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Autour du trinˆ
ome
Le but de ce chapitre est de vous proposer une d´eambulation autour de ce que l’on
appelle classiquement le trinˆome du second degr´e, et de vous montrer, a` l’aide de
ce th`eme important que vous avez d´ej`a crois´e a` de multiples occasions, qu’avec un
peu de r´eflexion vous ˆetes tout a` fait capable de justifier par vous-mˆeme la plupart
des r´esultats associ´es. C’est pourquoi la part des exercices et des questions est ici
pr´edominante.
Ainsi vous pourrez acqu´erir les premiers m´ecanismes qui vous permettront a` l’avenir
de pouvoir retrouver rapidement, sans ´evidemment les apprendre par cœur, toutes les
justifications des r´esultats que vous allez rentontrer. Mˆeme si un tel comportement ne
vous a pas ´et´e indispensable jusqu’`a pr´esent, vu le nombre assez limit´e de propri´et´es
que vous aviez a` connaˆıtre, vous allez rapidement vous rendre compte l’an prochain,
vu l’inflation du volume de votre cours, que la m´emoire seule ne peut suffire !
Ce que je vous propose ici, si l’on veut prendre une comparaison informatique, c’est
d’augmenter la vitesse du processeur (ce qui est possible avec un peu d’entraˆınement)
plutˆot que d’augmenter la taille de la m´emoire de masse.
Vous vous rendrez compte alors que les d´emonstrations que vous avez vues en cours
(que vous verrez en cours) ne sont en fait que des exercices hyper classiques et
qu’il est absolument inutile, voire nuisible, de les apprendre par cœur mˆeme si c’est
la premier r´eflexe que l’on peut avoir pour essayer d’assurer une bonne note `a la
prochaine interrogation.
Vous verrez aussi comment l’utilisation conjointe ou crois´ee de diverses approches,
qui sont peut-ˆetre encore pour l’instant dans des compartiments bien s´epar´es et
bien ´etanches de votre cerveau, permet de vous faciliter le travail en confirmant ou
infirmant certaines id´ees.
Dans un premier temps un trinˆome du second degr´e est une “expression” du type
a x2 + b x + c dans laquelle
• a, b et c sont des nombres ou des param`etres r´eels ou complexes avec a 6= 0,
• x est une variable r´eelle ou complexe.
Pour l’instant je reste volontairement vague sur la nature exacte de l’objet en question, mais a` partir de ces donn´ees, on peut s’int´eresser
• a` la fonction x 7→ a x2 + b x + c et donc peut-ˆetre `a ses variations, son signe
et/ou `a sa repr´esentation graphique ,
• aux racines de l’´equation a x2 + b x + c = 0.
Certaines des questions qui suivent sont ´el´ementaires et leurs r´eponses ´evidentes,
n’ayez donc pas peur de faire simple !
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Lyc´
ee Priv´
e Sainte Genevi`
eve (JMC)

30 aoˆ
ut 2010

Premier cas a, b et c r´eels

ˆ me
Autour du trino

I. Premier cas a, b et c r´
eels
Dans toute cette premi`ere section, et sauf indication plus pr´ecise,
• a, b et c d´esignent trois r´eels donn´es (pas forc´ement distincts) avec a 6= 0 ;
• x d´esigne une variable r´eelle.
Avec ces hypoth`eses, a ∈ IR∗ , b ∈ IR et c ∈ IR , on dispose donc d’une fonction
f : IR →
x 7→

IR
a x2 + b x + c

dont on pourra, au choix et dans un ordre quelconque, ´etudier les variations, le signe,
la repr´esentation graphique et les racines.
1. Un probl`
eme d’identification
Ex

1:

Soit a ∈ IR , b ∈ IR et c ∈ IR . (Ici on ne suppose donc pas a 6= 0)
1. En supposant que l’on a : ∀x ∈ IR a x2 + b x + c = 0,
montrer que : a = b = c = 0.

INDIC

2. Soit a0 , b0 et c0 des r´eels tels que : ∀x ∈ IR a x2 +b x+c = a0 x2 +b0 x+c0 .
D´eduire de la question pr´ec´edente que l’on a : a = a0 , b = b0 et c = c0 . INDIC
Le r´esultat que vous venez d’´etablir dans l’exercice pr´ec´edent est un r´esultat
d’identification. En effet il dit que si, en chaque point, les deux fonctions
f : IR →
x 7→

IR
et g : IR → IR
2
ax + bx + c
x 7→ a0 x2 + b0 x + c0

prennent les mˆemes valeurs, alors les coefficients correspondants sont ´egaux.
Il faut bien garder a` l’esprit que l’on ne peut “identifier” des expressions analogues
pour en d´eduire l’´egalit´e de certaines de leurs parties qu’apr`es avoir, comme cidessus, d´emontr´e un r´esultat. Il faudra y penser lorsque (souvent pour vous ´eviter
de r´efl´echir) vous vous poserez (ou vous poserez a` un interlocuteur quelconque) une
question du type “a-t-on le droit d’identifier? ” : il ne s’agit pas d’un droit (acquis)
mais d’un r´esultat, en fait un r´esultat d’unicit´e, que l’on doit avoir d´emontr´e pour
pouvoir l’utitiser.
Derni`
ere remarque sur la m´ethode utilis´ee dans l’exercice pr´ec´edent :
• on a commenc´e par d´emontrer un cas particulier, en fait avec a0 = b0 = c0 = 0,
ce qui simplifie l’´ecriture de la partie technique de la d´emonstration : on n’utilise
alors que trois param`etres au lieu de six ;
• ensuite on a utilis´e ce r´esultat particulier pour d´emontrer, et alors tr`es rapidement, le cas g´en´eral.

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino
2. Forme canonique

La mise sous forme canonique est une transformation permettant de trouver des
nombres r´eels β et γ tels que :
∀x ∈ IR a x2 + b x + c = a (x + β)2 + γ.
Ex

2:

R´ealiser la mise sous forme canonique pr´ec´edente et pr´eciser les valeurs de
r´eels β et γ en fonction de a, b et c.
INDIC

Remarque : Il n’y a ´evidemment aucune formule `a retenir concernant cette mise
sous forme canonique, mais il faut savoir la faire, naturellement et rapidement,
lorsque le besoin s’en fait sentir.
Ex

3:

Mettre x2 − 5 x + 6 sous forme canonique.

INDIC

Ex

4:

Soit θ ∈ IR . Mettre x2 − 2 x cos θ + 1 sous forme canonique.

INDIC

Ex

5:

Soit r un r´eel tel que |r| =
6 1, ce que l’on peut aussi ´ecrire r ∈ IR \ {−1, 1}.
Montrer que la fonction θ 7→ ln (r2 − 2 r cos θ + 1) est d´efinie sur IR .

INDIC

3. Racines du trinˆ
ome
a) Discriminant
La mise sous forme canonique pr´ec´edente (ne pas h´esiter a` la refaire, sans regarder
ce qui a d´ej`a ´et´e fait) permet de prouver que l’´equation
a x2 + b x + c = 0

(E )

poss`ede (au moins) une racine r´eelle si, et seulement si, ∆ = b2 − 4 a c > 0.
Remarque : Pour une telle ´equation du second degr´e on parlera aussi bien de
solution r´eelle de l’´equation que de racine r´eelle du trinˆome.
Ex

6:

Justifier le r´esultat pr´ec´edent.

INDIC

Ex

7:

Lorsque l’´equation (E) poss`ede (au moins) une solution r´eelle, d´ecrire
l’ensemble de ses solutions.
INDIC

Grˆace aux deux exercices pr´ec´edents vous venez de (re-)d´emontrer que si a, b et c
sont trois r´eels tels que a 6= 0, alors on peut d´eterminer le nombre de solutions
r´eelles, (on dit aussi le nombre de racines r´eelles), de l’´equation a x2 + b x + c = 0
en ´etudiant son discriminant
∆ = b2 − 4 a c .

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino
Plus pr´ecis´ement l’´equation a x2 + b x + c = 0
• ne poss`ede aucune racine r´eelle si ∆ < 0 ;
• poss`ede une unique racine r´eelle si ∆ = 0 ;

• poss`ede exactement deux racines r´eelles (distinctes) lorsque ∆ > 0.

Remarque : Quand on a besoin d’introduire un discriminant pour traiter d’une
´equation du second degr´e, que ce soit `a l’oral ou a` l’´ecrit, il n’est pas correct de parler
simplement du “∆ de l’´equation” mˆeme si ∆ est une notation souvent utilis´ee dans
ce cas ; il faut absolument, comme on le verra dans les r´edactions qui suivent, une
phrase du type “le discriminant ∆ de cette ´equation, qui vaut ∆ =... ”.
Ex

8:

Si c/a < 0 que peut-on dire des racines de l’´equation a x2 + b x + c = 0 ?

INDIC

Ex

9:

Lorsque c = 0 r´esoudre l’´equation a x2 + b x = 0.

INDIC

Ex 10 :

Soit θ un param`etre donn´e de l’intervalle ]0, π[.
R´esoudre l’´equation : x2 − 2 x cos θ + 1 = 0.

INDIC

Ex 11 :

Soit θ ∈ IR . R´esoudre l’´equation x2 − 2 x cos θ + cos 2θ = 0.

INDIC

Ex 12 :

Soit a ∈ IR , b ∈ IR et c ∈ IR ainsi que f : IR → IR
.
2
x 7→ a x + b x + c
1. En supposant qu’il existe trois r´eels distincts x1 , x2 et x3 tels que
f (x1 ) = f (x2 ) = f (x3 ) = 0,
montrer que a = b = c = 0.

INDIC

2. Soit a0 ∈ IR , b0 ∈ IR et c0 ∈ IR ainsi que g : IR → IR
.
0 2
0
0
x 7→ a x + b x + c
En supposant qu’il existe trois r´eels distincts x1 , x2 et x3 tels que
f (x1 ) = g(x1 ), f (x2 ) = g(x2 ) et f (x3 ) = g(x3 ),
en d´eduire que a = a0 , b = b0 et c = c0 .

INDIC

` quoi vous fait penser ce r´esultat?
3. A
Ex 13 :

INDIC

On s’int´eresse ici `a l’´equation a x2 + b x + c = 0 et l’on suppose b = 2 b0 .
1. En exprimer le discriminant en fonction de a, b0 et c.
0

2. En donner l’expression des racinnes en fonction de a, b et c.
Ex 14 :

INDIC

R´esoudre l’´equation : (2 x − 1) (3 x − 2) = 0.

INDIC

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INDIC

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino
b) Factorisation du trinˆ
ome
Ex 15 :

Montrer que si ∆ = b2 − 4 a c > 0 alors il existe deux r´eels x1 et x2
(pas forc´ement distincts) tels que :
∀x ∈ IR a x2 + b x + c = a (x − x1 ) (x − x2 )

Ex 16 :

INDIC

Soit x1 et x2 deux r´eels (pas forc´ement distincts) tels que :
∀x ∈ IR a x2 + b x + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) .
1. Que peut-on dire des racines de l’´equation a x2 + b x + c = 0 ?

INDIC

2. Peut-on en d´eduire que ∆ = b2 − 4 a c > 0 ?

INDIC

Dans les exercices pr´ec´edents, on a donc prouv´e que si a, b et c sont trois r´eels tels
que a 6= 0, alors l’´equation a x2 + b x + c = 0
• poss`ede comme racines les nombres r´eels distincts x1 et x2 si, et seulement si,
∀x ∈ IR a x2 + b x + c = a (x − x1 ) (x − x2 ) ;
• poss`ede comme racine le seul nombre r´eel x0 si, et seulement si,
∀x ∈ IR a x2 + b x + c = a (x − x0 )2 ;
c’est pourquoi on dit dans ce cas que x0 est racine double du trinˆome.
C’est ainsi que l’on aboutit a` l’´enonc´e suivant :
lorsque son discriminant ∆ = b2 − 4 a c est positif,
l’´equation a x2 + b x + c = 0 poss`ede deux racines distinctes ou confondues.

c) Relations entre les coefficients et les racines
Ex 17 :

On suppose ici que l’´equation a x2 + b x + c = 0 poss`ede deux racines r´eelles
x1 et x2 distinctes (i.e. x1 6= x2 ) ou confondues (i.e. x1 = x2 ).
1. Expliciter s = x1 + x2 et p = x1 x2 en fonction de a, b et c.
INDIC
2. Que vaut ∆ en fonction de x1 et x2 ?

INDIC

Le r´esultat pr´ec´edent doit ˆetre connu et pouvoir ˆetre utilis´e sans h´esitation : lorsque
l’´equation a x2 + b x + c = 0 poss`ede deux racines r´eelles (distinctes ou confondues)
not´ees x1 et x2 , alors
• leur somme s = x1 + x2 vaut s = −b/a ;
• leur produit p = x1 x2 vaut p = c/a.

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino

Lorsque l’on n’a pas utilis´e ces propri´et´es depuis longtemps il est humain d’h´esiter
mais alors, au lieu de sortir des formules au hasard, il suffit de faire le d´eveloppement
(de tˆete si possible) de l’identit´e
a x2 + b x + c = a (x − x1 ) (x − x2 )
pour retrouver b = −a s et c = a p (vive la r`egle des signes).
Ex 18 :


On consid`ere ici l’´equation : x2 + 3 x − 1 = 0.
1. V´erfier qu’elle poss`ede deux racines r´eelles distinctes x1 et x2 .
2. Calculer x21 + x22 .
3. En d´eduire x31 + x32 .

INDIC
INDIC
INDIC

Ex 19 :

Dans cet exercice on suppose a, b et c entiers relatifs. Montrer que toute
racine enti`ere de l’´equation a x2 + b x + c = 0 est un diviseur de c.
INDIC

Ex 20 :

Quelles sont les valeurs enti`eres de b ∈ ZZ pour lesquelles l’´equation
2 x2 + b x + 11 = 0 poss`ede une racine enti`ere?
INDIC

Ex 21 :

Soit s et p deux r´eels donn´es. Montrer que les r´eels x1 et x2 v´erifient
x1 + x2 = s et x1 x2 = p
si, et seulement si, ce sont les racines de l’´equation : x2 − s x + p = 0.

INDIC

La propri´et´e justifi´ee dans l’exercice pr´ec´edent doit aussi pouvoir ˆetre utilis´ee sans
h´esiter lorsque l’on veut d´eterminer deux nombres r´eels dont on connaˆıt la somme
et le produit. C’est une m´ethode bien plus efficace que celle qui consisterait a` “tirer
l’une de inconnues en fonction de l’autre” et qui au bout d’un calcul laborieux vous
am`enerait, de toute fa¸con, `a la mˆeme ´equation du second degr´e.
Ex 22 :

R´esoudre l’´equation : x2 − 15 x + 26 = 0.

INDIC

4. Repr´
esentation graphique
Le plan IR2 ´etant rapport´e `a son rep`ere canonique (O,~ı, ~),

• pour (x, y) ∈ IR2 , la notation M xy signifie que M est le point de IR2 dont
(x, y) sont les coordonn´ees par rapport a` (O,~ı, ~) ;

• pour (α, β) ∈ IR2 , la notation ~u αβ signifie que ~u est un vecteur de IR2 dont
(α, β) sont les composantes par rapport `a (O,~ı, ~).


M xy

y

~
O



~u αβ

β
~



x

O



α

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino
a) Translations
Translat´
e d’un point, d’une courbe

Rappel : Si ~u est un vecteur de IR2 la translation de vecteur ~u est l’application
τ ~u : IR2 → IR2
telle que : ∀M ∈ IR2
Ex 23 :

τ ~u (M ) = M + ~u

ou encore ∀M ∈ IR2

−−−−−−→
M τ ~u (M ) = ~u.



Soit (x, y) ∈ IR2 , (α, β) ∈ IR2 ainsi que M xy et ~u αβ .
0
Si M 0 = τ ~u (M ) et M 0 xy0 exprimer (x0 , y 0 ) en fonction des donn´ees.

INDIC

Soit f une application de IR dans IR et Γ la courbe d’´equation y = f (x).

INDIC
Lorsque ~u αβ d´eterminer une ´equation de Γ0 = τ ~u (Γ).

Translation du rep`
ere
Partant d’un point Ω de IR2 , il arrive que l’on ait envie de rep´erer les points de IR2
non plus par rapport au rep`ere canonique (O,~ı, ~) mais par rapport au rep`ere (Ω,~ı, ~)
d´eduit du premier par translation comme l’indique la figure.

Y

y

M

~

β



X



~
O

α



x

On dit alors aussi que le rep`ere (Ω,~ı, ~) est d´eduit du rep`ere (O,~ı, ~) par la transla−→
tion de vecteur OΩ.
Ex 24 :

Soit Ω de coordonn´ees (α, β) par rapport `a (O,~ı, ~).
Pour tout point M du plan dont on d´esigne
• par (x, y) les coordonn´ees par rapport a` (O,~ı, ~),
• par (X, Y ) les coordonn´ees par rapport a` (Ω,~ı, ~),
exprimer x et y en fonction de X , Y , α et β .

INDIC

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Premier cas a, b et c r´eels

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Autour du trino

Remarque : lorsque que l’on n’a pas utilis´e depuis longtemps les relations obtenues
dans l’exercice pr´ec´edent, il est humain d’h´esiter sur un signe ou sur la place de
certaines quantit´es y intervenant : la meilleure solution dans un tel cas est tout
simplement de regarder un dessin analogue au pr´ec´edent. Un tel dessin ne constitue
´evidemment pas une preuve de validit´e mais il permet dans la quasi-totalit´e des cas
de trancher entre les diverses formules qui vous viennent `a l’esprit.
Ex 25 :

Soit f : IR → IR et Γ la courbe d’´equation y = f (x) par rapport `a (O,~ı, ~)
D´eterminer une ´equation de Γ par rapport au rep`ere (Ω,~ı, ~).

INDIC

b) Courbe d’´
equation y = a x2
Soit a un r´eel non nul et Γa la courbe d’´equation y = a x2 . Cette courbe est une
parabole dont il faut, a` notre niveau, ˆetre capable de donner l’allure sans devoir
calculer d’innombrables valeurs ni avoir recours a` sa calculatrice pr´ef´er´ee.
Ex 26 :

Quelques questions ´evidentes sur les courbes Γa .
1. Quel point remarquable appartient a` toute courbe Γa ?

SOLUT

2. Quelle droite est axe de sym´etrie de toute courbe Γa ?

INDIC

3. Pour a > 0, dans quel demi-plan se trouvent toutes les courbes Γa ?

SOLUT

4. Que peut-on dire des courbes Γa et Γ−a ?

INDIC

5. Donner selon le signe de a l’allure de la courbe Γa .

SOLUT

Ne pas oublier que Γa est aussi la courbe repr´esentative des variations de la fonction
fa : IR
x

→ IR
7

a x2

qui est continue et d´erivable d’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux.
Ex 27 :

Que pouvez-vous dire des variations de la fonction fa ?

INDIC

Ex 28 :

Quelle propri´et´e concernant la tangente en O a` la courbe Γa est donn´ee
par la fonction d´eriv´ee fa0 ?
INDIC

c) Cas g´
en´
eral
Soit a ∈ IR∗ , b ∈ IR , c ∈ IR et C la courbe d’´equation y = a x2 + b x + c.
Ex 29 :

En mettant le trinˆome sous forme canonique, montrer que la courbe C se
d´eduit de Γa par une translation dont on pr´ecisera le vecteur.
INDIC
Donner l’allure de la courbe C .

Ex 30 :

INDIC

En utilisant la forme canonique, montrer qu’il existe un rep`ere (Ω,~ı, ~),
d´eduit par translation de (O,~ı, ~), dans lequel l’´equation de C est Y = a X 2 . INDIC
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Premier cas a, b et c r´eels

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Ainsi on vient de prouver de deux fa¸cons diff´erentes que la courbe d’´equation
y = a x2 + b x + c se d´eduit par isom´etrie de la courbe d’´equation y = a x2 .
Toutefois il ne faut pas oublier que C est aussi la courbe repr´esentative des variations
de la fonction
f : IR → IR
x 7→ a x2 + b x + c
qui est continue et d´erivable d’apr`es les th´eor`emes g´en´eraux.
Ex 31 :

Que pouvez-vous dire des variations de la fonction f ?

INDIC

Ex 32 :

Quelle propri´et´e concernant l’axe de sym´etrie de la courbe C est donn´ee par
la fonction d´eriv´ee f 0 ?
INDIC

Ex 33 :

Quelle est l’ordonn´ee du sommet de C ?

Ex 34 :

Que peut-on dire des points d’intersection de C avec l’axe Ox ?

INDIC

INDIC
Ex 35 :

Que permet de v´erifier la repr´esentation graphique de C en ce qui concerne
les quantit´es a, b, c et ∆ ?
INDIC

5. Probl`
emes de signes
Soit a ∈ IR∗ , b ∈ IR et c ∈ IR , ainsi que :
f : IR →
x 7→

IR
a x2 + b x + c

Comme il est rappel´e dans l’exercice suivant, il faut savoir utiliser les signes des
quotients c/a et b/a pour ´etudier le signe des racines de l’´equation
a x2 + b x + c = 0,
mais il n’y a vaiment rien de sorcier l`a-dedans.
Ex 36 :

On suppose que l’´equation a x2 + b x + c = 0 poss`ede deux racines r´eelles.
1. Si c/a = 0 qu’y a-t-il de remarquable?
INDIC
2. Si c/a < 0 que peut-on dire du signe de ces racines?

INDIC

3. Si c/a > 0 que peut-on dire du signe de ces racines?

INDIC



Ex 37 :

D´eterminer les signes des racines de l’´equation : x2 + 3

Ex 38 :

Que pouvez-vous dire du signe des racines de l’´equation x2 +

3 x − 1 = 0.


3x + 1?

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INDIC
INDIC

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