1,5 x 1,04n
✓ On cherche alors vn = 2,5 soit 1,5 x 1,04n = 2,5
✓ On résout alors cette équation :
✓ 1,5 x 1,04n = 2,5
✓ 1,04n =

2,5
1,5

✓ 1,04n = 1,67
✓ n log(1,04) = log (1,67)
✓ n=

log 1,67
log 1,04

✓ n = 13,07
Exercice d’application :
Aujourd’hui, le prix du Pepsi est de 1,60€. Il augmente chaque année de 2%. Au bout de combien
d’années le Pepsi vaudra-t-il 5€ ?

2

BAC ST2S EN POCHE
2018
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME DECIMAL

Résoudre une équation de la forme ax≤ b

Enoncé
Le prix d’un équipement pour les personnes handicapées est P0 = 1 000€ et baisse chaque année de
5%. Au bout de combien d’années le prix de cet équipement deviendra-t-il inférieur à 800€ ?
Solution
1. Repérer la suite : géométrique ou arithmétique ?
✓ Une diminution de 5% donne : 1 -

5
100

= 0,95. Donc pour passer d’un terme au suivant,

on multiplie le terme initial par 0,95. La suite est donc géométrique de raison q = 0,95.

2. Exprimer la suite.
✓ Pn = P0 x qn
Pn = 1 000 x 0,95n

3. Regarder ce qu’on nous demande : on nous demande au bout de combien d’années le prix de
cet équipement deviendra inférieur à 800€. Concrètement, on nous demande au bout de
combien d’années le prix sera de 800€. Au niveau du calcul, on nous demande alors de
résoudre 1 000 x 0,95n ≤ 800.

4. Résoudre l’inéquation :
✓ 1 000 x 0,95n ≤ 800
✓ 0,95n ≤

800
1 000

✓ 0,95n ≤ 0,8

3

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2018
FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHME DECIMAL

❖ Point important : Il faut toujours changer le signe lorsque log ≤ 1
✓ Ici, 0,95n ≤ 1 donc 0,95n ≥ 0,8
✓ n log (0,95) ≥ log 0,8
✓ n=

log 0,8
log 0,95

✓ n = 4,35
✓ Donc au bout de 5 ans, le prix de cet équipement sera inférieur ou égal à 800€.

Exercices d’application rapides :
Données :



t0 = 2 000 et q = 0,82

Enoncé :



Résoudre tn ≤ 500

Données :



f0 = 12 et q = 0,75n

Enoncé :



Résoudre tn ≤ 9

Données :



u0 = 300 et q = 1,15n

Enoncé :



Résoudre un ≥ 10 000

4


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